সংখ্যা পদ্ধতিঃ বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের দশমিক বিস্তার - SCERT Tripura Class 9 Math - অনুশীলনী-1.3 - অধ্যায়-1

Admin

04 March

বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের দশমিক বিস্তার

ত্রিপুরার বাঙালি শিক্ষার্থী বন্ধুরা, এই অংশে তোমরা বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের দশমিক বিস্তার সম্পর্কে অনুশীলনী ১.৩ এর সকল প্রশ্নের উত্তর পাবে। যেমন ধরো ১.৩ একটি বাস্তব সংখ্যার দশমিক বিস্তার, আবার ১.৩৪৩৪৩৪৩৪ বা ১.৩৪ কিংবা ১.৩০৩০০৩০০…. ও কিন্তু বাস্তব সংখ্যার বিস্তার। এই অংশে আমরা মূলদ বা অমূলদের ভিত্তিতে দশমিক-বিস্তারকে এগিয়ে নিয়ে যাব। তাহলে চলো আর কথা না বাড়িয়ে শুরু করি-

অনুশীলনী-1.3

1) নিন্মলিখিত অঙ্কগুলোকে দশমিকে প্রকাশ করো এবং প্রত্যেকটি কী ধরনের দশমিক বিস্তার লেখোঃ

(i) ³⁶/₁₀₀

(ii) ¹/₁₁

(iii) 4¹/₈

(iv) ³/₁₃

(v) ²/₁₁

(vi) ³²⁹/₄₀₀

সমাধান¹:

(i) ³⁶/₁₀₀

= 0.36 (সসীম)

হিসাবঃ

100)36(0.36
        0
-------
    360
    300
-------
600
600
------
0

(ii) ¹/₁₁

= 0.09 (অসীম, আবৃত)

হিসাবঃ

11)1(0.0909
     0
--------
    100
     99
---------
      100
99
---------
         1

(iii) 4¹/₈

= ³³/₈

= 4.125 (সসীম)

হিসাবঃ

8)33(4.125
32
--------
   10
     8
-------
     20
    16
-------
     40
     40
--------
      0

(iv) ³/₁₃

= 0.230769 (অসীম, আবৃত)

হিসাবঃ

13)3(0.230769
    0
---------
    30
    26
---------
     40
     39
---------
     100
      91
-------
      90
      78
---------
     120
     117
---------
       3

(v) ²/₁₁

= 0.18 (অসীম,আবৃত)

হিসাবঃ

11)2(0.18
    0
--------
    20
    11
---------
     90
     88
---------
       2

(vi) ³²⁹/₄₀₀

= 0.8225 (সসীম)

হিসাবঃ

400)329(0.8225
        0
-----------
    3290
    3200
-----------
   900
     800
---------
    1000
     800
---------
    2000
    2000
----------
       0

2) তোমরা জান, ¹/₇ = 0.142857 প্রকৃত দীর্ঘ ভাগ প্রক্রিয়া না করে তুমি কি ²/₇, ³/₇, ⁴/₇, ⁵/₇, ⁶/₇ এর দশমিক বিস্তার হিসাব করতে পারো? যদি পারো তবে কীভাবে?

সমাধান²:

হ্যাঁ, পারব, তা নিচে দেখানো হলোঃ

²/₇ = 2 × ¹/₇ = 2 × 0.142857 = 0.285714

³/₇ = 3 × ¹/₇ = 3 × 0.142857 = 0.428571

⁴/₇ = 4 × ¹/₇ = 4 × 0.142857 = 0.571428

⁵/₇ = 5 × ¹/₇ = 5 × 0.142857 = 0.7142857

⁶/₇ = 6 × ¹/₇ = 6 × 0.142857 = 0.857142

3) নিন্মলিখিত অঙ্কগুলোকে ^p/_q আকারে প্রকাশ করো। যেখানে p ও q অখন্ড এবং q≠0.

(i) 0.6

(ii) 0.47

(iii) 0.001

সমাধান³:

(i) 0.6

= 0.6666……

ধরি, x = 0.6666… -----(i)

উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই,

10x = 6.6666….. ------(ii)

এখন,

(ii) – (i) করে পাই,

9x = 6

বা, x = ⁶/₉

বা, x = ²/₃

∵ 0.6 এর নির্ণেয় আকার হলোঃ ²/₃

(ii) 0.47

= 0.477777….

ধরি, x = 0.477777… -----(i)

উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই,

10x = 4.77777….. ------(ii)

উভয়পক্ষকে 100 দ্বারা গুণ করে পাই,

100x = 47.77777….. ------(iii)

এখন,

(iii) – (ii) করে পাই,

90x = 43

বা, x = ⁴³/₉₀

∵ 0.47 এর নির্ণেয় আকার হলোঃ ⁴³/₉₀

(iii) 0.001

= 0.001001001…..

ধরি, x = 0.001001001..… -----(i)

উভয়পক্ষকে 1000 দ্বারা গুণ করে পাই,

1000x = 1.001001….. ------(ii)

এখন,

(ii) – (i) করে পাই,

999x = 1

বা, x = ¹/₉₉₉

∵ 0.001 এর নির্ণেয় আকার হলোঃ ¹/₉₉₉

4) 0.99999… কে ^p/_q আকারে প্রকাশ করো। তোমার প্রাপ্ত উত্তরে কি বিস্মিত? তোমার শিক্ষক এবং সহপাঠীদের সঙ্গে আলোচনা করো এরুপ উত্তর কেন হল?

সমাধান⁴:

ধরি, x = 0.99999……… ----(i)

উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই,

10x = 9.9999……. ------(ii)

এখন,

(ii) – (i) করে পাই,

9x = 9

বা, x = ⁹/₉

বা, x = 1

∵ 0.99999… এর ^p/_q আকার ¹/₁ বা 1

হ্যাঁ, আমার প্রাপ্ত উত্তরে আমি বিস্মিত।

আমার শিক্ষক এবং সহপাঠীদের সঙ্গে আলোচনা করে এরুপ উত্তর কেন হল তার কারন বের করেছি যা নিন্মরুপঃ

0.99999… এই মানটি 1 এর কাছাকাছি; তাই 0.99999… = 1

5) ¹/₁₇ এর দশমিক বিস্তারে আবৃত অঙ্কগুলোর সারিতে সর্বোচ্চ অঙ্ক সংখ্যা কত হতে পারে? ভাগ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে তোমরা উত্তরটি যাচাই করো।

সমাধান⁵:

0.588235294117647

-----------------------

17 | 1

--------

100

--------

150

136

------

140

136

------

-----

160

153

-------

-----

130

119

-------

110

102

------

120

119

-------

∵ ¹/₁₇ এর দশমিক বিস্তারে আবৃত অঙ্কগুলোর সারিতে সর্বোচ্চ অঙ্ক সংখ্যা = 16 [দশমিকের পরে অঙ্ক গণনা করে]

6) ^p/_q (q≠0) আকারের বিভিন্ন মূলদ সংখ্যা লক্ষ করো। যেখানে, p এবং q অখন্ড সংখ্যা এবং তাদের মধ্যে 1 ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই এবং এরা সসীম দশমিক সংখ্যা। q কি ধরনের ধর্ম সিদ্ধ করবে তা কি তোমরা অনুমান করতে পারো?

সমাধান⁶:

আমরা কিছু ^p/_q (q≠0) আকারের মূলদ সংখ্যা লক্ষ করি যেখানে, p এবং q অখন্ড সংখ্যা এবং তাদের মধ্যে 1 ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই এবং এরা সসীম দশমিক সংখ্যা। যেমনঃ

³/₂ = 1.5 যেখানে, q = 2¹

³/₅ = 0.6 যেখানে, q = 5¹

¾ = 0.75 যেখানে, q = 2²

³/₂₅ = 0.12 যেখানে, q = 5⁵

³/₁₀ = 0.3 যেখানে, q = 2¹.5¹ইত্যাদি।

এখান থেকে q = 2^m বা 5^m বা 2^m x 5^m যেখানে m=0,1,2,3,…… প্রশ্নানুসারে এটাই q এর ধর্ম সিদ্ধ করে যা আমি অনুমান করেছি।

7) তিনটি সংখ্যা লেখো যার দশমিক বিস্তার অসীম অনাবৃত্ত।

সমাধান⁷:

নিন্মে তিনটি সংখ্যা লেখা হলো যার দশমিক বিস্তার অসীম অনাবৃত্তঃ

(i) 0.101001000….

(ii) 0.20200200020000…..

(iii) 0.311311131111…

8) ⁵/₇ এবং ⁹/₁₁ এর মধ্যবর্তী তিনটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান⁸:

⁵/₇ = 0.714285

⁹/₁₁ = 0.81

∵ ⁵/₇ এবং ⁹/₁₁ এর মধ্যবর্তী তিনটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা নিন্মরুপঃ

(i) 0.720720072000…..

(ii) 0.730730073000…..

(iii) 0.808008000…

9) নিন্মলিখিত সংখ্যাগুলো মূলদ না অমূলদ তা শ্রেণি বিভাগ করোঃ

(i) √23

(ii) √225

(iii) 0.3796

(iv) 7.478478…

(v) 1.101001000100001…

সমাধান⁹:

(i) √23 = 4.795831…..

(ii) √225 = 15

(iii) 0.3796

(iv) 7.478478… = 7.478

(v) 1.101001000100001…

∵ (i) ও (v) এর সংখ্যাগুলো অমূলদ; (ii), (iii) ও (iv) এর সংখ্যাগুলো মূলদ।

জানা-অজানাঃ

আর্কিমিডিস (খ্রিঃ পূর্ব ২৮৭-২১২)

গ্রিকের পন্ডিত আর্কিমিডিস (Archimedes) সর্বপ্রথম π এর দশমিক বিস্তারে অঙ্কগুলো গণনা করেন। তিনি দেখিয়েছিলেন 3.140845 < π < 3.142857। বিখ্যাত ভারতীয় গণিতজ্ঞ ও জ্যোতির্বিদ আর্যভট্ট (খ্রিস্টাব্দ 476-550), π এর সঠিক মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত (3.1416) বের করেছিলেন। দ্রুতগতি কম্পিউটার এবং উন্নত অ্যালগোরিদম (algorithms) ব্যবহার করে π এর মান 1.24 ট্রিলিয়ন দশমিক স্থান পর্যন্ত পাওয়া গেছে।

এই অধ্যায়ের বাকী অংশসমূহঃ

1.1 সংখ্যা-পদ্ধতি

1.2 অমূলদ-সংখ্যা

1.3 বাস্তব-সংখ্যা-এবং-তাদের-দশমিক-বিস্তার

1.4 সংখ্যা-রেখায়-বাস্তব-সংখ্যার-উপস্থাপন

1.5 বাস্তব-সংখ্যার-উপর-প্রক্রিয়া-সমূহ

1.6 বাস্তব-সংখ্যার-ক্ষেত্রে-সূচকের-সূত্রাবলী

আরো দেখঃ

SCERT-Tripura-Class-9-Math-All-Chapter