SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৩.২ ঘন ও ঘন সম্পর্কিত সমস্যাবলি
ঘন ও ঘন সম্পর্কিত সমস্যাবলি:
১. সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় করঃ
ক)
2x2+3y2
সমাধানঃ
=(2x2+3y2)3
=(2x2)3+3.(2x2)2.3y2+3.2x2.(3y2)2+(3y2)3
=8x6+3.4x4.3y2+3.2x2.9y4+27y6
=8x6+36x4y2+54x2y4+27y6
খ)
7m2-2n
সমাধানঃ
=(7m2-2n)3
=(7m2)3-3.(7m2)2.2n+3.7m2.(2n)2-(2n)3
গ)
2a-b-3c
সমাধানঃ
=(2a-b-3c)3
={(2a-b)-3c}3
=8a3-3.4a2b+6ab2-b3-3(4a2-4ab+b2)3c+54ac2-27bc2-27c3
২.
সরল করঃ
ক)
(7x+3b)3-(5x+3b)3-6x(7x+3b)(5x+3b)
সমাধানঃ
এখন, m-n=7x+3b-5x-3b=2x
তাহলে, প্রদত্ত রাশি
=(m)3-(n)3-6x.mn
=(m)3-(n)3-3mn.2x
=(m)3-(n)3-3mn(m-n)
=(m)3-(n)3-3m2 n+3mn2
=(m-n)3
=(2x)3
খ)
(a+b+c)3-(a-b-c)3-6(b+c){a2-(b+c)2}
সমাধানঃ
এখন, m-n=a+b+c-a+b+c=2(b+c)
তাহলে, প্রদত্ত রাশি=
(a+b+c)3-(a-b-c)3-6(b+c){a2-(b+c)2}
=(a+b+c)3-(a-b-c)3-3.2(b+c)(a+b+c)(a-b-c)
=m3-n3-3.(m-n)m.n
=m3-n3-3m2n+3mn2
=(m-n)3
={2(b+c)}3
=8(b+c)3
গ)
(m+n)6-(m-n)6-12mn(m2-n2)2
সমাধানঃ
={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn(m2-n2)2
={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn{(m+n)(m-n)2
={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn{(m+n)2(m-n)2…………….(1)
মনে করি, (m+n)2=p; (m-n)2=q
এবং, p-q=(m+n)2-(m-n)2=(m+n-m+n)(m+n+m-n)=2n.2m=4mn
(1) এ মান বসিয়ে,
p3-q3-3.(p-q)p.q
= p3-q3-3p2q+3pq2
=(p-q)3
=64m3n3
ঘ)
(x+y)(x2-xy+y2)+(y+z)(y2-yz+z2)+(z+x)(z2-zx+x2)
সমাধানঃ
=(x3+y3)+(y3+z3)+(z3+x3)
=x3+y3+y3+z3+z3+x3
=2x3+2y3+2z3
=2(x3+y3+z3)
ঙ)
(2x+3y-4z)3+(2x-3y+4z)3+12x{4x2-(3y-4z)2}
সমাধানঃ
=(2x+3y-4z)3+(2x-3y+4z)3+12x{(2x)2-(3y-4z)2}
={2x+(3y-4z)}3+{2x-(3y-4z)}3+12x{2x-(3y-4z)}{2x+(3y-4z)}
={2x+(3y-4z)}3+{2x-(3y-4z)}3+3.4x{2x-(3y-4z)}{2x+(3y-4z)}…….(1)
মনে করি,2x+(3y-4z)=m; 2x-(3y-4z)=n
তাহলে, m+n=2x+3y-4z+ 2x-3y+4z= 4x
(1) নং এ মান বসিয়ে,
m3+n3+3(m+n)mn
= m3+n3+3m2n+3mn2
=(m+n)3
=(4x)3
=64x3
৩.
a-b=5 এবং ab=36 হলে, a3-b3 এর মান কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি, a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)
=53+3.36.5
=25+540
=665
৪.
যদি a3-b3 =513 এবং a-b=3 হয়, ab তবে এর মান কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)
বা, 513=32+3ab.3
বা, 513=27+9ab
বা, 9ab=513-27
বা, 9ab=486
বা, ab=486/9
বা, ab=54
৫.
x-19 এবং y=-12 হলে, 8x3+36x2y+54xy2+27y3
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
=8x3+36x2y+54xy2+27y3
=(2x)3+3.(2x)2 3y+3.2x.(3y)2+(3y)3
=(2x+3y)3
={2.19+3.(-12)}3
=(38-36)3
=(2)3
=8
৬.
যদি a=15 হয় তবে, 8a3+60a2+150a+130 এর মান কত?
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
=8a3+60a2+150a+130
=(2a)3+3.(2a)2 .5+3.2a.52+53+5
=(2a+5)3+5
=(2.15+5)3+5
=(30+5)3+5
=(35)3+5
=42875+5
=42880
৭.
যদি a+b=m, a2+b2=n এবং a3+b3=p3
হয় তবে দেখাও যে, m3+2p3=3mn
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= m3+2p3
=(a+b)3+2.(a3+b3) [মান বসিয়ে]
=a3+3a2b+3ab2+b3+2a3+2b2
=3a3+3b3+3a2b+3ab2
=3(a3+b3+a2b+ab2)
=3(a3+a2b+ b3+ab2)
=3{a2(a+b)+b2(a+b)}
=3.(a+b)(a2+b2)
=3.m.n [মান বসিয়ে]
=3mn
=ডানপক্ষ(প্রমাণিত)
৮.
a+b=3 এবং ab=2 হলে (ক) a2-ab+b2 এবং (খ) a3+b3
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি (ক) এর
ক্ষেত্রে,
= a2+b2-ab
=(a+b)2-2ab-ab [a2+b2=(a+b)2-2ab]
=32-2.2-2
=9-4-2
=9-6
=3
প্রদত্ত রাশি (খ) এর
ক্ষেত্রে,
=(a+b)3-3ab(a+b)
=33-3.2.3
=27-18
=9
৯.
a-b=5 এবং ab=36 হলে, (ক) a2+ab+b2 এবং (খ) a3-b3
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি (ক) এর
ক্ষেত্রে,
=(a-b)2+2ab+ab [a2+b2=(a-b)2+2ab]
=52+3ab
=25+3.36
=25+108
=133
প্রদত্ত রাশি (খ) এর
ক্ষেত্রে,
=(a-b)3+3ab(a-b)
=53+3.36.5 [মান বসিয়ে]
=125+540
=665
১০.
m+1/m=a হলে, m3+1/m3 এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
= m3+1/m3
=(m+1/m)3-3.m.1/m(m+1/m)
=a3-3a [মান বসিয়ে]
১১.
x-1/x=p হলে, x3-1/x3 এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
= x3-1/x3
=(a-1/x)3+3.(x-1/x)
=p3-3p [মান বসিয়ে]
১২.
যদি a-1/a=1 হয়, তবে দেখাও যে, a3-1/a3=4.
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= a3-1/a3
=(a-1/a)3+3.a.1/a(a-1/a)
=13+3.1
=1+3
=4
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১৩.
যদি a+b+c=0 হয়, তবে দেখাও যে,
ক)
a3+b3+c3=3abc
সমাধানঃ
a+b+c=0
বা, a+b=-c
বা, (a+b)3=(-c)3
বা, a3+b3+3ab(a+b)=-c3
বা, a3+b3+3ab(-c)=-c3 [a+b=-c]
বা, a3+b3-3abc=c3
বা, a3+b3+c3=3abc (দেখানো হলো)
|
(খ) |
(b+c)2 --------
3bc
|
+
|
(c+a)2 -------
3ca
|
+
|
(a+b)2 -------
3ab
|
=
|
1
|
|
দেওয়া
আছে, |
|
|
|
|
|||
|
|
a+b+c=0 |
|
|
|
|||
|
বা,
|
a+b=-c |
|
|
||||
|
বা,
|
c+a=-b |
|
|
|
|||
|
বা,
|
b+c=-a |
|
|
|
|||
|
এখন,
বামপক্ষ |
|
|
|
||||
|
=
|
(b+c)2 -------
3bc
|
+
|
(c+a)2 ------
3ca
|
+
|
(a+b)2 -------
3ab
|
|
|
|
=
|
a(b+c)2+b(c+a)2+c(a+b)2 ------------------------------------
3abc
|
|
|
||||
|
=
|
a.(-a)2+b.(-b)2+c.(-c)2 ------------------------------
3abc
|
|
|
|
|||
|
=
|
a3+b3+c3 --------------
3ab
|
|
|
|
|||
|
=
|
(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc ----------------------------------------
3abc
|
|
|||||
|
= |
0+3abc 3abc
|
|
|
|
|||
|
= |
0+1 |
|
|
|
|
||
|
= |
1 |
|
|
|
|
||
|
= |
ডানপক্ষ |
(প্রমাণিত) |
|
|
|
||
সমাধানঃ
p-q=r
বা, (p-q)3=r3
বা, p3-q3-3pq(p-q)=r3
বা, p3-q3-3pq.r=r3
বা, p3-q3-r3=3pqr (দেখানো হলো)
১৫.
2x-2/x=3 হলে, দেখাও যে, 8(x3-1/x3)=63
সমাধানঃ
2x-2/x=3
বা, 2(x-1/x)=3
বা, x-1/x=3/2
বা, (x-1/x)3=(3/2)3
বা, x3-(1/x)3-3.x.1/x.(x-1/x)=27/8
বা, x3-1/x3-3.(x-1/x)=27/8
বা, x3-1/x3-3.(3/2)=27/8
বা, x3-1/x3-9/2=27/8
বা, x3-1/x3=27/8+9/2
বা, x3-1/x3=(27+36)/8
বা, 8(x3-1/x3)=63 (দেখানো হলো)
১৬. a=√6+√5 হলে,
(a6-1)
১৭. x-1/x=√3 যেখানে x≠0
ক) প্রমাণ কর যে, x2-√3x=1
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √3
x2-1
বা, x2-1=√3x
বা, x2-√3x = 1 (প্রমাণিত)
সমাধানঃ
= 23(x2+1/x2)
=23{(x-1/x)2+2.x.1/x}
=23{(√3)2+2}
=23.5
=115
ডানপক্ষ
=5(x4+1/x4)
=5{(x2+1/x2)2-2.x2.1/x2}
=5{(5)2-2}
=5.(25-2)
=5.23
=115
∴23(x2+1/x2)=5(x4+1/x4) [প্রমাণিত)
গ) x6+1/x6
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
x2+1/x2=5
এখন,
x6+1/x6
=(x2)3+(1/x2)3
=(x2+1/x2)3-3.x2.1/x2(x2+1/x2)
=(5)3-3.5
=125-15
=110
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের
pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।
