SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (1-7) Part 1

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়:

১. নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই কর। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

ক) tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
আমরা জানি, tan60⁰=√3=1.73(প্রায়)>1
∴ “tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম” উক্তিটি মিথ্যা।

খ) cotA হলো cot ও A এর গুণফল

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
cot হলো ত্রিকোণমিতিক অনুপাত cotangent এর সংক্ষিপ্ত রুপ এবং A হলো কোণের পরিমান।
cotA প্রতীকটি A কোণের কোট্যানেজেন্ট অনুপাতকে বোঝায়। A বাদে cot আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না।

গ) A এর কোন একটি মানের জন্য secA=12/5

সমাধানঃ

          12

secA=-----

            5

        1        12

বা, ------=-------

      cosA      5

               12

বা, cosA=----=cos65.37⁰

                5

∴ A=65.37⁰

ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
cos হলো cosine এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

২. sinA=3/4 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, sinA=3/4
অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু=3
এবং অতিভুজ=4
∴সন্নিহিত বাহু=√(4²-3²)= √(16-9)= √7=√(4+3)=2+√3
সুতরাং,

              2+√3

cosA=---------

                 4

              2+√3

cotA=-----------

                 3

                 3

tanA=-----------

              2+√3

                   4

cosecA=--------

                   3

                 4

secA=----------

              2+√3

৩. দেখাও যে, 15cotA=8, sinA ও secA এর মান বের কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
15cotA=8
বা,  cotA=8/15

অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু=15
সন্নিহিত বাহু=8
∴অতিভুজ=√(15²+8²)= √(225-64)= √289=17
সুতরাং, sinA=15/17 এবং secA=17/8

৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB=13 সেমি, BC=12 সেমি এবং ∠ABC=θ হলে sinθ, cosθ ও tanθ এর মান বের কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
AB=13 সেমি এবং BC=12 সেমি
∴AC=√(13²-12²)= √(169-144)= √25=5 সেমি।
সুতরাং, sinθ=8/13, cosθ=12/13 ও tanθ=5/12

৫. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA=√3 হলে, √3sinAcosA=3/4 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, tanA=√3
অতএব, বিপরীত বাহু BC=√3, সন্নিহিত বাহু AB=1
∴অতিভুজ AC=√{√3)²+1²}=√(3+1)= √4=2
 সুতরাং, sinA=√3/2 ও cosA=1/2
তাহলে, √3sinAcosA=√3.( √3/2).(1/2)=3/4
সুতরাং, বাক্যটি সত্য।

প্রমাণ কর (৬-২০):

               1              1

৬. ক) --------- + ------------ = 1

           sec²A      cosec²A

বামপক্ষ=

   1              1

--------- + -----------

sec²A      cosec²A

       1              1

=  ------- + ----------

       1              1

   --------      ---------

   cos²A         sin²A

= cos²A+sin²A

=1

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

       1              1

খ) ------- - ---------- = 1

     cos²A      cot²A

বামপক্ষ=

   1              1

------- - ---------

 cos²A      cot²A

=sec²A-tan²A

=1+tan²A-tan²A

=1

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

        1              1

গ) ------- - ----------- = 1

      sin²A      tan²A

LHS=

    1              1

------- - -----------

  sin²A      tan²A

      1              1

=------- - -----------

    sin²A       sin²A

                 ----------

                   cos²A

      1          cos²A

=------- - -----------

    sin²A       sin²A

   1-cos²A

=----------

    sin²A

    sin²A

=--------

    sin²A

=RHS [Proved]

            sinA        cosA

৭. ক) ------- + ----------- = 1

           cosecA     secA

LHS=

  sinA         cosA

------- + -----------

 cosecA      secA

              1                     1

=sinA.-------- + cosA.--------

           cosecA             secA

=sinA.sinA+cosA+cosA

=sin²A+cos²A

=1

=RHS [Proved]

      secA      tanA

খ) ------- - ---------- = 1

      cosA      cotA

LHS=

   secA      tanA

------- - -----------

   cosA      cotA

              1                   1

=secA.------- - tanA.-------

            cosA              cotA

=secA.secA-tanA.tanA

=sec²A-tan²A

=1+tan²A-tan²A [sec²A=1+tan²A]

=1

=RHS [Proved]

          1                      1

গ) ------------ + ----------------- = 1

      1+sin²A         1+cosec²A

LHS=

     1                      1

------------ + ---------------

 1+sin²A         1+cosec²A

 

        1                      1

=------------ + ------------

   1+sin²A                1

                        1+----------

                              sin²A

        1                      1

=------------ + ---------------

   1+sin²A           sin²A+ 1

                          -----------

                              sin²A

        1                  sin²A

=------------ + ---------------

   1+sin²A           sin²A+ 1

   1 +sin²A                 

=------------

   1+sin²A

=1

=RHS [Proved]      

এই অধ্যায়ের বাকী অংশসমূহঃ

Part 2:

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (8-17) Part 2

Part 3:  

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (17-25) Part 3

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।