Amar Ganit Class 5 – তিনটি কাঠি নিয়ে খেলি | ত্রিভুজ – হুবহু পাঠ ১৯ – পাতা (২১৪-২২৫)
তিনটি কাঠি নিয়ে খেলি | ত্রিভুজ
বন্ধুরা আমরা
এই পাঠে তিনটি রেখাংশ/কাঠি নিয়ে খেলব, তাই এই পাঠের নাম তিনটি কাঠি নিয়ে খেলি বা ত্রিভুজ; চল আমরা পাঠ্যবইয়ে প্রদত্ত সকল
বিষয়াদি নিয়ে আলোচনা করি।
তিনটি রেখাংশ
কী কী ভাবে সাজানো যায় দেখিঃ
এই রেখাংশগুলো সমতলের কোনো জায়গাতে সীমাবদ্ধ করতে পারেনি। এবার তিনটি কাঠি নিয়ে নিন্মের চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ-
এবার উপরের
রেখাংশটি সমতলের কিছুটা জায়গা সীমাবদ্ধ করেছে। এই সীমাবদ্ধ সামতালিক চিত্রটি ত্রিভুজ। A, B ও C শীর্ষবিন্দু এবং AB, BC ও CA বাহু। অর্থাৎ তিনটি
সরলরেখাংশ দ্বারা সীমাবদ্ধ সামতলিক চিত্র হল ত্রিভুজ।
এবার বিভিন্ন
রকমের ত্রিভুজ তৈরি করি ও তাঁদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপি [পাতা-২১৪]
স্কেল দিয়ে
দেখলাম এই ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। প্রত্যেকটি ২.৯ সেমি.
∴ ত্রিভুজটিকে
সমবাহু ত্রিভুজ বলা হয়।
তাই, যে ত্রিভুজের
তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান সেই ত্রিভুজটি সমবাহু ত্রিভুজ। ছবিতে ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
এবার নিচের
চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ
স্কেল দিয়ে
মেপে দেখলাম, AB=AC= ২.৪ সেমি; BC= ১.৩
সেমি।
AB ও AC বাহুর
দৈর্ঘ্য সমান।
∴ΔABC
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
যে ত্রিভুজের
দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয় সেই ত্রিভুজটি হলো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আবার নিচের
চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ
স্কেল দিয়ে
মেপে দেখলাম, PQ=২.২ সেমি, QR=৩.৩ সেমি, PR=৪ সেমি।
PQ, QR ও
PR বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান।
∴ΔPQR
একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
যে ত্রিভুজের
তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই অসমান সেই ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
হাতে কলমে
কাজের মধ্য দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি করি [পাতা-২১৫]
দেশলাই কাঠি
বসিয়ে বিভিন্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের ত্রিভুজ তৈরি করি ও তাঁদের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করিঃ
(১) প্রথমে
সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করলামঃ
(২) পরে সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজ তৈরি করলামঃ
(৩) অতঃপর
বিষমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করলামঃ
(৪) সর্বশেষ
আর ত্রিভুজ তৈরি করতে পারলাম নাঃ
ফলাফলঃ দেশলাই
কাঠি দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি করতে গিয়ে দেখলাম যে, ত্রিভুজের এক একটি বাহুতে যেকোনো সংখ্যক
দেশলাই কাঠি দিলে সব সময়ে ত্রিভুজ তৈরি করা যাবে না। অর্থাৎ যে কোনো দৈর্ঘ্যের রেখাংশ
দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
এবার দেশলাই
কাঠি দিয়ে আরো কিছু ত্রিভুজ তৈরি করতে চেষ্টা করি যাদের তিনটি বাহুতে কাঠি থাকবে যথাক্রমে,
(১) ২, ৩,
৫
(২) ২, ২,
৫
(৩) ১, ৩,
৫
(৪) ১, ২,
৫
(৫) ৩, ৩,
৫
সমাধানঃ
তাই, ত্রিভুজ
আকার জন্য যেকোনো দুটো বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে বেশি হতে হবে।
নিজে করি
[পাতা-২১৬]
১। ২টো, ৩টে
ও ৬টা কাঠি দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি কিনা দেখি।
সমাধানঃ
২টো কাঠি,
৩টে কাঠি ও ৬টা কাঠি দিয়ে যদি ত্রিভুজের তিনটি বাহু তৈরি করি তাহলে ত্রিভুজ তৈরি করতে
পারব না। কারণঃ ২+৩ < ৬, ছোটো দুটো বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপর বাহুর থেকে বড়ো নয়।
২। একটি বাহুতে
৬টা কাঠির সঙ্গে অন্য দুটো বাহুর জন্য কতগুলো কাঠি নেবো যাতে একটি ত্রিভুজ তৈরির কাজ
করা যাবে?
সমাধানঃ
ছোটো দুটো
বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপর বাহুর থেকে বড়ো হয় এমন গাণিতিক বাক্য দেখিঃ
৬ < ৪+৩;
৬ < ৬+১
৬ < ৪+৪
ইত্যাদি
অর্থাৎ, একটি
বাহুতে ৬টা কাঠির সঙ্গে অন্য দুটো বাহুর জন্য আমরা ৬-এর বেশি কাঠি নেবো, ফলে ত্রিভুজ
তৈরির কাজ করা যাবে।।
এবার বিভিন্ন
ধরনের ত্রিভুজ আঁকি ও তাঁদের সম্বন্ধে জানি [পাতা-২১৭]
নিচের ত্রিভুজটি
লক্ষ্য করিঃ
ABC ত্রিভুজের
শীর্ষবিন্দু ৩টি। শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A, B ও C। ΔABC এর বাহু সংখ্যা ৩টি। ΔABC এর বাহুগুলো AB, BC ও CA। ΔABC এর কোণ ৩টি। কোণগুলি হলো ∠ABC, ∠ACB ও ∠BAC। চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম-
∠ABC=৬০ ডিগ্রি, ∠ACB=৬০ ডিগ্রি ও ∠BAC=৬০ ডিগ্রি।
∠ABC+∠ACB+∠BAC = (৬০+৬০+৬০) ডিগ্রি = ১৮০ ডিগ্রি।
ত্রিভুজটির
প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্মকোণ পেলাম। তাই এই ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
আবার,
ΔABC এর
AB=৫.৫ সে.মি., BC=৫.৫ সে.মি. ও CA=৫.৫ সে.মি.। CA, AB ও BC বাহুগুলির প্রত্যেকটির
দৈর্ঘ্য ৫.৫ সে.মি.।
∴ΔABC
একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে পেলাম-
∠ABC=৬০ ডিগ্রি, ∠ACB=৬০ ডিগ্রি ও ∠BAC=৬০ ডিগ্রি।
সমবাহু ত্রিভুজ
সবসময় সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ হয়।
এবার নিচের
চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ
[উল্লেখ্যঃ
পাঠ্যবইয়ে ΔDEF দেখানো
হয়েছে, আমরা এখানে ΔABC
আকারে দেখালাম।]
ΔABC এর
AB=২.৪. সে.মি., BC=১.৪ সে.মি. ও AC=২.৪ সে.মি.।
AB ও AC বাহুর
দৈর্ঘ্য সমান।
ΔABC একটি
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে পেলাম-
∠ABC=৬৫ ডিগ্রি, ∠ACB=৬৫ ডিগ্রি ও ∠BAC=৫০ ডিগ্রি।
সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজ সবসময় সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ হয়।
আবার নিচের
চিত্র লক্ষ্য করিঃ
উপরের ত্রিভুজের
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য স্কেলের সাহায্যে মাপি ও দেখি যে ত্রিভুজটা বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার
চাঁদার সাহায্যে ΔABC
এর কোণগুলির মান লিখে দেখি যে বিষমবাহু ত্রিভুজটা সমকোণী ত্রিভুজ। এর থেকে
ΔABC এর তিনটি কোণের যোগফল
নির্ণয় করি।
PQR+QPR+PRQ
= ৯০°+৬০°+৩০° = ১৮০°
[উল্লেখ্যঃ
বিষমবাহু ত্রিভুজ সমকোণী, সূক্ষ্মকোণী কিংবা স্থূলকোণীও হতে পারে।]
ত্রিভুজের
মধ্যে একটি কোণ সমকোণ বা (৯০°)
হলে কী পাব দেখি [পাতা-২১৯]
ΔABC এর
AB=৫ সেমি; BC=৫ সেমি; AC=৭.৩ সেমি।
AB ও BC বাহুর
দৈর্ঘ্য সমান। সবচেয়ে বড় বাহু AC। ΔABC একটি সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজ।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে দেখলাম, ∠ABC=
৯০ ডিগ্রি; ∠ACB=
৪৫ ডিগ্রি; ∠BAC=
৪৫ ডিগ্রি।
∠ACB=∠BAC= ৪৫ ডিগ্রি।
উপরের আঁকা
ত্রিভুজের তিনটি কোণের মধ্যে একটি সমকোণ ও অপর দুটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ। এইরকম
ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ। আবার ΔABC
এর দুটো বাহু সমান তাই ত্রিভুজটা সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
ΔABC এর
AB=৫.২ সেমি; BC=৬.৭ সেমি; AC=৮.৫ সেমি।
AB, BC ও
AC বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান। ∴ ΔABC একটি বিষমবাহু
ত্রিভুজ। বৃহত্তম বাহু = ৮.৫ সেমি।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে দেখলাম, ∠ABC=
৯০ ডিগ্রি; ∠ACB=
৩৮ ডিগ্রি; ∠BAC=
৫২ ডিগ্রি।
আবার দেখলাম,
∠ABC+∠ACB+∠BAC= (৯০+৩৮+৫২) ডিগ্রি =180 ডিগ্রি।
মাপ নিয়ে
পেলাম, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ কারণ একটি কোণ সমকোণ।
প্রশ্নঃ উপরের
ΔABC কি সমকোণী সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজ? যুক্তি দাও।
সমাধানঃ উপরের
ΔABC সমকোণী সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজ নয় কারণ এর একটি কোণ সমকোণ হলেও এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান। তাই বলা যায়
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ।
আরওঃ
সমকোণী ত্রিভুজের
সমকোণের বিপরীত বাহুটি অতিভুজ। সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর
নাম অতিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজে
কী পেলাম [পাতা-২২১]
যে ত্রিভুজের
একটি কোণ সমকোণ সেই ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
যে ত্রিভুজের
সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটি সমান সেই ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের
সমকোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম এবং ঐ বাহুর নাম অতিভুজ।
ত্রিভুজের
তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
নিজে করি
[পাতা-২২১]
১। ৩ সেমি,
৬ সেমি ও ৯ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি কী সম্ভব? যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তার অপর বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি
হয়। এখানে, ৩+৬=৯ যা শর্ত পূরণ করে না। তাই
৩ সেমি, ৬ সেমি ও ৯ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
২। সমকোণী
ত্রিভুজ কি কখনও সমবাহু ত্রিভুজ হবে? যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান ৬০° হয়
কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০° হতে
হবে। তাই সমকোণী ত্রিভুজ কখনও সমবাহু ত্রিভুজ হবে না।
৩। সমকোণী
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর নাম কী?
উত্তর; অতিভুজ।
৪। সমকোণী
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান কী কী হবে?
উত্তরঃ ৯০°,
৪৫° ও ৪৫°।
৫। সূক্ষ্মকোণী
ত্রিভুজ কাকে বলে? ছবি একে দেখাই।
উত্তরঃ যে
ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৯০° থেকে
ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। নিচের ΔABC
একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
৬। সমকোণী
ত্রিভুজ কখন সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে?
উত্তরঃ সমকোণী
ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে উক্ত ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
৭। একটি ত্রিভুজের
দুটি কোণের প্রত্যেকটি মান সমকোণ বা ৯০° হতে
পারে কি? যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
দুটি কোণের
প্রত্যেকটি মান ৯০° হলে,
৯০°+৯০° = ১৮০°।
আবার, ত্রিভুজের
তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
উপরোক্ত তথ্য
অনুসারে, দুটি কোণের মান ৯০° হলে
তৃতীয় কোণটি হবে ০° কিন্তু
ত্রিভুজের কোন কোণের মান কখনো ০° হয়
না।
তাই, একটি
ত্রিভুজের দুটি কোণের প্রত্যেকটি মান সমকোণ বা ৯০° হতে পারে না।
৮। সমবাহু
ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান কত ডিগ্রি?
উত্তরঃ ৬০°
৯। সমকোণী
ত্রিভুজে সমকোণ ছাড়া অপর দুটো কোণের সমষ্টি কত?
উত্তরঃ ৯০°
১০। ৫ সেমি,
২ সেমি ও ৮ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি কী সম্ভব? যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
এখানে,
৫+২ <
৮;
কিন্তু ত্রিভুজ
তৈরির শর্ত অনুসারে, এর ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তার তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের
থেকে বড়ো হতে হবে।
অর্থাৎ, ৫
সেমি, ২ সেমি ও ৮ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি সম্ভব নয়।
১১। সমকোণী
ত্রিভুজে একটি কোণের মান ৩০°
হলে অপর কোণ দুটোর প্রত্যেকটির মান কত?
সমাধানঃ
সমকোণী ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে,
একটি কোণ
সমকোণ বা ৯০° হবে। প্রদত্ত
কোণটির মান ৩০°।
তাহলে অপর
কোণটির মান
= ১৮০° - (৯০°+৩০°)
= ১৮০° - ১২০°
= ৬০°
তাহলে, অপর
কোণ দুটোর প্রত্যেকটির মান ৯০° ও
৬০°।
ত্রিভুজের
মধ্যে স্থূলকোণ খুঁজি [পাতা-২২২]
ΔABC এর
AB=৪.২ সেমি; BC=৫ সেমি; AC=৭.৫ সেমি।
∴ ΔABC
এর AB ও BC বাহুর দৈর্ঘ্য আলাদা।
∴ ΔABC
একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে দেখি, ∠ABC=
১১০ ডিগ্রি; ∠ACB=
৩০ ডিগ্রি; ∠BAC=
৪০ ডিগ্রি।
∠ABC
এর মান ৯০ ডিগ্রির চেয়ে বড়ো আবার ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে ছোটো।
∴ ∠ABC
একটি স্থূলকোণ।
∠ABC+∠ACB+∠BAC = (১১০+৩০+৪০) ডিগ্রি = ১৮০ ডিগ্রি।
ΔABC এর
AB=৩ সেমি; BC=৪.৫ সেমি; AC=৭ সেমি।
∴ ΔABC
এর AB, BC ও CA বাহুর দৈর্ঘ্য আলাদা।
∴ ΔABC
একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
চাঁদার সাহায্যে
মেপে দেখি, ∠ABC=
১৩০ ডিগ্রি; ∠ACB=
২০ ডিগ্রি; ∠BAC=
৩০ ডিগ্রি।
∠ABC
এর মান ৯০ ডিগ্রির চেয়ে বড়ো আবার ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে ছোটো।
∴ ∠ABC
একটি স্থূলকোণ।
∠ABC+∠ACB+∠BAC = (১৩০+২০+৩০) ডিগ্রি = ১৮০ ডিগ্রি।
শিখনঃ যে
ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ সেটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।
(১) ১ম ত্রিভুজটি
বাহুভেদে বিষমবাহু এবং কোণভেদে স্থূলকোণী।
(২) ২য় ত্রিভুজটি
বাহুভেদে বিষমবাহু এবং কোণভেদে স্থূলকোণী।
শিখন ফলাফলঃ
কোণ অনুযায়ী
ত্রিভুজ তিন প্রকারঃ
(১) সূক্ষ্মকোণী
(২) সমকোণী ও (৩) স্থূলকোণী ত্রিভুজ।
বাহু অনুযায়ী
ত্রিভুজ তিন প্রকারঃ
(১) সমবাহু
(২) সমদ্বিবাহু ও (৩) বিষমবাহু ত্রিভুজ।
ছক কাগজে
ত্রিভুজ আঁকি [পাতা-২২৪]
১. ছক কাগজ
তৈরি করে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এঁকে চাঁদার সাহায্যে কোণগুলির মাপ নিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
ছক কাগজ তৈরি
করে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকে চাঁদার সাহায্যে কোণগুলি মেপে পেলামঃ
∠ABC=৬০°;
∠ACB=°; ∠BAC=৬০°
২. ছক কাগজ
তৈরি করে সমকোণী ত্রিভুজ এঁকে কোন কোণটি সমকোণ ও কোণটি অতিভুজ দেখাই।
সমাধানঃ
১ম অঙ্কিত
ΔABC-এ সমকোণ = ∠ABC; অতিভুজ = AC.
২য় অঙ্কিত ΔABC-এ সমকোণ = ∠ABC; অতিভুজ = AC.
৩. ছক কাগজ
তৈরি করে স্থূলকোণী ত্রিভুজ এঁকে কোণটি স্থূলকোণ দেখাই। অপর সূক্ষ্মকোণ দুটির মান চাঁদার
সাহায্যে মেপে লিখি।
সমাধানঃ
স্থূলকোণটি
= ∠ABC
= ১২০°; ১ম সূক্ষ্মকোণ
= ∠ACB
= ৩০°; ২য় সূক্ষ্মকোণ
= ∠BAC
= ৩০°।
হাতে কলমে
ছক কাগজের সাহায্যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মানের সমষ্টি নির্ণয় করি [পাতা-২২৫]
সমাধানঃ
ছক কাগজে একটি বিষমবাহু বা স্থূলকোণী ত্রিভুজ আঁকলাম। একই রকমের বা মাপের তিনটি ত্রিভুজ কেটে নিলাম ও তিনটি কোণের নাম দিলাম।
একটা সাদা
কাগজে তিনটি ত্রিভুজ নীচের মতো সাজিয়ে দেখতে পাচ্ছি
∠ABC+∠ACB+∠BAC = ১৮০°
পরের পাঠঃ
গোলাকার পথে কিছু খুঁজি
আরওঃ