Amar Ganit Class 5 – এমন কিছু আঁকি যা খুব কম জায়গা নেবে – হুবহু পাঠ ১৪ – পাতা (১৬২-১৭২)
এমন কিছু আঁকি যা খুব কম জায়গা নেবে
সসসসাবির
অনেকগুলো পেনসিল কাটছে। এবার সাদা খাতার উপর পেনসিল রেখে দেখছে কার মুখ কত সরু। সে
দেখল, পেনসিলের মুখ যত সরু হচ্ছে খাতায় তত ছোটো দাগ করা সম্ভব হচ্ছে। এই ছোটো ছোটো
দাগ যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা এতই কম যে সাধারণভাবে মাপা যায় না। এই ছোটো দাগগুলো
বিন্দু। পেনসিল দিয়ে চারটি বিন্দু আঁকলাম। নাম দিলাম A বিন্দু,
B বিন্দু, C বিন্দু ও D বিন্দু। [তাহলে পাঠের শিরোনাম - এমন কিছু আঁকি যা খুব কম
জায়গা নেবে এর একটি উতকৃষ্ট উদাহরণ।]
এবার আমরা
এই বিন্দু আর কোথায় পাবো দেখি-
খাতার পাতায়
চারটি ধার চারটি বিন্দুতে মিলেছে। এই বিন্দুগুলি হল (A, B, C ও D)।
পোস্টকার্ডের চারটি কোনায় চারটি বিন্দু দেখছি। আবার চারটি ধার দেখছি।
একটা সাদা
কাগজ নিয়ে ভাঁজ করে খুলে দিলাম। কী পেলাম? একটা রেখা পেলাম। রেখার দুই প্রান্তবিন্দু
A ও B নির্দিষ্ট থাকলে, তাকে রেখাংশ বলব।
এবার যেকোনো
দুটো বিন্দু P ও Q নিলাম। এবার P ও Q পেনসিল দিয়ে যোগ করে অনেকগুলো রাস্তা পেলাম। সবচেয়ে
ছোটো রাস্তাটাকে বলব সরলরেখাংশ। লিখব PQ।
কতগুলো নাম
দেওয়া রেখাংশ ও বিন্দু (কৌণিক বিন্দু, ছেদ বিন্দু, প্রান্ত বিন্দু) আছে খুঁজি।
ছবিতে প্রাপ্ত
কৌণিক বিন্দুগুলো হলোঃ I, L, R, J; ছেদ বিন্দু হলোঃ O; প্রান্ত বিন্দুগুলো হলোঃ H,
F, E, G, A, B, C, D.
রেখাংশ পেলামঃ-
IL, LR, JR, IJ, HO, OG, EO, OF, HG, EF, AB, CD
১। পেনসিল
দিয়ে ৪টি বিন্দু আঁকি। ঐ চারটি বিন্দু দিয়ে কতগুলো রেখাংশ পাই দেখি।
সমাধানঃ
আমি পেনসিল
দিয়ে চারটি বিন্দু I, L, J, R আঁকলাম যেগুলো সমরেখ নয়।
ঐ চারটি বিন্দু
দিয়ে আমি IJ, JR, RL, IL, IR ও JL রেখাংশ পেলাম। অর্থাৎ ঐ চারটি বিন্দু দিয়ে আমি ৬টি
রেখাংশ পেলাম।
এবার বিভিন্ন রেখাংশ আঁকি [পাতা-১৬৩]
দুটি বিন্দু
A ও B নিলাম। A ও B যোগ করে AB বা BA রেখাংশ পেলাম। এবার প্রান্ত বিন্দুর দুই প্রান্তে
যত খুশি বাড়িয়ে দিলাম।
ফলতঃ একটি
রেখা পেলাম যার কোনো প্রান্ত বিন্দু নেই, ⎯⎯⎯⎯ একটি
সরলরেখা।
লিখিঃ
AB
রেখাংশের
কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ বা উচ্চতা নেই। তাই রেখাংশ একমাত্রিক। সুতরাং সরলরেখাও
একমাত্রিক।
এবার দেখি
১টা বিন্দু দিয়ে কতগুলো সরলরেখা আঁকতে পারি [পাতা-১৬৪]
চিত্র অনুসারে
দেখছি ‘O’ বিন্দু দিয়ে
AB, CD, EF, …….. অসংখ্য সরলরেখা আঁকতে পারি। তাই একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য সরলরেখা আঁকা যায়।
শিখনঃ একটি
নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যে সকল সরলরেখা আঁকা হয় তারা সমবিন্দু সরলরেখা।
এবার দেখি
দুটো বিন্দু দিয়ে কতগুলো সরলরেখা আঁকতে পারি [পাতা-১৬৪]
চিত্রানুসারে,
‘A’ ও ‘B’ বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি সরলরেখা তৈরি করা যায়।
এবার দেখি
তিনটি বিন্দু দিয়ে কতগুলো সরলরেখা আঁকা যায় [পাতা-১৬৪]
চিত্রানুসারে,
১ম চিত্রে,
দেখলাম ৩টি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকতে পারে অর্থাৎ এই ৩টি বিন্দু একই সরলরেখায় আছে
বা তারা সমরেখ বিন্দু। আবার ২য় চিত্রে, ৩টি বিন্দু অসমরেখ, এক্ষেত্রে ৩টি বিন্দুর অন্তত
দুটি দিয়ে সর্বাধিক ১টি সরলরেখা আঁকতে পারি।
এবার চারটি
সমরেখ ও অসমরেখ বিন্দু নিয়ে কটা সরলরেখা আঁকতে পারি দেখি [পাতা-১৬৫]
চিত্র অনুসারে,
১ম চিত্রে, ৪টি বিন্দু সমরেখ হলে AD সরলরেখা অঙ্কিত হয় অর্থাৎ কেবলমাত্র ১টি মাত্র
সরলরেখা আঁকতে পারি। কিন্তু ২য় চিত্রে, AB, BC, CD, AD, AC ও BD সরলরেখা অঙ্কিত হয়
অর্থাৎ ৬টি সরলরেখা আঁকতে পারি।
এবার দেখি-
১। পাঁচটি
সমরেখ ও অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কতগুলো সরলরেখা আঁকতে পারি দেখি।
সমাধানঃ
চিত্র অনুসারে,
১ম চিত্রে, ৫টি বিন্দু সমরেখ হলে AE সরলরেখা অঙ্কিত হয় অর্থাৎ কেবলমাত্র ১টি মাত্র
সরলরেখা আঁকতে পারি। কিন্তু ২য় চিত্রে, AB, BC, CD, DE, AE, AC, AD, BE, BD ও CE সরলরেখা
অঙ্কিত হয় অর্থাৎ ১০টি সরলরেখা আঁকতে পারি।
২। একইতলে
দুটো সরলরেখা সর্বাধিক _____টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
উত্তরঃ ১টি
কারনঃ
দুটো সরলরেখা
সমান্তরাল হলে তারা কখনো কোন বিন্দুতে ছেদ করবে না কিন্তু তারা সমান্তরাল না হলে তারা
১টি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করবে।
৩। একইতলে
তিনটি সরলরেখা সর্বাধিক _____টি বিন্দুতে ছেদ করবে।
উত্তরঃ ৩টি
চিত্র-১,
AB, CD, EF একটি বিন্দু M এ ছেদ করেছে; পরের চিত্রে, AB, CD, EF তিনটি বিন্দু G,
H, I অর্থাৎ ৩টি বিন্দুতে ছেদ করেছে যা সর্বাধিক।
৪। একইতলে
চারটি সরলরেখা সর্বাধিক ______টি বিন্দুতে ছেদ করবে।
উত্তরঃ ৬টি
এখানে,
AB কে CD ও EF সরলরেখাদ্বয় I, J, N বিন্দুতে ছেদ করেছে; এবং GH সরলরেখাটি AB, CD,
EF-কে K, L, M বিন্দুতে ছেদ করেছে; অর্থাৎ মোট ৬টি বিন্দুতে ছেদ করেছে যা সর্বাধিক।
বিভিন্ন রকম রেখা দেখি [পাতা-১৬৫]
উপরে টেবিলের
দুটো পাশাপাশি ধার একটি বিন্দুতে ছেদ করেছে। টেবিলের উপরের তলের
৪টি ধার। এই ধারগুলোর শুধুমাত্র দৈর্ঘ্য আছে, সাধারণভাবে প্রস্থ
বা (চওড়া) মাপা যায় না। তাই এই ধারগুলোকে রেখা বলব। নিচের পাথরের
ধার কিন্তু উপরের টেবিলের ধারের মতো নয়।
এই রেখা বক্ররেখা।
টেবিলের ধার
বা বই-এর ধার সরলরেখা।
শিখনঃ
রেখাংশের
কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য আছে কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
রেখা দুরকম-(১)
সরলরেখা (২) বক্ররেখা।
সরলরেখার
একটি বিন্দু থেকে অপর একটি বিন্দু যেতে কোনো দিক পরিবর্তন করতে হয় না।
বক্ররেখার
উপর একটি বিন্দু থেকে ঐ রেখা বরাবর অপর বিন্দুতে যেতে ক্রমাগত দিক পরিবর্তন হয়।
প্রশ্নঃ দুটো
বিন্দু দিয়ে কতগুলো বক্ররেখা আঁকতে পারি।
দুটো বিন্দু
দিয়ে অসংখ্য বক্ররেখা আঁকা যায়।
আবার দুটো
বিন্দুর সংযোজক রেখাংশগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো সরলরেখাটি।
শিখন ফলাফলঃ
দুটো সরলরেখা
পরস্পরকে ছেদ করে তবে তারা ১টি বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার, দুটো
বক্ররেখাংশ পরস্পরকে একাধিক/অসংখ্য বিন্দুতে ছেদ করে।
ছবি দেখে ছেদ বিন্দুগুলো গোল করি ও গুনে দেখি [পাতা-১৬৬]
আফতাব ও ফরিদা
ঠিক করল যে তারা বিভিন্ন সরলরেখা আঁকবে। আফতাব একটা উঁচু টেবিলে এবং ফরিদা একটা নীচু
টেবিলে আঁকতে বসল।
(১) নং ছবিতে
৫টি ছেদবিন্দু পেলাম, কিন্তু (২) নং ছবিতে ছেদবিন্দু পেলাম না।
শিখনঃ যদি
একই তলে দুটো সরলরেখা পরস্পরকে কখনো ছেদ না করে তারা ‘সমান্তরাল’।
১। ফরিদার
আঁকা ১ নং ছবিতে ৩টি ছেদবিন্দু পেলাম।
২। ফরিদার আঁকা ২ নং ছবিতে কোনো ছেদবিন্দু পেলাম
না। তাই ২ নং সরলরেখাগুলো সমান্তরাল।
৩। দেখি আফতাবের আঁকা ছবি ও ফরিদার আঁকা ছবি একই তলে আছে
কি না।
নীচের ঘনবস্তুর মধ্যে সরলরেখাংশ ও বক্ররেখাংশ খুঁজে বার করি [পাতা-১৬৮]
সমাধানঃ
প্রদত্ত ঘনবস্তুগুলোতে
সরলরেখাংশ ও বক্ররেখাংশ চিহ্নিত করে দেখানো হলোঃ
নিচে প্রদত্ত অঙ্কনগুলো আঁকি [পাতা-১৬৮]
১. সরলরেখা
২. বক্ররেখা
৩. সমবিন্দু
৪টি সরলরেখা
৪. সমরেখ
তিনটি বিন্দু
৫. দুটি সমান্তরাল
সরলরেখা
সমাধানঃ
জ্যামিতির বাক্স দেখি [পাতা-১৬৯]
জ্যামিতির
বাক্সে একটি স্কেল দেখতে পাই। স্কেলের সাহায্যে রেখাংশের দৈর্ঘ্য মাপি। একটা সরলরেখার
দৈর্ঘ্য মাপা যায় না কারণ সরলরেখার শুরু বা শেষ নেই। তাই রেখাংশের
দৈর্ঘ্য মাপব কারণ রেখাংশের দুটি প্রান্ত বিন্দু নির্দিষ্ট।
তাহলে চল আমরা নিজে করি অংশের সমাধান করি।
১। স্কেলের
সাহায্যে ৯ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের রেখাংশ অঙ্কন করি।
সমাধানঃ
স্কেলের
‘০’ দাগে বিন্দু A বসাই। ছবির মতো ‘৯’ দাগে পেনসিল দিয়ে B বিন্দু নিই। স্কেল দিয়ে
‘A’ ও ‘B’ যোগ করে ৯ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের AB রেখাংশ পাই।
২। স্কেলের
সাহায্যে ৬.৭ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের রেখাংশ অঙ্কন করি ও রেখাংশটির নাম দিই।
সমাধানঃ
স্কেলের
‘০’ দাগে বিন্দু A বসাই। ছবির মতো ‘৬.৭’ দাগে (৬ দাগের পর ক্ষুদ্রাকৃতির ৭ ঘর বরাবর)
পেনসিল দিয়ে B বিন্দু নিই। স্কেল দিয়ে ‘A’ ও ‘B’ যোগ করে ৬.৭ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের
AB রেখাংশ পাই।
৩। স্কেলের
সাহায্যে ৯.৫ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের রেখাংশ অঙ্কন করি ও রেখাংশটির নাম দিই।
সমাধানঃ
স্কেলের
‘০’ দাগে বিন্দু A বসাই। ছবির মতো ‘৯.৫’ দাগে (৯ দাগের পর ক্ষুদ্রাকৃতির ৫ ঘর বরাবর)
পেনসিল দিয়ে B বিন্দু নিই। স্কেল দিয়ে ‘A’ ও ‘B’ যোগ করে ৯.৫ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের
AB রেখাংশ পাই।
৪। স্কেলের
সাহায়যে মেপে লিখি।
AB=_____সেন্টিমিটার
BC=_____সেন্টিমিটার
CD=_____সেন্টিমিটার
DA=_____সেন্টিমিটার
সমাধানঃ
চিত্রের
A বিন্দুর উপর স্কেলের ০-কে এমনভাবে সস্থাপন করি যেন A ও 0 একই বিন্দু হয় এবং স্কেলটি
AB বরাবর স্থাপিত হয়। এখন B বিন্দু স্কেলের কোন দাগ বরাবর পড়েছে তা লক্ষ করি। দেখলাম
B এর অবস্থান ৩.২-এর সাথে মিলেছে। ফলত পেলাম AB=৩.২সেন্টিমিটার।
একইভাবে পরিমাপ
করে পাই,
BC=৩.৪সেন্টিমিটার
CD=৩.২সেন্টিমিটার
DA=৩.৪সেন্টিমিটার
৫। এবার নীচের
রেখাংশগুলির দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি।
AB=______সেন্টিমিটার, BC=______সেন্টিমিটার, CA=______সেন্টিমিটার।
সমাধানঃ
৪নং এর নিয়ম
অনুসারে পাই,
AB=_৬_সেন্টিমিটার, BC=_৬_সেন্টিমিটার,
CA=_৬_সেন্টিমিটার।
ছবি দেখি [পাতা-১৭১]
নীচের ছবি
দেখি। পেলাম রেখাগুলোর একটি প্রান্তবিন্দু আছে কিন্তু অপর প্রান্তবিন্দু নেই। এই রকম
রেখা হল রশ্মি।
ঐ রশ্মিকে
⟶ এইভাবে
দেখি ও লিখিঃ
AB
১। ছবিতে
OA
ও
OB কি একই রশ্মি?
AO
ও
OA কি একই রশ্মি?
সমাধানঃ
হ্যাঁ,
OA
OB একই রশ্মি। কারণ চিত্রে দুটো রশ্মিই একই দিকে যাচ্ছে।
কিন্তু,
AO
OA একই রশ্মি নয়। কারণ দুটো রশ্মির দিক দুই দিকে কিন্তু চিত্রে প্রদত্ত রশ্মি একই দিক বরাবর চলছে।
২। ছবিতে
কতগুলো ছেদবিন্দু ও রশ্মি আছে দেখি।
সমাধানঃ
ছবিতে একটি
ছেদবিন্দু ‘o’ ও তিনটি রশ্মি আছে যেগুলো হলোঃ
OA,
OB,
OC.
৩। ছবিতে
PA ও BD কীরুপ সরলরেখা? BD ও CD কীরুপ সরলরেখা? কতগুলো ছেদবিন্দু আছে? কোন কোন সরলরেখা
পরস্পরছেদী?
সমাধানঃ
PA ও BD পরস্পরছেদী
সরলরেখা কারণ চিত্র অনুসারে এরা সমান্তরাল নয়।
BD ও CD পরস্পরছেদী
সরলরেখা কারণ রেখা দুটি D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
চিত্রে, চারটি
ছেদবিন্দু A, B, C, D আছে।
নিচের সরলরেখাগুলো
পরস্পরছেদীঃ
(১) BD,
CD (২) BD, AC (৩) PA, BD (৪) PA, AC এবং (৫) CD, AC.
রেখা, রেখাংশ
ও রশ্মির মধ্যে তুলনা করিঃ [পাতা-১৭১]
|
|
যে ভাবে প্রকাশ করা
হয়
|
প্রান্তবিন্দু
|
দৈর্ঘ্যের মাপ
|
|
রেখা
|
↔
AB |
প্রান্তবিন্দু নেই
|
দৈর্ঘ্য মাপা যায় না
|
|
রেখাংশ
|
₋₋₋₋
AB বা AB |
দুটি প্রান্ত বিন্দু
আছে
|
দৈর্ঘ্য মাপা যায়
|
|
রশ্মি
|
⟶
AB |
একদিকে একটি প্রান্তবিন্দু
আছে, অন্যদিকে প্রান্তবিন্দু নেই।
|
দৈর্ঘ্য মাপা যায় না
|
নিজে করি
[পাতা-১৭২]
১। একটি বিন্দু
দিয়ে কতগুলি সরলরেখা আঁকা যায়?
সমাধানঃ
একটি বিন্দু
দিয়ে অসংখ্য সরলরেখা আঁকা যায়।
২। দুটি বিন্দু
দিয়ে কতগুলি সরলরেখা আঁকা যায়?
সমাধানঃ
দুটি বিন্দু
দিয়ে একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
৩। নীচের
বিন্দুগুলো যোগ করে কতগুলি রেখাংশ পাব?
উত্তরঃ
১ম চিত্রে,
AB, BC, AC রেখাংশ পাব অর্থাৎ ৩টি রেখাংশ পাব।
২য় চিত্রে,
AB, BD, CD, AC, BC, AD রেখাংশ পাব অর্থাৎ ৬টি রেখাংশ পাব।
৪। নীচের
প্রত্যেকটি চিত্রে কতগুলো নাম দেওয়া রেখাংশ আছে?
সমাধানঃ
(ক) ক-চিত্রে,
৫টি রেখাংশঃ AD, AB, BC, CD, BD অর্থাৎ এখানে ৫টি রেখাংশ আছে।
(খ) খ-চিত্রে,
তিনটি রেখাংশঃ BC, AB, AC অর্থাৎ এখানে ৩টি রেখাংশ আছে।
(গ) গ-চিত্রে,
৬টি রেখাংশঃ BC, CD, AB, DE, EF, FA অর্থাৎ এখানে ৬টি রেখাংশ আছে।
পরের পাঠঃ
সময়ের সঙ্গে ঘড়ির কাঁটার অবস্থান দেখি
আরওঃ