ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ SSC Higher Math BD-Chapter 3.2 (1-11) Part 1
ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ লম্ব অভিক্ষেপ, লম্ববিন্দু, মধ্যমা, পরিবৃত্ত, বহির্বৃত্ত, জ্যা, পরিকেন্দ্র
১. নিচের বামের চিত্রে XY রেখাংশে AB এর লম্ব অভিক্ষেপ কোনটি?
ক) AB খ) BC গ) AC ঘ) XY
উত্তরঃ খ
২. উপরের ডানের চিত্রে কোনটি লম্ববিন্দু?
ক) D খ) E গ) F ঘ) O
উত্তরঃ ঘ
৩. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য 3 সেমি হলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ক) 4.5 সেমি খ) 3.46 সেমি
গ) 4.24 সেমি ঘ) 2.59 সেমি
উত্তরঃ খ
উপরের চিত্রে D, E, F যথাক্রমে
BC, AC ও AB এর মধ্যবিন্দু। সেই আলোকে ৪-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৪. G বিন্দুর নাম কী?
ক) লম্ববিন্দু খ) অন্তঃকেন্দ্র গ) ভরকেন্দ্র ঘ) পরিকেন্দ্র
উত্তরঃ গ
৫. △ABC এর শীর্ষ বিন্দু তিনটি দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের নাম কী?
ক) পরিবৃত্ত খ) অন্তুর্বৃত্ত গ) বহির্বৃত্ত ঘ) নববিন্দুবৃত্ত
উত্তরঃ ক
৬. △ABC
এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে?
ক) AB2+AC2=BC2 খ) AB2+AC2=2(AD2+BD2)
গ) AB2+AC2=2(AG2+GD2) ঘ) AB2+AC2=2(BD2+CD2)
উত্তরঃ খ
৭.
ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো বিন্দু P থেকে BC ও CA এর উপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন
করা হয়েছে। যদি ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ কর যে, PO রেখা AB
এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, P, ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ
যেকোনো একটি বিন্দু। PD⊥BC ও PE⊥AC। ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে
যে, PO রেখা AB এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু
হতে কোনো ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের পাদবিন্দুগুলো সমরেখ।
এখানে, PD⊥BC, PE⊥AC এবং ED রেখাংশ Ab কে
O বিন্দুতে ছেদ করায় D, E, O সমরেখ। সুতরাং O বিন্দু অবশ্যই P হতে AB এর ওপর লম্বের
পাদবিন্দু হবে।
অর্থাৎ PO⊥AB (প্রমাণিত)।
৮.
△ABC
এর ∠C
সমকোণ। C থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব CD হলে, প্রমাণ কর যে, CD2=AD.BD।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠C=900। CD,
AB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, CD2=AD.BD।
প্রমাণঃ
△ABD-এ ∠BDC=900
[CD, AB এর উপর লম্ব]
CB2=CD2+BD2
বা, CD2=CB2-BD2……….(i)
একইভাবে, △ADC-এ
CD2=AC2-AD2………(ii)
এখন, (i)+(ii) করে পাই,
2CD2=AC2+CB2-BD2-AD2
বা, 2CD2=AB2-BD2-AD2
[△ABC-এ ∠C=900; AB2=AC2+CB2]
বা, 2CD2=(AD+BD)2-BD2-AD2
[AB=AD+BD]
বা, 2CD2=AD2+BD2+2AD.BD-BD2-AD2
বা, 2CD2=2AD.BD
বা, CD2=AD.BD [প্রমাণিত]
৯.
△ABC
এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ
করে। প্রমাণ কর যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও
CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।
প্রমাণঃ
△BOF ও △COE-এ
∠OFB=∠OEC=900 [CF⊥AB, BE⊥AC]
এবং ∠BOF=∠COE [বিপ্রতীপ কোণ]
ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
অতএব,
BO OF
বা, BO.OE=CO.OF………..(i)
আবার,
△BOD ও △AOE-এ
∠ODB=∠OEA=900 [AD⊥BC, BE⊥AC]
এবং ∠BOD=∠AOE [বিপ্রতীপ কোণ]
ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
অতএব,
BO OD
বা, AO.OD=BO.OE………..(ii)
এখন সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,
∴AO.OD=BO.OE=CO.OF (প্রমাণিত)
১০.
AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ কর যে, AB2=AC.AP+BD.BP।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে,
AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি
জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=AC.AP+BD.BP।
অঙ্কনঃ
A,D; B,C ও C,D যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD এর ∠ADB=900 [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]
∴ AB2=AD2+BD2………….(i)
একইভাবে,
△ABC এ
AB2=BC2+AC2………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
AB2+AB2=AD2+BC2+AC2+BD2
বা, 2AB2= AD2+BC2+AC2+BD2…..(iii)
আবার,
△APD এর ∠ADB=900 [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]
AP2=AD2+DP2
বা, AD2=AP2-DP2
একইভাবে,
△PBC এ
PB2=BC2+PC2
বা, BC2=PB2-PC2
এখন,
AD2 ও BC2 এর
মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
2AB2=AP2-DP2+PB2-PC2+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-(BD-BP)2+PB2-(AC-AP)2+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-(BD2+BP2-2BD.BP)+PB2-(AC2+AP2-2AC.AP)+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-BD2-BP2+2BD.BP+PB2-AC2-AP2+2AC.AP+AC2+BD2
বা, 2AB2=2BD.BP+2AC.AP
বা, AB2=BD.BP+AC.AP [প্রমাণিত]
১১.
কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে ঐ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র,
তাহলে এর ব্যাসার্ধ OA=OB=OC=3 সেমি (দেওয়া আছে)। বাহুর দৈর্ঘ্য AB=BC=CA=a (ধরি) নির্ণয়
করতে হবে।
বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
AD⊥BC আঁকি যা BC কে D বিন্দুতে
ছেদ করে। AD⊥BC হওয়ায় △ABD ও △ACD উভয়ে সমকোণী ত্রিভুজ।
△ABD ও △ACD ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ
AB=অতিভুজ AC [ABC সমবাহু বলে]
এবং AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ACD
∴ BD=CD অর্থাৎ AD একটি মধ্যমা।
এখন, যেহেতু D,BC এর মধ্যবিন্দু এবং
AD⊥BC সেহেতু AD অবশ্যই কেন্দ্র O দিয়ে যাবে।
অনুরুপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, B ও
C শীর্ষ হতে অঙ্কিত মধ্যমা দুইটিও O বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং O, △ABC এর ভরকেন্দ্র।
∴ AO : OD = 2 : 1
বা, AO/OD=2/1
বা, OD= ½AO
বা, OD=½✕3
সেমি
বা, OD=3/2
সেমি
এবং BD=½ BC = ½ a সেমি
আবার, OBD সমকোণী ত্রিভুজে,
OB2=OD2+BD2
বা, (3)2=(3/2)2+(a/2)2
বা, 9=(9/4)+(a.a/4)
বা, 36=9+a2 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]
বা, a2=36-9
বা, a2=27
বা, a=√27
বা, a=3√3 সেমি।
বা, AB=BC=CA=3√3 সেমি।
অর্থাৎ, প্রদত্ত ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর
দৈর্ঘ্য 3√3 সেমি।
এই অনুশীলনীর বাকী অংশঃ
ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ SSC Higher Math BD-Chapter 3.2 (12-16) Part 2
আমাদের সাথে থাকুন। আপনার মতামত ও পরামর্শ কমেন্ট বক্সে জানান, ধন্যবাদ।