ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ SSC Higher Math BD-Chapter 3.2 (12-16) Part 2
ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ লম্ব অভিক্ষেপ, লম্ববিন্দু, মধ্যমা, পরিব্যাসার্ধ, পরিবৃত্ত, পিথাগোরাসের উপপাদ্য, পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র
১২. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে ভূমি BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R হলে প্রমাণ কর যে, AB2=2R.AD।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এ
AB=AC। A হতে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে
হবে যে, AB2=2R.AD.
অঙ্কনঃ
AD-কে বর্ধিত করি, যেন তা পরিবৃত্তকে
E বিন্দুতে ছেদ করে। C,E যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ADC ও △ACE এ
∠ADC=∠ACE
[অর্ধবৃত্তস্থ ∠ACE=900 এবং AD,BC এর ওপর লম্ব বলে ∠ADC=900]
∠EAC সাধারণ কোণ।
এবং অবশিষ্ট ∠ACD=অবশিষ্ট ∠AEC.
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।
অতএব,
AD AC
[সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরুপ বাহুগুলোর
অনুপাত সমান]
বা, AC2=AE.AD
বা, AB2=AE.AD……..(i)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD ও ACD এর মধ্যে
অতিভুজ AB=অতিভুজ AC
AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ACD
∴ BD=CD
অর্থাৎ, AD⊥BC এবং AD,BC এর সমদ্বিখজন্ডক।
∴ AD বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
[কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের ওপর অঙ্কিত লম্ব
জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]
∴ AE, △ABC এর পরিব্যাস।
∴AE=2R
তাহলে, (i) হতে পাই,
AB2=2R.AD (প্রমাণিত)
১৩.
ABC ত্রিভুজের ∠A
এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে,
AD2=AB.AC-BD.DC।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক রেখাংশ
BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD2=AB.AC-BD.DC.
অঙ্কনঃ C,E যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD ও △ACE-এ
∠BAD=∠CAE [AD, ∠A এর সমদ্বিখন্ডক]
এবং ∠ABD=∠AEC [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]
অতএব, অবশিষ্ট ∠ADB=অবশিষ্ট ∠ACE
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে,
AD AB
[দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর
অনুপাত সমান]
বা, AB.AC=AD.AE……(i)
আবার, △ABD ও △CDE এ
∠ABD=∠CED [একই বৃত্তাংশস্থিত
কোণ]
এবং ∠ADB=∠CDE [বিপ্রতীপ কোণ]
অতএব, অবশিষ্ট ∠BAD=অবশিষ্ট ∠DCE
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে,
BD AD
[দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর
অনুপাত সমান]
বা, AD.DE=BD.DC…..(ii)
এখন, সমীকরণ (i) হতে পাই,
AB.AC=AD.AE
বা, AB.AC =AD(AD+DE)
বা, AB.AC =AD.AD+AD.DE
বা, AB.AC =AD2+AD.DE
বা, AD2=AB.AC-AD.DE
বা, AD2=AB.AC-BD.DC [সমীকরণ
(ii) হতে মান বসিয়ে]
অর্থাৎ, AD2=AB.AC-BD.DC
(দেখানো হলো)
১৪.
ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। দেখাও যে, △ABC : △AEF = AB2
: AE2।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর
উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। E,F যোগ করি। দেখাতে হবে যে, △ABC : △AEF = AB2 :
AE2।
প্রমাণঃ
∠BEC=∠BFC=এক সমকোণ [AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব]
যেহেতু কোণ দুইটি BC এর একই পাশে অবস্থিত
সেহেতু B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
∴ BCEF চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ।
এখন, △ABC ও △AEF এর মধ্যে
∠AEF=∠ABC
এবং ∠AFE=∠ACB
[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত
করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ বিপরীত অন্তঃস্থকোণের সমান]
∠A সাধারন কোণ।
∴ △ABC ও △AEF সদৃশ
তাহলে,
△ABC AB2
বা, △ABC
: △AEF = AB2 : AE2 (দেখানো হলো)
১৫.
△PQR
এ PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ক)
O বিন্দুটির নাম কী? O বিন্দু PM কে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?
সমাধানঃ
O বিন্দুটির নাম হলো ভরকেন্দ্র।
O বিন্দু PM কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত
করে।
খ)
△PQR
হতে PQ2+PR2=2(PM2+QM2) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত
কর।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ2+PR2=2(PM2+QM2)
সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করতে হবে।
অঙ্কনঃ
P হতে OR এর উপর PD লম্ব আঁকি।
সম্পর্ক প্রতিষ্ঠাঃ
△PQM-এ ∠PMQ সূক্ষ্মকোণ
∴ PQ2=PM2+QM2-2QM.DM…..(i)
[সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের
উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]
আবার, △PMR-এ ∠PMR স্থূলকোণ
∴ PR2=PM2+MR2+2MR.DM…..(ii)
[স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের
বিস্তৃতি হতে]
(i)+(ii) করে পাই,
PQ2+ PR2= PM2+QM2-2QM.DM+PM2+MR2+2MR.DM
=(PM2+PM2)+(QM2+MR2)-2QM.DM+2MR.DM
=(PM2+PM2)+(QM2+QM2)-2QM.DM+2QM.DM [মধ্যমা বলে QM=MR]
=2PM2+2QM2
=2(PM2+QM2)
∴ PQ2+PR2=2(PM2+QM2)
সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হলো।
গ)
দেখাও যে, △PQR
এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির
তিনগুণ।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাতে হবে
যে, PQR এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের
সমষ্টির তিনগুণ অর্থাৎ PQ2+PR2+QR2=3(OP2+OR2+OQ2)
প্রমাণঃ
খ হতে পাই,
PQ2+PR2=2(PM2+QM2)
বা, PQ2+PR2=2PM2+2QM2
বা, PQ2+PR2=2PM2+2.
(½.QR)2 [M, QR এর মধ্যবিন্দু বলে;
কারন PM মধ্যমা]
বা, PQ2+PR2=2PM2+2.
¼.QR2
বা, PQ2+PR2=2PM2+
½QR2…….(i)
অনুরুপভাবে পাই,
PQ2+QR2=2QN2+
½.PR2…….(ii)
এবং,
QR2+PR2=2SR2+
½PQ2…….(iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
PQ2+PR2+ PQ2+QR2+QR2+PR2=2PM2+
½QR2+2QN2+ ½.PR2+2SR2+ ½PQ2
বা, 2(PQ2+QR2+PR2)=2(PM2+QN2+SR2)+
½(PQ2+QR2+PR2)
বা, 4(PQ2+QR2+PR2)=4(PM2+QN2+SR2)+(PQ2+QR2+PR2)
[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 4(PQ2+QR2+PR2)-
(PQ2+QR2+PR2)= 4(PM2+QN2+SR2)
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)=4(PM2+QN2+SR2)
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)=4PM2+4QN2+4SR2…..(iv)
আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সম্পাত
বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব,
PO 2
OM
1
OM+PO 1+2
[যোজন
করে]
PM 3
বা, 2PM=3PO
বা, 4PM2=9PO2
একইভাবে, 4QN2=9QO2;
4SR2=9OR2
এই মানগুলো (iv) নং এ বসিয়ে পাই,
3(PQ2+QR2+PR2)=
9PO2+9QO2+9OR2
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)=
9(PO2+QO2+OR2)
বা, (PQ2+QR2+PR2)=
3(PO2+QO2+OR2) [দেখানো হলো]
১৬.
নিচের চিত্রে S, O যথাক্রমে △ABC
এর পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু। AP মধ্যমা, BC=a, AC=b এবং AB=c।
ক)
OA এবং SP এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের লম্ব বিন্দু
থেকে শীর্ষের দূরত্ব ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর দূরত্বের দ্বিগুণ।
△ABC এর লম্ব বিন্দু O থেকে
A শীর্ষের দূরত্ব OA এবং পরিকেন্দ্র S থেকে A শীর্ষের বিপরীত বাহু BC এর দূরত্ব SP.
∴ OA=2SP
ইহাই OA ও SP এর মধ্যে সম্পর্ক।
খ)
দেখাও যে, S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত।
সমাধানঃ
চিত্রে S হলো △ABC এর পরিকেন্দ্র এবং O হলো △ABC এর লম্ববিন্দু। AP হলো ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা। S,O এর
সংযোগ রেখা SO এবং AP পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে G বিন্দু ভরকেন্দ্র হলে
S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত হবে।
এখন, ক হতে পাই, OA=2SP.
এখন যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর ওপর লম্ব
সেহেতু AD।।SP.
এখন AD।।SP এবং AP এদের ছেদক।
∴ ∠PAD=∠APS [একান্তর কোণ]
অর্থাৎ, ∠OAG=∠SPG.
এখন, △AGO এবং △PGS এর মধ্যে
∠OAG=∠SPG [একান্তর কোণ]
∠AGO=∠PGS [বিপ্রতীপ্ কোণ]
∴ অবশিষ্ট ∠AOG=অবশিষ্ট ∠PSG
∴ △AGO এবং △PGS সদৃশকোণী।
সুতরাং,
AG OA
AG
2SP
[(i)
নং হতে]
বা, AG : GP = 2 : 1
অর্থাৎ G বিন্দু AP মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে।
∴ G বিন্দু △ABC এর ভরকেন্দ্র।
অর্থাৎ S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত
(দেখানো হলো)
গ)
∠C
সূক্ষ্মকোণ হলে, a.CD=b.CE সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত কর।
সমাধানঃ
AD⊥BC হওয়ায় △ABC এর ∠ACB সূক্ষ্মকোণ এবং CD,
BC বাহুতে AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
∴ AB2=AC2+BC2-2BC.CD……(i)
এবং CE, AC বাহুতে BC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
∴ AB2=BC2+AC2-2AC.CE……(ii)
(i) ও (ii) নং হতে পাই,
AC2+BC2-2BC.CD=BC2+AC2-2AC.CE
বা, -2BC.CD=-2AC.CE
বা, BC.CD=AC.CE
বা, a.CD=b.CE [সমীকরণটি
প্রতিষ্ঠিত হলো]
এই শ্রেণির বাকী অনুশীলনীর সকল লিঙ্কঃ SSC Higher Math BD