SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (18-25) Part 3

Admin

09 March

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়:

১ম অংশ বা

১-৭ নং প্রশ্নের সমাধান লিঙ্কঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (1-7) Part 1

২য় অংশ বা

৮-১৭ নং প্রশ্নের সমাধান লিঙ্কঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (8-17) Part 2

cotA+tanB

১৮. -------------- = cotA-tanB

cotB+tanA

সমাধানঃ

LHS

cotA+tanA

= -------------

cotB+tanA

cosA sinB

------+------

sinA cosB

= --------------

cosB sinA

------+------

sinB cosA

cosA.cosB+sinB.sinA

-----------------------

sinA.cosB

=-----------------------

cosA.cosB+sinA.sinB

-----------------------

sinB.cosB

cosA.cosB+sinB.sinA

=-----------------------

sinA.cosB

cosA.cosB+sinA.sinB

✕ ----------------------

sinB.cosB

sinB.cosA

=------------

sinA.cosB

sinB.cosA

=------.-----

cosB.sinA

=tanB.cotA

=cotA.tanB

=RHS [Proved]

1-sinA

১৯.√(--------------) = secA-tanA

1+sinA

সমাধানঃ

LHS

1-sinA

=√(--------------)

1+sinA

√(1-sinA)

=------------

√(1+sinA)

√(1-sinA).√(1-sinA)

=------------------------

√(1+sinA).√(1-sinA)

[নব ও হরকে √(1-sinA) দ্বারা গুণ করে]

{√(1-sinA)}²

=------------

√(1-sin²A)

1-sinA

=---------

√cos²A

1-sinA

=--------

cosA

1 sinA

=------ - -------

cosA cosA

=secA-tanA

=RHS [Proved]

secA+1

২০.√ (-------------) = cotA+cosecA

secA-1

সমাধানঃ

LHS

secA+1

=√ (-------------)

secA-1

√(secA+1) √(secA+1)

=-------------✕------------

√(secA-1) √(secA+1)

[লব ও হরকে √(secA+1) দ্বারা গুণ করে]

{√secA+1)}²

=--------------

√(sec²A-1)

secA+1

=---------

√tan²A

secA+1

=---------

tanA

secA 1

=-------+-----

tanA tanA

1 1

=secA------+-----

tanA tanA

=secA.cotA+cotA

=cosecA+cotA

=cotA+cosecA

=RHS [Proved]

২১. cosA+sinA=√2cosA হলে, তবে প্রমাণ কর যে, cosA-sinA=√2sinA

সমাধানঃ

cosA+sinA=√2cosA

বা, √2cosA+√2sinA=√2.√2cosA [√2 দ্বারা গুণ করে]

বা, cosA+sinA+√2sinA=2cosA [cosA+sinA=√2cosA]

বা, √2sinA=2cosA-cosA-sinA

বা, √2sinA=cosA-sinA

∴ cosA-sinA=√2sinA [প্রমাণিত]

২২. যদি tanA=------ হয়, তবে,

√3

cosec²A-sec²A

---------------------এর মান নির্ণয় কর।

cosec²A+sec²A

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

tanA=------

√3

বা, ------- =√3

tanA

বা, cotA=√3

প্রদত্ত রাশি,

cosec²A-sec²A

--------------------

cosec²A+sec²A

(1+cot²A)-(1+tan²A)

=--------------------------

(1+cot²A)+(1+tan²A)

1+cot²A-1-tan²A

=-----------------------

1+cot²A+1+tan²A

cot²A-tan²A

=--------------------

2+cot²A+tan²A

(√3)²-(1/√3)²

=--------------------

2+(√3)²+(/√3)²

3-1/3

=-------------

2+3+1/3

9-1

-----

= ------

6+9+1

--------

---

=---

---

8 3

=---✕----

3 16

=---

অতএব, নির্ণেয় মান=1/2

২৩. cosecA-cotA=4/3 হলে, cosecA+cotA এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosecA-cotA=4/3

(cosecA-cotA)(cosecA+cota) 4

বা,-------------------------------=---

(cosecA+cotA) 3

(cosec²A-cot²A) 4

বা,------------------=---

(cosecA+cotA) 3

1 4

বা,------------------=---

(cosecA+cotA) 3

বা, 4(cosecA+cotA)=3

বা, cosecA+cotA=3/4

২৪. cotA=b/a হলে,

asinA-bcosA

------------------এর মান নির্ণয় কর।

asinA+bcosA

সমাধানঃ

asinA-bcosA

----------------

asinA+bcosA

asinA bcosA

------- - ------

sinA sinA

=----------------

asinA bcosA

------- + -------

sinA sinA

[লব ও হরকে sinA দ্বারা ভাগ করে]

a-b cotA

=-----------

a+b cotA

a-b.b/a

=----------- [b এর মান বসিয়ে]

a+b.b/a

a-b²/a

=---------

a+b²/a

a²-b²

------

=-----

a²-b²

------

a²-b² a

=------✕------

a a²+b²

a²-b²

=--------

a²+b²

২৫. cosecA-cotA=1/x হলে,

ক) cosecA+cotA এর মান নির্ণয় কর

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, cosecA-cotA=1/x

আমরা জানি,

cosec²A-cot²A=1

বা, (cosecA+cotA)(cosecA-cotA)=1

বা, (cosecA+cotA)(1/x)=1 [মান বসিয়ে]

∴ cosecA+cotA=x

x²+1

খ) দেখাও যে, secA = ------

x²-1

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

cosecA+cotA=x

1 cosA

বা,-----+-------=x

sinA sinA

1+cosA

বা,-----------=x

sinA

(1+cosA)²

বা,-----------=x²

(sinA)²

1+2cosA+cos²A

বা,-------------------=x²

sin²A

1+2cosA+cos²A+sin²A x²+1

বা,--------------------------=-----

1+2cosA+cos²A-sin²A x²-1

[যোজন বিয়োজন করে]

1+2cosA+1 x²+1

বা,-----------------------------=-----

1+2cosA+cos²A-(1-cos²A) x²-1

2+2cosA x²+1

বা,-----------------------------=-----

1+2cosA+cos²A-1+cos²A x²-1

2+2cosA x²+1

বা,-----------------=-----

2cosA+2cos²A x²-1

2(1+cosA) x²+1

বা,-----------------=-----

2cosA(1+cosA) x²-1

1 x²+1

বা,-------=-----

cosA x²-1

x²+1

বা,secA =----- (দেখানো হলো)

x²-1

গ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, tanA+cotA=secA.cosecA

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

x²+1

secA =-----

x²-1

অর্থাৎ,

অতিভুজ x²+1

-----------=-------

ভূমি x²-1

∴লম্ব=√{(x²+1)²-(x²-1)²}=√4x²=2x

লম্ব 2x

∴ tanA=------=------

ভূমি x²-1

cotA=------=------

লম্ব 2x

অতিভুজ x²+1

cosecA=----------=------

লম্ব 2x

এখন,

বাপপক্ষ

= tanA+cotA

2x x²-1

=-----+------

x²-1 2x

4x²+(x²-1)²

=------------

2x(x²-1)

4x²+x⁴-2x²+1

=---------------

2x(x²-1)

x⁴+ 2x²+1

=-------------

2x(x²-1)

ডানপক্ষ

= secA.cosecA

x²+1 x²+1

=------✕-----

x²-1 2x

(x²+1)²

=---------

2x(x²-1)

x⁴+ 2x²+1

=-------------

2x(x²-1)

∴tanA+cotA=secA.cosecA (প্রমাণিত)।

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।