SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (18-25) Part 3

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়:

১ম অংশ বা

১-৭ নং প্রশ্নের সমাধান লিঙ্কঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (1-7) Part 1

২য় অংশ বা

৮-১৭ নং প্রশ্নের সমাধান লিঙ্কঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯.১ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয় (8-17) Part 2

       cotA+tanB             

১৮. -------------- = cotA-tanB

        cotB+tanA 

সমাধানঃ

LHS

    cotA+tanA             

= -------------

    cotB+tanA

   cosA    sinB

   ------+------

   sinA    cosB

= --------------

   cosB    sinA

   ------+------

   sinB    cosA

   cosA.cosB+sinB.sinA

   -----------------------

          sinA.cosB

=-----------------------

   cosA.cosB+sinA.sinB

    -----------------------

           sinB.cosB

   cosA.cosB+sinB.sinA

=-----------------------

          sinA.cosB

         cosA.cosB+sinA.sinB

     ✕ ----------------------

               sinB.cosB

    sinB.cosA

=------------

    sinA.cosB

    sinB.cosA

=------.-----

    cosB.sinA

=tanB.cotA

=cotA.tanB

=RHS [Proved]

                  1-sinA             

১৯.√(--------------) = secA-tanA

                 1+sinA 

সমাধানঃ

LHS

              1-sinA             

=√(--------------)

              1+sinA 

   √(1-sinA)

=------------

   √(1+sinA)

   √(1-sinA).√(1-sinA)

=------------------------

   √(1+sinA).√(1-sinA)

[নব ও হরকে √(1-sinA) দ্বারা গুণ করে]

   {√(1-sinA)}²

=------------

   √(1-sin²A)

   1-sinA

=---------

  √cos²A

   1-sinA

=--------

     cosA

     1         sinA

=------ - -------

   cosA     cosA

=secA-tanA

=RHS [Proved]

                 secA+1            

২০.√ (-------------) = cotA+cosecA

                 secA-1 

সমাধানঃ

LHS

              secA+1            

=√ (-------------)

               secA-1 

  √(secA+1)   √(secA+1)

=-------------✕------------

  √(secA-1)     √(secA+1)

[লব ও হরকে √(secA+1) দ্বারা গুণ করে]

  {√secA+1)}²

=--------------

  √(sec²A-1)

   secA+1

=---------

   √tan²A

   secA+1

=---------

     tanA

   secA     1

=-------+-----

    tanA   tanA

             1      1

=secA------+-----

          tanA   tanA

=secA.cotA+cotA

=cosecA+cotA

=cotA+cosecA

=RHS [Proved]

২১. cosA+sinA=√2cosA হলে, তবে প্রমাণ কর যে, cosA-sinA=√2sinA

সমাধানঃ

cosA+sinA=√2cosA

বা,  √2cosA+√2sinA=√2.√2cosA [√2 দ্বারা গুণ করে]

বা,  cosA+sinA+√2sinA=2cosA [cosA+sinA=√2cosA]

বা,  √2sinA=2cosA-cosA-sinA

বা,  √2sinA=cosA-sinA

∴ cosA-sinA=√2sinA [প্রমাণিত]

                          1            

২২. যদি tanA=------ হয়, তবে,

                   √3        

cosec²A-sec²A

---------------------এর মান নির্ণয় কর।

cosec²A+sec²A

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

             1            

tanA=------

        √3   

       1      

বা, ------- =√3   

     tanA  

বা, cotA=√3

প্রদত্ত রাশি,

cosec²A-sec²A

--------------------

cosec²A+sec²A

   (1+cot²A)-(1+tan²A)

=--------------------------

   (1+cot²A)+(1+tan²A)

   1+cot²A-1-tan²A

=-----------------------

   1+cot²A+1+tan²A

     cot²A-tan²A

=--------------------

   2+cot²A+tan²A

     (√3)²-(1/√3)²

=--------------------

   2+(√3)²+(/√3)²

       3-1/3

=-------------

   2+3+1/3

    9-1

   -----

     3

= ------

   6+9+1

   --------

      3

   8

  ---

   3

=---

  16

  ---

   3

   8      3

=---✕----

   3     16

   1

=---

   2

অতএব, নির্ণেয় মান=1/2

২৩. cosecA-cotA=4/3 হলে, cosecA+cotA এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosecA-cotA=4/3

    (cosecA-cotA)(cosecA+cota)   4

বা,-------------------------------=---

            (cosecA+cotA)                  3

    (cosec²A-cot²A)    4

বা,------------------=---

      (cosecA+cotA)    3

           1                     4

বা,------------------=---

      (cosecA+cotA)    3

বা, 4(cosecA+cotA)=3

বা, cosecA+cotA=3/4

২৪. cotA=b/a হলে,

asinA-bcosA

------------------এর মান নির্ণয় কর।

asinA+bcosA

সমাধানঃ

asinA-bcosA

----------------

asinA+bcosA

   asinA    bcosA

   ------- - ------

   sinA        sinA

=----------------

   asinA     bcosA

   ------- + -------

   sinA        sinA

[লব ও হরকে sinA দ্বারা ভাগ করে]

   a-b cotA

=-----------

   a+b cotA

   a-b.b/a

=----------- [b এর মান বসিয়ে]

   a+b.b/a

   a-b²/a

=---------

   a+b²/a

   a²-b²

  ------

    a

=-----

  a²-b²

  ------

    a

   a²-b²       a

=------✕------

     a         a²+b²

    a²-b²      

=--------

    a²+b²

২৫. cosecA-cotA=1/x হলে,

ক) cosecA+cotA এর মান নির্ণয় কর

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, cosecA-cotA=1/x

আমরা জানি,

cosec²A-cot²A=1

বা, (cosecA+cotA)(cosecA-cotA)=1

বা, (cosecA+cotA)(1/x)=1 [মান বসিয়ে]

∴ cosecA+cotA=x

                                     x²+1

খ) দেখাও যে, secA = ------

                                     x²-1

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

cosecA+cotA=x

      1      cosA

বা,-----+-------=x

     sinA   sinA

     1+cosA

বা,-----------=x

        sinA

     (1+cosA)²

বা,-----------=x²

        (sinA)²

     1+2cosA+cos²A

বা,-------------------=x²

            sin²A

     1+2cosA+cos²A+sin²A   x²+1

বা,--------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-sin²A     x²-1

[যোজন বিয়োজন করে]

     1+2cosA+1                          x²+1

বা,-----------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-(1-cos²A)  x²-1

          2+2cosA                          x²+1

বা,-----------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-1+cos²A     x²-1

          2+2cosA        x²+1

বা,-----------------=-----

     2cosA+2cos²A     x²-1

          2(1+cosA)      x²+1

বা,-----------------=-----

     2cosA(1+cosA)   x²-1

        1      x²+1

বা,-------=-----

     cosA   x²-1

               x²+1

বা,secA =----- (দেখানো হলো)

               x²-1

গ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, tanA+cotA=secA.cosecA

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

           x²+1

secA =-----

           x²-1

অর্থাৎ,

অতিভুজ     x²+1

-----------=-------

ভূমি             x²-1

∴লম্ব=√{(x²+1)²-(x²-1)²}=√4x²=2x

             লম্ব      2x

∴ tanA=------=------

              ভূমি   x²-1

            ভূমি    x²-1

cotA=------=------

             লম্ব     2x

            অতিভুজ    x²+1

cosecA=----------=------

             লম্ব            2x

এখন,

বাপপক্ষ

= tanA+cotA

   2x      x²-1

=-----+------

   x²-1     2x

   4x²+(x²-1)²

=------------

    2x(x²-1)

   4x²+x⁴-2x²+1

=---------------

    2x(x²-1)

   x⁴+ 2x² +1

=-------------

    2x(x²-1)

ডানপক্ষ

= secA.cosecA

   x²+1     x²+1

=------✕-----

   x²-1       2x

   (x²+1)²

=---------

   2x(x²-1)

   x⁴+ 2x² +1

=-------------

    2x(x²-1)

∴tanA+cotA=secA.cosecA (প্রমাণিত)।

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।