SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.৫ বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্ত (14-19) Part 2

বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্তঃ

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.৫ বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্ত (1-13) Part 1

১৪. একটি বর্গের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত আঁক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি বর্গ। এর অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) ABCD বর্গের কর্ণ AC ও BD আঁকি।
খ) O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABCD বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
গ) O থেকে AB এর উপর AE লম্ব আঁকি যা AB কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
ঘ) O কে কেন্দ্র করে OE এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে EFGH বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, বর্গের কর্ণ পরস্পর সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
তাহলে, DO=OB=OA=OB
সুতরাং, O থেকে A, B, C, D বিন্দুর দূরত্ব সমান।
তাহলে, ABCD নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
আবার, যেহেতু বর্গের কর্ণ কোণগুলিকে সমদ্বিখন্ডিত করে সুতরাং O থেকে AB, BC, CD, DA বাহুর লম্বদূরত্ব সমান হবে অর্থাৎ O থেকে E, F, H, G বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে।
তাহলে, EFGH নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত।

১৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠AEC=1/2 (∠BOD+∠AOC)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AEC=1/2 (∠BOD+∠AOC)

অঙ্কনঃ
A, D যোগ করি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ AC চাপের উপর (1/2)∠AOC=∠ADC …………(i)
এবং BD চাপের উপর (1/2)∠BOD=2∠BAD …………(ii)
এখন, E বিন্দুতে, ∠AEC+∠AED=180⁰
                বা,  ∠AEC=180⁰-∠AED
                বা,  ∠AEC=180⁰-(180⁰-∠EAD-∠EDA)  [∠EAD+∠EDA+∠AED=180⁰]
                বা,  ∠AEC=180⁰-(180⁰-∠BAD-∠ADC)
                বা,  ∠AEC=180⁰-180⁰+∠BAD+∠ADC
                বা,  ∠AEC=∠BAD+∠ADC
                বা,  ∠AEC=(1/2) ∠AOC+(1/2)∠BOD
                বা,  ∠AEC=1/2(∠AOC+∠BOD) [প্রমাণিত]

১৬. দুইটি সমান ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সাধারণ জ্যা AB। B বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত কোন সরলরেখা যদি বৃত্ত দুইটির সাথে P ও Q বিন্দুতে মিলিত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, △PAQ সমবাহু।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O ও O’ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত যাদের ব্যাস সমান এবং এরা পরস্পর Aও B বিন্দুতে ছেদ করে। এদের সাধারণ জ্যা AB এবং । B বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত PQ সরলরেখা বৃত্ত দুইটির সাথে P ও Q বিন্দুতে মিলিত হয়, প্রমাণ করতে হবে যে, △PAQ সমবাহু বা PA=QA.

প্রমাণঃ
আমরা জানি, সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে সমান জ্যা সমান সমান চাপ ছিন্ন হয়।
∴চাপ AEB=চাপ AFB
আবার, সমান সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে সমান চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান হয়।
∴চাপ AEB এর বৃত্তস্থ ∠APQ=চাপ AFB এর বৃত্তস্থ ∠AQP
বা,  ∠APQ=∠AQP
এখন,
△APQ-এ,
∠APQ=∠AQP
তাহলে, AP=AQ [ ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান]
∴△PAQ সমবাহু (প্রমাণিত)

১৭. O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে জ্যা AB=x সেমি। OD ⊥ AB।

চিত্র অনুযায়ী নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

ক) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, OB=r=10 cm
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr²
                                    =3.1416✕(10)²
                                    =3.1416✕100
                                    =314.16 বর্গ সেমি।

খ) দেখাও যে, D, AB এর মধ্যবিন্দু।

সমাধানঃ

O, A যোগ করি।

△AOD ও △BOD-এ
OA=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু
∠OAD=∠OBD [△ABD এর AO=OB]
∴ △AOD ≅ △BOD
তাহলে, AD=BD (দেখানো হলো)।

গ) OD=(x/2-2) সেমি হলে x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
AB=x; OD=(x/2-2); OB=10 cm
যেহেতু AD=BD; সেহেতু BD=AB/2=x/2
△BOD –এ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB²=OD²+BD²
বা,  (10)²=(x/2-2)²+(x/2)²
বা,  100=x²/4-2.x/2.2+2²+x²/4
বা,  100=x²/4+x²/4-2x+4
বা,  2x²/4-2x+4=100
বা,  x²/2-2x+4-100=0
বা,  x²/2-2x-96=0
বা,  x²-4x-192=0
বা,  x²-16x+12x-192=0
বা,  x(x-16)+12(x-16)=0
বা,  (x+12)(x-16)=0
বা,  x+12=0 অথবা, x-16=0
বা,  x=-12        বা,  x=16
x=-12 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x=16 সেমি।

১৮. চিত্রে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক।

ক) দেখাও যে, ∠MYZ+∠NYZ=90⁰

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। দেখাতে হবে যে, ∠MYZ+∠NYZ=90⁰
প্রমাণঃ
এখন, Y বিন্দুতে,
∠PYZ+∠XYZ=180⁰
বা,  ½ ∠PYZ+½ ∠XYZ=90⁰
বা,  ∠NYZ+∠MYZ=90⁰ [YM ও YN হলো যথাক্রমে ∠Y এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ও বহির্দ্বিখন্ডক]
বা,  ∠MYZ+∠NYZ=90⁰ (দেখানো হলো)

খ) প্রমাণ কর যে, ∠YNZ=90⁰-½∠x

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠YNZ=90⁰-½∠x
প্রমাণঃ
△NYZ-এ
∠YNZ+∠NYZ+∠NZY=180⁰
বা,  ∠YNZ=180⁰-∠NYZ-∠NZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-½∠PYZ-½∠QZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-½(180⁰-∠XYZ)-½(180⁰-∠XZY)
বা,  ∠YNZ=180⁰-½.180⁰+½∠XYZ-½.180⁰+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-90⁰+½∠XYZ-90⁰+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=½∠XYZ+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=½(∠XYZ+∠XZY)
বা,  ∠YNZ=½(180⁰-∠X) [△XYZ এর ক্ষেত্রে]
বা,  ∠YNZ=90⁰-½∠x (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
প্রমাণঃ
খ হতে পাই, ∠YNZ=90⁰-½∠x……….(i)
△MYZ-এ
∠ZYM+∠YZM+∠YMZ=180⁰
বা,  ∠YZM=180⁰-∠MYZ-∠MZY
বা,  ∠YZM=180⁰-½∠XYZ-½∠XZY
বা,  ∠YZM=180⁰-½(∠XYZ+∠XZY)
বা,  ∠YZM=180⁰-½(180⁰-∠X)
বা,  ∠YZM=180⁰-90⁰+½∠X
বা,  ∠YZM=90⁰+½∠X…………….(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
∠YNZ+∠YMZ=90⁰-½∠x+90⁰+½∠X
বা,  ∠YNZ+∠YMZ=180⁰
এখন, YNZM চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে পরস্পর বিপরীত কোণ ∠YNZ ও ∠YMZ এর সমষ্টি 180⁰ বা এরা সম্পূরক।
∴ Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

১৯. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সেমি, 5 সেমি ও 6 সেমি। উপরের তথ্য অনুযায়ী নিন্মের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

খ) ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
প্রদত্ত ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে অর্থাৎ ত্রিভুজটির A, B, C বিন্দু দিয়ে যায় এমন বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরনঃ
১) ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EF ও GH আঁকি।
২) EF ও GH পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।
৩) O কে কেন্দ্র করে AO এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করি। অঙ্কিত ABC বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।

গ) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের বাহিরে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করে দেখাও যে স্পর্শকদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, প্রদত্ত পরিবৃত্তের উপর পরিবৃত্তের বাহিরে P বিন্দু থেকে PA ও PE স্পর্শক আঁকা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, PA=PE.

অঙ্কনঃ 

A, O; E, O; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOP ও △EOP এর মধ্যে,
AO=OE [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠PAO=∠PEO=90⁰ [বৃত্তে কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও স্পর্শগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব]
∴PA=PE (প্রমাণিত)।

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।