বহুপদ রাশিমালার শূন্য - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.3 - অধ্যায়-2

বহুপদ রাশিমালার শূন্য - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.3 - অধ্যায়-2, ভাগশেষ উপপাদ্য এর সাহায্যে ভাগশেষ নির্নয়, শূন্য দিয়ে ভাগশেষ,

বহুপদ রাশিমালার শূন্য

বন্ধুরা, আমাদের এই অধ্যায় হলো ত্রিপুরা বাংলা মাধ্যম গণিতের অনুশীলনী 2.3 এর প্রশ্নের সমাধান যার নাম বহুপদ রাশিমালার শূন্য, যেখানে শূন্যকে বিশেষভাবে ব্যবহার করা হয়। যেমনঃ কোন একটি রাশি যদি অপর একটি রাশির উৎপাদক হয় তাহলে সেক্ষেত্রে ভাগশেষ 0 হবে। ধরি, p রাশিটি q এর একটি উৎপাদক তাহলে, q ÷ p = 0 হবে। আবার, x-m যদি q(x) এর উৎপাদক হয় তাহলে, q(m) = 0 হবে। কিন্তু q(m) = 0 না হয় এবং q(m) = n হয় তাহলে x-m, q(x) এর উৎপাদক হবে না বরং n হবে q(x) কে  x-m দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষ। অতএব, বহুপদ রাশিমালার শূন্য অধ্যায়ে প্রশ্নের সমাধানে আমরা উপরে আলোচিত বিষয়ের প্রয়োগ করব। আর এই পদ্ধতি সহজ পদ্ধতি, যদি তোমরা চাও সরাসরি ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা সকল সমাধান করতে পার। তাহলে চল শুরু করি-

ভাগশেষ উপপাদ্য - বহুপদ রাশিমালার শূন্য

1. ভাগশেষ নির্ণয় করো, যখন x3 + 3x2 + 3x + 1 কে নিন্মলিখিত রাশিমালা দিয়ে ভাগ করা হয়-

(i) x+1

(ii) x – ½

(iii) x

(iv) x+ π

(v) 5+2x

সমাধান1:

(i) মনে করি, x + 1 = 0

∵x = -1

আবার, ধরি, p(x) = x3+3x2+3x +1

∵p(-1)

= (-1)3 + 3(-1)2 + 3(-1) + 1

= -1 + 3 – 3 + 1

= 0

অর্থাৎ, x3 + 3x2 + 3x + 1 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 0.


(ii) মনে করি, x – ½ = 0

∵ x = ½

আবার, ধরি, p(x)= x3+3x2+3x+1

∵p(½)

= (½)3 + 3(½)2 + 3(½) + 1

= 1/8 + 3× 1/4 + 3× ½ +1

= 1/8 + 3/4 + 3/2 +1


   1 + 6 + 12 + 8
= -------------------
            8

= 27/8

সুতরাং, x3 + 3x2 + 3x + 1 কে x – ½ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 27/8.


(iii) ধরি, x = 0 এবং p(x)= x3 +3x2 +3x +1

তাহলে, p(0)

= 03 + 3.02 + 3.0 + 1

= 0 + 0 + 0 + 1

= 1

এই কারনে, x3+ 3x2+ 3x+ 1 কে x দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 1.


(iv) x+ π  = 0 হলে, x = - π

এখন ধরি, g(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1

সেক্ষেত্রে, g(-π)

=  (-π)3 + 3(-π)2 + 3(-π) + 1

= -π3 + 3 π2 - 3π + 1

অর্থাৎ, x3+ 3x2+ 3x+ 1 কে x+ π দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় -π3 + 3 π2 - 3π + 1.


(v) 5+2x = 0 হলে, 2x = -5 বা, x = -5/2

এখন ধরি, k(x) =x3+ 3x2+ 3x+ 1

∵k(-5/2)

= (-5/2)3 + 3(-5/2)2 + 3(-5/2) + 1

= - 125/8 + 3× 25/4 – 3× 5/2 + 1

= - 125/8 + 75/415/2 + 1


   - 125 + 75×2 – 15×4 + 1×8
= --------------------------------
                          8

   -125 + 150 – 60 + 8
= ------------------------
                   8

= -27/8

সুতরাং, x3+ 3x2+ 3x +1 কে 5+2x দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় -27/8.


2. ভাগশেষ নির্ণয় করো যখন x3 – ax2 + 6x – a কে x-a দিয়ে ভাগ করা হয়।

সমাধান2:

x-a = 0 হইলে, x = a.

এখন ধরি, g(x) = x3 – ax2 + 6x – a

তাহলে,

g(a)

= a3 – a.a2 + 6a – a

= a3 – a3 + 6a – a

=5a

∵নির্নেয় ভাগশেষ = 5a.


3. 7 + 3x রাশিটি 3x3 + 7x এর একটি উৎপাদক কি না পরীক্ষা করো।

সমাধান3:

ধরি, 7 + 3x = 0

বা, 3x = - 7

বা, x = - 7/3

এখন মনে করি,  p(x) = 3x3 + 7x

∵P(-7/3)

= 3(-7/3)3 + 7(-7/3)

= 3(-7×7×7/3×3×3) - 7(7/3)

= - 343/949/3


   -343 – 49×3
= --------------
         9

= -490/9

যেহেতু, p(-7/3) = 0 নয় সেহেতু, 7 + 3x রাশিটি 3x3 + 7x এর একটি উৎপাদক নয় (পরীক্ষা করা হলো)।


আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণির সকল অধ্যায় 

Make CommentWrite Comment