কৌণিক দূরত্ব পরিমাপে ত্রিকোণমিতি

Admin

15 December

আমাদের এই অধ্যায়ের নাম কৌণিক দূরত্ব পরিমাপে ত্রিকোণমিতি যা ৯ম শ্রেণির ৭ম অধ্যায়। এখানে আমরা অনুশীলনীর সকল গাণিতিক প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি – যেখানে আমরা শিখবঃ ডিগ্রি, মিনিট, সেকন্ডের মান নির্নয় পদ্ধতি, রুলার ও চাঁদা ব্যবহার করে কোণ অঙ্কন পদ্ধতি, ত্রিকোণমিতিক কোণের মান নির্ণয়, আদর্শ অবস্থানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্নয়, রেডিয়ান ও ডিগ্রিতে প্রকাশ এবং বাস্তব কিছু প্রশ্নের সমাধান। তাহলে, শুরু করা যাক।

অনুশীলনী-৭

1. 5° তে কত সেকেন্ড নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

1° = 3600”

∵ 5° = (5×3600)” = 18000”

অর্থাৎ, 5° তে 18000 সেকেন্ড।

2. জ্যামিতিক রুলার এবং চাঁদা ব্যবহার করে 30°, 360°, 380°, -20° এবং –420° কোণ আঁক।

সমাধানঃ

30° অঙ্কনঃ

(i) যেকোনো বিন্দু o নেই এবং জ্যামিতিক রুলার স্থাপন করে OA রশ্মি আঁকি।

(ii) এবার চাঁদার কেন্দ্রকে O বিন্দুতে ও ডান পাশের প্রান্তভাগকে OA বরাবর মিলিয়ে স্থাপন করি যেন চাঁদার অর্ধবৃত্তাকার অংশ উপরের দিকে থাকে।

(iii) এবার OA রশ্মি হতে ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে চাঁদা হতে 30 লেখা বরাবর পেন্সিল দিয়ে একটি বিন্দু P চিহ্নিত করি।

(iv) O,P যোগ করে OP রশ্মি আঁকি; তাহলে ∠AOP = 30° অঙ্কিত হলো।

360° অঙ্কনঃ

(i) যেকোনো বিন্দু o নেই এবং জ্যামিতিক রুলার স্থাপন করে OA রশ্মি আঁকি।

(iii) এবার OA রশ্মি হতে ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে চাঁদার বামপাশে লেখা 180 বরাবর পেন্সিল দিয়ে একটি বিন্দু P₁ চিহ্নিত করি। আবার, চাঁদার কেন্দ্রকে O বিন্দুতে ও ডান পাশের প্রান্তভাগকে OA বরাবর মিলিয়ে স্থাপন করি যেন চাঁদার অর্ধবৃত্তাকার অংশ নিচের দিকে থাকে। এবং চাঁদার ডানপাশে লেখা 180 বরাবর আরেকটি বিন্দু P₂ চিহ্নিত করি।

(iv) তাহলে, P₂ বিন্দু OA এর সাথে সমাপতিত হয় ফলত OA রশ্মি বরাবর আমাদের 360° অঙ্কিত হলো।

380° অঙ্কনঃ

এখানে, 380° = 360° + 20°

অর্থাৎ, আমাদের 20° কোণ অঙ্কনই যথেষ্ট হবে কারণ 360° কোণ OA বরাবর অবস্থান করে।

(i) যেকোনো বিন্দু o নেই এবং জ্যামিতিক রুলার স্থাপন করে OA রশ্মি আঁকি।

(iii) এবার OA রশ্মি হতে ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে চাঁদা হতে 20 লেখা বরাবর পেন্সিল দিয়ে একটি বিন্দু P চিহ্নিত করি।

(iv) O,P যোগ করে OP রশ্মি আঁকি; তাহলে 360° + 20° = 380° অঙ্কিত হলো যা চিত্রে দেখানো হয়েছে।

-20° অঙ্কনঃ

(i) যেকোনো বিন্দু o নেই এবং জ্যামিতিক রুলার স্থাপন করে OA রশ্মি আঁকি।

(ii) এবার চাঁদার কেন্দ্রকে O বিন্দুতে ও ডান পাশের প্রান্তভাগকে OA বরাবর মিলিয়ে স্থাপন করি যেন চাঁদার অর্ধবৃত্তাকার অংশ নিচের দিকে থাকে।

(iii) এবার OA রশ্মি হতে ঘড়ির কাটার দিকে চাঁদা হতে 20 লেখা বরাবর পেন্সিল দিয়ে একটি বিন্দু P চিহ্নিত করি।

(iv) O,P যোগ করে OP রশ্মি আঁকি; তাহলে ∠AOP = -20° অঙ্কিত হলো।

-420° অঙ্কনঃ

এখানে, -420° = -360° - 60°

অর্থাৎ, আমাদের -60° কোণ অঙ্কনই যথেষ্ট হবে কারণ -360° কোণ OA বরাবর অবস্থান করে।

(i) যেকোনো বিন্দু o নেই এবং জ্যামিতিক রুলার স্থাপন করে OA রশ্মি আঁকি।

(iii) এবার OA রশ্মি হতে ঘড়ির কাটার দিকে চাঁদা হতে 60 লেখা বরাবর পেন্সিল দিয়ে একটি বিন্দু P চিহ্নিত করি।

(iv) O,P যোগ করে OP রশ্মি আঁকি; তাহলে -360° - 60° = -420° অঙ্কিত হলো যা চিত্রে দেখানো হয়েছে।

3. রুলার এবং চাঁদা ব্যবহার করে 60°, 90°, 180°, 200°, 280°, 750°, –45°, –400° কোণগুলো আদর্শ অবস্থানে আঁকো। এগুলো কোয়াড্রেন্ট নাকি কোয়াড্রেন্টাল কোণ তা নির্ণয় করো। কোণগুলো কোন চতুর্ভাগে আছে তা উল্লেখ করো।

সমাধানঃ

রুলার এবং চাঁদা ব্যবহার করে 60°, 90°, 180°, 200°, 280°, 750°, –45°, –400° কোণগুলো আদর্শ অবস্থানে আঁকা হলো যা নিন্মের চিত্রে অঙ্কিত।

60°, 90°, 180°, 200°, 280°, 750°, –45°, –400° কোণগুলোর আদর্শ অবস্থান

এখন কোণগুলোর অবস্থান বিবেচনা করে পাই,

60°, 200°, 280°, 750°, –45°, –400° কোণগুলো চারটি চতুর্ভাগের যেকোণ একটির ভিতরে অবস্থান করছে অর্থাৎ এরা কোয়াড্রেন্ট কোণ (quadrant angle)।

আবার,

90°, 180° কোণদুটি অক্ষের উপর অবস্থান করছে অর্থাৎ এরা কোয়াড্রেন্টাল কোণ (quadrantal angle)।

4. মান নির্ণয় করো : cos135°, cot120°, tan390°, sin(–30°), sec300°, csc(–570°)

সমাধানঃ

cos135°

= cos(180°-45°)

= -cos45°

= -¹/_√2 [∵cos45°=¹/_√2]

cot120°

= cot(180°-60°)

= -cot60°

= - ¹/_√3[∵cot60°=¹/_√3]

tan390°

= tan(360°+30°)

= tan30°

= ¹/_√3[∵tan30°=¹/_√3]

sin(–30°)

= -sin30°

= -½ [∵sin30°=¹/₂]

sec300°

= sec(360°-60°)

= sec60°

= 2 [∵sec60°=2]

csc(–570°)

= csc570°

= csc(540°+30°)

= csc30°

= 2

[আমাদের এই অধ্যায় কৌণিক দূরত্ব পরিমাপে ত্রিকোণমিতি চলমান, উপরে নিচে দিয়ে এখানে মোট ১০টি প্রশ্ন আছে নতুন পাঠ্যক্রম অনুসারে। আমাদের লিখে জানাও যেকোন মতামত, ধন্যবাদ।]

5. আদর্শ অবস্থানে A(2, 3), B(–3, 1), C(–4, –4), D(1, –2), E(–2,0) বিন্দুগুলো দ্বারা উৎপন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

A(2, 3)

এখানে, x=2, y=3 এবং r = √(2²+3²) = √13

সুতরাং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোঃ

sinθ = ^y/_r = ³/_√₁₃

cosθ = ^x/_r = ²/_√₁₃

tanθ = ^y/_x = ³/₂

cotθ = ^x/_y = ²/₃

secθ = ^r/_x = ^√¹³/₂

cscθ = ^r/_y = ^√¹³/₃

B(–3, 1)

এখানে, x=-3, y=1 এবং r = √{(-3)²+1²} = √10

সুতরাং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোঃ

sinθ = ^y/_r = ¹/_√₁₀

cosθ = ^x/_r = ^-3/_√₁₀

tanθ = ^y/_x = ¹/_-3

cotθ = ^x/_y = ^-3/₁ = -3

secθ = ^r/_x = ^√¹⁰/_-3

cscθ = ^r/_y = ^√¹⁰/₁ = √10

C(–4, –4)

এখানে, x=-4, y=4 এবং r = √{(-4)²+4²)} = √32 = 4√2

সুতরাং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোঃ

sinθ = ^y/_r = ⁴/_4√₂ = ¹/_√₂

cosθ = ^x/_r = ^-4/_4√₂ = ^-1/_√₂

tanθ = ^y/_x = ⁴/_-4= -1

cotθ = ^x/_y = ^-4/₄= -1

secθ = ^r/_x = ^4√²/_-4 = -√2

cscθ = ^r/_y = ^4√²/₄ = √2

D(1, –2)

এখানে, x=1, y=-2 এবং r = √{1²+(-2)²} = √5

সুতরাং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোঃ

sinθ = ^y/_r = ^-2/_√₅

cosθ = ^x/_r = ¹/_√₅

tanθ = ^y/_x = ^-2/₁ = -2

cotθ = ^x/_y = ¹/_-2 = -½

secθ = ^r/_x = ^√⁵/₁ = √5

cscθ = ^r/_y = ^√⁵/₂

E(–2,0)

এখানে, x=-2, y=0 এবং r = √{(-2)²+0²} = 2

সুতরাং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোঃ

sinθ = ^y/_r = ⁰/₂ = 0

cosθ = ^x/_r = ^-2/₂ = -1

tanθ = ^y/_x = ⁰/_-2 = 0

cotθ = ^x/_y = ^-2/₀ = undefined

secθ = ^r/_x = ²/_-2 = -1

cscθ = ^r/_y = ²/₀ = undefined

6. নিম্নোক্ত বিন্দুগুলোকে r এবং tanθ এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

a. A(3, –2)

সমাধানঃ

এখানে, x=3, y=-2

∵ r = √{3²+(-2)²} = √13

এবং,

tanθ = ^y/_x = ^-2/₃

∵ A(3, –2) = (√13,^-2/₃) [প্রকাশ করা হলো]

b. B(–2, –1)

সমাধানঃ

এখানে, x=-2, y=-1

∵ r = √{(-2)²+(-1)²} = √5

এবং,

tanθ = ^y/_x = ^-1/_-2= ½

∵ A(-2, –1) = (√5,¹/₂) [প্রকাশ করা হলো]

c. C(–4, 0)

সমাধানঃ

এখানে, x=-4, y=0

∵ r = √{(-4)²+0²} = 4

এবং,

tanθ = ^y/_x = ⁰/_-4= 0

∵ A(-4, 0) = (4, 0) [প্রকাশ করা হলো]

7. রেডিয়ানে প্রকাশ কর:

a.75°30’

সমাধানঃ

75°30’

= 75° + (³⁰/₆₀)° [∵1° = 60’]

= 75° + (¹/₂)°

= {^(75×2+1)/₂}°

= (¹⁵¹/₂)°

(¹⁵¹/₂)π

= ----------- রেডিয়ান

180

[∵1° = ^π/₁₈₀ রেডিয়ান]

= ^151π/₃₆₀রেডিয়ান

b. 45°44’43’’

সমাধানঃ

45°44’43”

= 45° + (⁴⁴/₆₀)° + (⁴³/₃₆₀₀)° [∵1° = 60’ এবং 1° = 3600”]

= ^π/₁₈₀ (45 +⁴⁴/₆₀ +⁴³/₃₆₀₀) রেডিয়ান [∵1° = ^π/₁₈₀ রেডিয়ান]

45×3600+44×60+43

= ^π/₁₈₀ × ---------------------- রেডিয়ান

3600

π(45×3600+44×60+43)

= --------------------------- রেডিয়ান

3600×180

164683π

= ----------- রেডিয়ান

648000

c. 60°30’15’’

সমাধানঃ

60°30’15’’

= 60° + (³⁰/₆₀)° + (¹⁵/₃₆₀₀)° [∵1° = 60’ এবং 1° = 3600”]

= 60° + (¹/₂)° + (¹/₂₄₀)°

= ^π/₁₈₀ (60 +¹/₂ +¹/₂₄₀) রেডিয়ান [∵1° = ^π/₁₈₀ রেডিয়ান]

60×240+1×120+1

= ^π/₁₈₀ × ------------------- রেডিয়ান

240

π(14400+120+1)

= ------------------- রেডিয়ান

240×180

14521π

= --------- রেডিয়ান

43200

8. ডিগ্রীতে প্রকাশ কর:

a. ^4π/₂₅ রেডিয়ান

সমাধানঃ

^4π/₂₅ রেডিয়ান

= (^4π/₂₅×¹⁸⁰/_π)° [∵1=^180°/_π]

= (^4π/₂₅×¹⁸⁰/_π)°

= 28.8°

b. 1.3177 রেডিয়ান

সমাধানঃ

1.3177 রেডিয়ান

= (1.3177×¹⁸⁰/_π)° [∵1=^180°/_π]

= (1.3177×¹⁸⁰/_3.1416)° [∵π =3.1416]

= 75.4984° (প্রায়)

c. 0.9759 রেডিয়ান

সমাধানঃ

0.9759 রেডিয়ান

= (0.9759×¹⁸⁰/_π)° [∵1=^180°/_π]

= (0.9759×¹⁸⁰/_3.1416)° [∵π =3.1416]

= 55.9148° (প্রায়)

9. পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কিলোমিটার। যদি টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার অবস্থান পৃথিবীর কেন্দ্রে 10°6’3’’ কোণ উৎপন্ন করে, তবে টেকনাফ থেকে তেঁতুলিয়ার দূরত্ব কত?

সমাধানঃ

এখানে,

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, r = 6440 কিমি।

টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার অবস্থান দ্বারা পৃথিবীর কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ

= 10°6’3’’

= 10° + (⁶/₆₀)° + (³/₃₆₀₀)°

= 10° + (¹/₁₀)° + (¹/₁₂₀₀)°

= {^{(1200×10+120+1)}/₁₂₀₀}°

= (¹²¹²¹/₁₂₀₀)°

= ^π/₁₈₀×¹²¹²¹/₁₂₀₀ রেডিয়ান

= ^12121π/₂₁₆₀₀₀ রেডিয়ান

সুতরাং, টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার দুরত্ব, s

= rθ

= 6440 × ^12121π/₂₁₆₀₀₀

= 1135.328 কিমি (প্রায়)

10. পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কিলোমিটার। ধরো, পৃথিবীর উপরে দুইটি স্যাটেলাইট এমন অবস্থানে আছে যে তারা পৃথিবীর কেন্দ্রে 33’’ কোণ উৎপন্ন করে। স্যাটেলাইট দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধানঃ