বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ (দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ) – Class 7 Math BD 2023 – ২য় অধ্যায় (৫৩ - ৫৭ পৃষ্ঠা)
দ্বিপদী রাশির বর্গ
একক
কাজঃ ছবির সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করো।
1.
m+n
2.
4x+3
3.
3x+4y
4.
105
5.
99
সমাধানঃ
(1)
ছবির সাহায্যে m+n এর বর্গ নির্ণয়ঃ
(i)
m+n এর বর্গ অর্থাৎ (m+n)2 নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই যার
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য m+n.
(ii)
এখন m+n বাহুতে m ও n এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি ক্ষেত্র পাওয়া
গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ করি। ফলে
(m+n)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = m2 + 2mn + n2
অতএব,
(m+n)2 = m2 + 2mn + n2
(2)
ছবির সাহায্যে 4x+3 এর বর্গ নির্ণয়ঃ
(i)
4x+3 এর বর্গ অর্থাৎ (4x+3)2 নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই যার
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 4x+3.
(ii)
এখন 4x+3 বাহুতে 4x ও 3 এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি ক্ষেত্র পাওয়া
গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ করি। ফলে
(4x+3)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = (4x)2 + 4x.3+4x.3 + 32 = 16x2 +
12x +12x + 9 = 16x2 + 24x + 9
অতএব,
(4x+3)2 = 16x2 + 24x + 9
(3)
ছবির সাহায্যে 3x+4y এর বর্গ নির্ণয়ঃ
(i)
3x+4y এর বর্গ অর্থাৎ (3x+4y)2 নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই
যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 3x+4y.
(ii)
এখন 3x+4y বাহুতে 3x ও 4y এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি ক্ষেত্র
পাওয়া গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ করি। ফলে
(3x+4y)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = (3x)2 + 3x.4y+3x.4y + (4y)2 = 9x2
+ 12xy +12xy + 16y2 = 9x2 + 24xy + 16y2
অতএব,
(3x+4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2
(4)
ছবির সাহায্যে 105 এর বর্গ নির্ণয়ঃ
(i)
105 এর বর্গ অর্থাৎ (105)2 নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই যার
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 105.
(ii)
এখন 105 দৈর্ঘ্যের বাহুতে 100 ও 5 এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি
ক্ষেত্র পাওয়া গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ করি। ফলে
(105)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = (100)2 + 100.5+100.5 + (5)2 = 10000 + 500
+500 + 25 = 11025
অতএব,
(105)2 = 11025
(5)
ছবির সাহায্যে 99 এর বর্গ নির্ণয়ঃ
(i)
99 এর বর্গ অর্থাৎ (99)2 নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই যার প্রতি
বাহুর দৈর্ঘ্য 99.
(ii)
এখন 99 দৈর্ঘ্যের বাহুতে 90 ও 9 এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি ক্ষেত্র
পাওয়া গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ করি। ফলে
(99)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = (90)2 + 90.9+90.9 + (9)2 = 8100 + 810 +810 + 81
= 9801
অতএব,
(99)2 = 9801
কাগজ
কেটে প্রমাণ করোঃ a2+b2 = (a+b)2 – 2ab
সমাধানঃ
(i) একটি বর্গাকৃতির কাগজ নিই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য
a+b এর সমান হয়।
(ii)
এখন (a+b) দৈর্ঘ্যের বাহুতে a ও b এর দৈর্ঘ্য চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে চারটি
ক্ষেত্র পাওয়া গেল।
(iii)
ক্ষেত্রগুলো কাগজ হতে কেটে আলাদা করি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে যোগ
করি। ফলে (a+b)2 পাওয়া গেল।
প্রাপ্ত
ক্ষেত্রফল = (a)2 + ab + ab + (b)2 = a2 + 2ab +
b2
তাহলে,
(a+b)2
= a2 + 2ab + b2
বা,
a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
বা,
a2+ b2 = (a+b)2 – 2ab [প্রমাণিত]
সহজ উপায়ে (বীজগণিতের সূত্র) বর্গসংখ্যা নির্ণয়:
কাজঃ
সহজ উপায়ে 52, 71, 21, 103 এর বর্গ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
52
এর বর্গ
=
522
=
(50+2)2
=
502+2.50.2+22 [সূত্রানুসারে]
=
2500 + 200 + 4
=
2704
71
এর বর্গ
=
712
=
(70+1)2
=
702+2.70.1+12 [সূত্রানুসারে]
=
4900 + 140 + 1
=
5041
21
এর বর্গ
=
212
=
(20+1)2
=
202+2.20.1+12 [সূত্রানুসারে]
=
400 + 40 + 1
=
441
103
এর বর্গ
=
1032
=
(100+3)2
=
1002 + 2.100.3 + 32 [সূত্রানুসারে]
=
10000 + 600 + 9
=
10609
ছক
১.২ সহজ উপায়ে বর্গসংখ্যা নির্ণয় করে পূরণ করো।
সমাধানঃ
|
সংখ্যা
|
বর্গসংখ্যা
|
সংখ্যা
|
বর্গসংখ্যা
|
|
1
|
1
|
11
|
121
|
|
2
|
4
|
12
|
144
|
|
3
|
9
|
13
|
169
|
|
4
|
16
|
14
|
196
|
|
5
|
25
|
15
|
225
|
|
6
|
36
|
16
|
256
|
|
7
|
49
|
17
|
289
|
|
8
|
64
|
18
|
324
|
|
9
|
81
|
19
|
364
|
|
10
|
100
|
20
|
400
|
কাজঃ
সারণিভূক্ত বর্গ সংখ্যাগুলোর
এককের ঘরের অঙ্কগুলো ভালোভাবে পর্যবেক্ষণ করে কোন মিল খজেুঁ পেলে কিনা দেখ।
সমাধানঃ
সারণিভূক্ত
বর্গ সংখ্যাগুলোর এককের ঘরের অঙ্কগুলো ভালোভাবে পর্যবেক্ষণ করে একটা মিল খুকে পেয়েছি যা হলোঃ বর্গ
সংখ্যা গুলোর এককের ঘরে 0, 1, 4, 5, 6 অথবা 9 অংকটি রয়েছে।
কাজঃ
১। কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক কত হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হতে পারে?
সমাধানঃ
কোন
সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক 0, 1, 4, 5, 6 অথবা 9 হলে সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হতে পারে।
২।
পাঁচটি সংখ্যা লেখ যার একক স্থানের অঙ্ক দেখেই তা বর্গসংখ্যা নয়
বলে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়।
সমাধানঃ
কোন
সংখ্যার একক স্থানের
অঙ্ক দেখেই তা বর্গসংখ্যা নয়
বলে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় এমন পাঁচটি সংখ্যা হলোঃ
12,
17, 22, 33, 43
একক
কাজঃ উপরের মতো ছবির সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করো।
1.
(m+n)
2.
(4x+3)
3.
(3x+4y)
4.
95
5.
99
সমাধানঃ
1
– 3 পর্যন্ত সমাধান পূর্বেই করা হয়েছে। 4 – 5 এর সমাধান নিচে দেয়া হলো। [উল্লেখ্যঃ
নিচের পদ্ধতিতে (a-b)2 কাঠামোর যেকোন সমাধান কাগজ কেটে তোমরা করতে পারবে।]
4.
95
(i)
যেকোন একটি বর্গাকৃতির কাগজ কেটে নিই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 100 এর সমান ধরি।
(ii)
নিচের চিত্রের মত 100 দৈর্ঘ্যের বাহুকে 95 ও 5 দৈর্ঘ্যে চিহ্নিত করি।
(iii) এখন, চিত্র অনুসারে সবুজ বর্গের ক্ষেত্রফল = সমগ্র বর্গের ক্ষেত্রফল- [হলুদ আয়তের ক্ষেত্রফল+ লাল বর্গের ক্ষেত্রফল + নীল আয়তের ক্ষেত্রফল] অর্থা ৎ,
952
= 1002 – [95×5+5×95+5×5]
বা,
952 = 10000 – [475+475+25]
বা,
952 = 10000 – 975
বা,
952 = 9025
অতএব,
95 এর বর্গ 9025
5.
99
(i)
যেকোন একটি বর্গাকৃতির কাগজ কেটে নিই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 100 এর সমান ধরি।
(ii)
নিচের চিত্রের মত 100 দৈর্ঘ্যের বাহুকে 99 ও 1 দৈর্ঘ্যে চিহ্নিত করি।
(iii) এখন, চিত্র অনুসারে সবুজ বর্গের ক্ষেত্রফল = সমগ্র বর্গের ক্ষেত্রফল- [হলুদ আয়তের ক্ষেত্রফল+ লাল বর্গের ক্ষেত্রফল + নীল আয়তের ক্ষেত্রফল] অর্থা ৎ,
992
= 1002 – [99×1+1×99+1×1]
বা,
992 = 10000 – [99+99+1]
বা,
992 = 10000 – 199
বা,
992 = 9801
অতএব,
99 এর বর্গ 9801
পৃষ্ঠা ৫৩ – ৫৭ পর্যন্ত সমাধান এই অংশে দেওয়া হয়েছে। বাকী অংশগুলোর লিঙ্ক নিন্মরুপঃ
পৃষ্ঠা ৫৩ – ৫৭ - এই অংশ
এই অধ্যায়ের সূচীর লিঙ্কঃ
৭ম শ্রেণি ১ম অধ্যায়ঃ সূচকের গল্প