সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector)-SSC Higher Math BD-Chapter 12 (13-16) Part 2
সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector): স্কেলার ও ভেক্টর রাশি, ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ, সমান-বিপরীত ও অবস্থান ভেক্টর, স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর, ভেক্টরের সাহায্যে জ্যামিতিক সমাধান।
১৩. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক।
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের
AB ও CD বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং BC ও AD বাহুদ্বয় সমান্তরাল। E ও F যথাক্রমে AB ও
CD এর মধ্যবিন্দু। E ও F যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, EF,
AD ও BC এর সমান্তরাল এবং
à à
à
প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ভেক্টর মূল
বিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a, b,
c ও d.
তাহলে,
à
à
এখন,
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ½ (a+b) [যেহেতু, E, AB এর মধ্যবিন্দু]
F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ½ (c+d) [যেহেতু, F, CD এর মধ্যবিন্দু]
অতএব,
à
= ½ (c+d-a-b)
= ½ {(c-b)+(d-a)}
à à à
কিন্তু BC ও AD পরস্পর সমান্তরাল
হওয়ায়
à
à
à
কারন,
à à
à
অতএব,
EF, AD ও BC এর সমান্তরাল
এবং
à à
à
১৪. ভেক্টরের. সাহায্যে
প্রমাণ. কর যে., ট্রাপিজিয়াম. এর কর্ণদ্বয়ের. সংযোজক সরলরেখা. সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের
সমান্তরাল ও তাদের বিয়োগফল এর অর্ধেক।
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের
AB||CD এবং AC ও BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি ।
প্রমাণ করতে হবে যে,
PQ = ½ (DC-AB)
এবং
PQ||AB||CD.
প্রমাণঃ
মনে করি., কোনো ভেক্টর. মূলবিন্দুর
সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর. যথাক্রমে a, b, c
ও d.
তাহলে,
à
à
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ½(b+d) [যেহেতু, P, BD এর মধ্যবিন্দু]
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ½(a+c) [যেহেতু, Q, AC এর মধ্যবিন্দু]
অতএব,
à
= ½ (a+c-b-d)
= ½{(c-d)-(b-a)}
à à à
AB||CD হওয়ায়
à
à
à à
à
à à
à à à
à à à
বা, PQ= ½ (DC-AB)
অর্থাৎ,
PQ||AB||DC ও PQ = ½
(DC-AB) (প্রমাণিত)
১৫. △ABC এর AB ও AC
বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E।
|
ক) |
à AD
|
+ |
à DE
|
কে |
|
|
à AC
|
ভেক্টরের |
||
|
|
মাধ্যমে প্রকাশ
কর। |
|||
সমাধানঃ
△ABC-এ
à
à
à
à
সুতরাং,
à
à à
খ) ভেক্টরের সাহায্যে
প্রমাণ কর যে, BC||DE এবং DE= ½ BC
সমাধানঃ
D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর
মধ্যবিন্দু।
তাহলে,
à
à à
এবং
à
à
à
ত্রিভুজ বিধি. অনুসারে পাই,
à
à
à
à
à
à
à
à à
এবং,
à
à
à
à
à
à à
à
à
à
সুতরাং,
à
à
অতএব, DE= ½BC এবং
à à
à à
অতএব,
DE||BC
অর্থাৎ,
DE= ½ BC এবং DE||BC (প্রমাণিত)
গ) BCED ট্রাপিজিয়ামের
কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু M ও N হলে ভেক্টরের
সাহায্যে প্রমাণ কর যে, MN||DE||BC এবং MN= ½ (BC-DE)
সমাধানঃ
১৪ নং এর সমাধানের অনুরুপ।
১৬. △ABC এর BC, CA ও
AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F।
|
ক) |
à AB
|
ভেক্টরকে |
|
|
||
|
|
à BE
|
ও |
à CF
|
|
|
|
|
|
ভেক্টরের মাধ্যমে
প্রকাশ কর। |
|||||
|
খ) |
প্রমাণ কর যে, |
|||||
|
|
à AD
|
+ |
à BE
|
+ |
à CF
|
=0 |
গ) ভেক্টরের. সাহায্যে.
প্রমাণ কর যে., F বিন্দু দিয়ে. BC এর সমান্তরাল রেখা. অবশ্যই E বিন্দুগামী হবে।
সমাধানঃ
ক)
à
à
à
à
à
à à
à à à
à à à
à à à
à à
à
à
à à
à à
à à
à
à à à
খ)
△ABD-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,
à
à
à
à à à
△ACF-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,
à
à
à
à
à
à
△ABE-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,
à
à
à
à à
à
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
à
à
à
à
à à à à à
à à à
à à à
à à
= 0
অতএব,
à
à
à
গ)
মনে করি, ABC ত্রিভুজের
AB বাহুর মধ্যবিন্দু F দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল করে অঙ্কিত রেখা AC কে E বিন্দুতে ছেদ
করে। প্রমাণ করতে হবে যে, E, AC এর মধ্যবিন্দু।
ধরি, E নয় বরং P, AC এর মধ্যবিন্দু।
তাহলে,
à à
অতএব,
à
à
à
à
à
à à
à à
à à
à
অতএব,
à à
অর্থাৎ FP||BC কিন্তু
FE||BC (দেওয়া আছে)
অর্থাৎ FP ও FE ভিন্ন রেখা
হতে পারে না বরং F বিন্দু E বিন্দুতে সমপতিত হবে।
E ও P একই বিন্দু হবে।
অর্থাৎ, E, AC এর মধ্যবিন্দু
(প্রমাণিত)