স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.2 (1-5) part 1
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয়
১. A(-2,0), B(5,0) এবং C(1,4) যথাক্রমে △ABC এর শীর্ষ বিন্দু।
ক) AB, BC, CA বাহুর
দৈর্ঘ্য এবং △ABC
এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, প্রদত্ত বিন্দুসমূহ A(-2,0), B(5,0) এবং C(1,4) যথাক্রমে △ABC এর শীর্ষ বিন্দু।
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(5+2)2+(0-0)2}
=√72
=7 একক (Ans.)
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(1-5)2+(4-0)2}
=√{(-4)2+42}
=√(16+16)
=√32
=4√2 একক (Ans.)
CA বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2-1)2+(0-4)2}
=√{(-3)2+(-4)2}
=√(9+16)
=√25
=5 একক (Ans.)
△ABC এর পরিসীমা
=AB+BC+CA
=7+4√2+5
=12+4√2 একক (Ans.)
খ) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(-2,0),
B(5,0) এবং C(1,4) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
|
△ABC এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=½
|
| |
-2 5
1 -2 0
0 4 0
|
| |
বর্গ
একক
|
|
=
½(0+20+0-0-0+8) বর্গ একক |
||||
|
=14
বর্গ একক (Ans.) |
||||
২. নিন্মোক্ত প্রতিক্ষেত্রে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করঃ
ক) A(2,3),
B(5,6) এবং C(-1,4)
সমাধানঃ
△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(2,3),
B(5,6) এবং C(-1,4) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
|
△ABC এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=½
|
| |
2 5 -1 2 3 6 4 3
|
| |
বর্গ
একক
|
|
=
½(12+20-3-15+6-8) বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕(38-26)
বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕
12 বর্গ একক |
||||
|
=
6 বর্গ একক (Ans.) |
||||
খ) A(5,2),
B(1,6) এবং C(-2,-3)
সমাধানঃ
△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(5,2),
B(1,6) এবং C(-2,-3) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত
দিকে বিবেচনা করে পাই,
|
△ABC এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=½
|
| |
5 1 -2 5 2 6 -3 2
|
| |
বর্গ
একক
|
|
=
½(30-3-4-2+12+15) বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕(57-9)
বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕
48 বর্গ একক |
||||
|
=
24 বর্গ একক |
||||
৩. দেখাও যে,
A(1,1), B(4,4), C(4,8) এবং D(1,5) বিন্দুগুলো একটি সামন্তরিকের শীর্ষ বিন্দু। AC ও
BD কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের মাধ্যমে তিন দশমিক স্থান
পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A(1,1), B(4,4), C(4,8) এবং
D(1,5) বিন্দুগুলোকে xy তলে স্থাপন করে একটি সামন্তরিক আঁকা হলোঃ
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(4-1)2+(4-1)2}
=√(32+32)
=√(9+9)
=√18
=3√2 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(4-4)2+(8-4)2}
=√(02+42)
=√16
=4 একক
CD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(1-4)2+(5-8)2}
=√{(-3)2+(-3)2}
=√(9+9)
=√18
=3√2 একক
AD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(1-1)2+(5-1)2}
=√(02+42)
=√42
=4 একক
আবার,
কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য
=√{(4-1)2+(8-1)2}
=√(32+72)
=√(9+49)
=√58 একক
কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য
=√{(1-4)2+(5-4)2}
=√{(-3)2+12}
=√(9+1)
=√10 একক
এখানে, AB=DC এবং AD=BC; কিন্তু কর্ণ AC
≠ BD
সুতরাং A,B,C,D বিন্দুগুলো একটি সামন্তরিকের
শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)।
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলঃ
এখনে,
△ABD এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(1,1),
B(4,4) এবং D(1,5) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে
বিবেচনা করে পাই,
|
△ABD এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=½
|
| |
1 4 1 1 1 4 5 1
|
| |
বর্গ
একক
|
|
=
½(4+20+1-4-4-5) বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕(25-13)
বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕
12 বর্গ একক |
||||
|
=
6 বর্গ একক |
||||
আবার,
△BCD এর শীর্ষ বিন্দুগুলো B(4,4),
C(4,8) এবং D(1,5) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে
বিবেচনা করে পাই,
|
△ABD এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=½
|
| |
4 4 1 4 4 8 5 4
|
| |
বর্গ
একক
|
|
=
½(32+20+4-16-8-20) বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕(56-44)
বর্গ একক |
||||
|
=
½ ✕
12 বর্গ একক |
||||
|
=
6 বর্গ একক |
||||
অতএব,
ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল
=△ABD এর ক্ষেত্রফল+△BCD এর ক্ষেত্রফল
=6 বর্গ একক + 6 বর্গ একক
=12 বর্গ একক
৪. A(-a,0),
B(0,-a), C(a,0) এবং D(0,a) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের
শীর্ষবিন্দুগুলো A(-a,0), B(0,-a), C(a,0) এবং D(0,a). এখন, A, B, C, D বিন্দুগুলো
ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
|
△ABCD এর ক্ষেত্রফল |
|
|||||
|
=½
|
| |
-a 0 a 0
-a 0 -a
0 a 0
|
| |
বর্গ
একক
|
|
|
|
=
½(a2+0+a2+0-0+a2-0+a2) বর্গ একক |
||||||
|
=
½ ✕4a2
বর্গ একক |
|
|||||
|
=
2a2 বর্গ একক |
|
|||||
৫. দেখাও যে, A(0,-1),
B(-2,3), C(6,7) এবং D(8,3) বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষ। কর্ণদ্বয়ের
দৈর্ঘ্য এবং আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(0,-1),
B(-2,3), C(6,7) এবং D(8,3)
তাহলে,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2-0)2+(3+1)2}
=√(4+16)
=√20 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(6+2)2+(7-3)2}
=√(64+16)
=√80 একক
CD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(8-6)2+(3-7)2}
=√(4+16)
=√20 একক
AD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(8-0)2+(3+1)2}
=√(64+16)
=√80 একক
AC কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(6-0)2+(7+1)2}
=√(36+64)
=√100
=10 একক
BD কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(8+2)2+(3+3)2}
=√(64+36)
=√100
=10 একক
দেখা যাচ্ছে, AB=CD, BC=AD এবং কর্ণ AC
=কর্ণ BD.
অতএব, A, B, C, D বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের
শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=AB✕BC
=√80✕√20 বর্গ একক
=√1600 বর্গ একক
= 40 বর্গ একক (Ans.)
এই অনুশীলনীর বাকী অংশঃ
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.2 (6-10) part 2