অসীম ধারাঃ SSC Higher Math BD-Chapter 7 (1-11) part-1
অসীম ধারাঃ অনুক্রম, n তম পদ, পদের সমষ্টি, অসীমতক সমষ্টি, গুণোত্তর ধারা
১. 1,3,5,7,………অনুক্রমটির
12 তম পদ কোনটি?
ক) 12 খ) 13 গ)
23 ঘ) 25
উত্তরঃ গ
[প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে, r তম পদ=a+(r-1)d; 12 তম পদ = 1+(12-1)✕2=23]
২. কোনো একটি অনুক্রমের
n তম পদ
1
হলে এর তৃতীয় পদ
কোনটি?
ক) 1/3 খ) 1/6 গ) 1/12 ঘ) 1/20
উত্তরঃ গ
[প্রদত্ত সমীকরণে n এর মান
বসালে পাওয়া যায় 1/12]
৩. কোনো একটি অনুক্রমের
n তম পদ
1-(-1)n
হলে 20 তম পদ কোনটি?
ক) 0 খ)
1 গ) -1 ঘ) 2
উত্তরঃ ক
[প্রদত্ত সমীকরণে n এর মান
বসালে পাওয়া যায় 0]
৪. কোনো একটি অনুক্রমের
n তম পদ un=1/n এবং un<10-4
হলে n এর মান হবে
i. n<103 ii. n<104 iii. n>104
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) iii খ)
i, iii গ) ii, iii
ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ক
[un=1/n
এবং un<10-4; ∴ 1/n < 10-4 বা,
1/n < 1/104 বা, n
> 104
৫. কোনো একটি অনুক্রমের
n তম পদ un=1-(-1)n হলে, এর
i. 10 তম পদ 0
ii. 15 তম পদ 2
iii. প্রথম 12 পদের সমষ্টি
12
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i,
iii গ) ii, iii
ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ঘ
[i. 10 তম পদ 1-(-1)10=1-1=0
ii. 15 তম পদ 1-(-1)15=1+1=2
iii. ১ম পদ=1-(-1)1=1+1=2;
২য় পদ=1-(-1)2=1-1=0; ৩য় পদ=1-(-1)3=1+1=2; ৪র্থ পদ=1-(-1)4=1-1=0;
১২তম পদ=1-(-1)12=1-1=0
প্রথম 12 পদের সমষ্টি =6✕0+6✕2=0+12=12]
পার্শ্বের ধারাটি লক্ষ কর এবং (৬-৮) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।
4+4/3+4/9+…….
৬. ধারাটির 10 তম
পদ কোনটি?
|
ক)
|
4 ---
310
|
খ)
|
4 ---
39
|
গ)
|
4 ---
311
|
ঘ)
|
4 ---
312
|
উত্তরঃ খ
[ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ a=4; সাধারন অনুপাত
r =
4/3
∴ 10 তম পদ
=ar9
=4✕(1/3)9
4
৭. ধারাটির ১ম
5 পদের সমষ্টি কত?
ক) 160/27 খ) 484/81 গ) 12/9 ঘ) 20/9
উত্তরঃ খ
[এখানে, r=1/3
< 1
∴ধারাটির ১ম ৫ পদের সমষ্টি =
a(1-rn)
4{1-(1/3)5}
4(1-1/243)
4✕242
484
৮. ধারাটির অসীমতক
সমষ্টি কত?
ক) 0 খ) 5 গ) 6 ঘ) 7
উত্তরঃ গ
{ধারাটির অসীমতক সমষ্টি S∞
a
4
4
=4✕3/2
= 6 }
৯. প্রদত্ত অনুক্রমের
10 তম পদ, 15 তম পদ এবং r তম পদ নির্ণয় করঃ
ক)
2,4,6,8,10,12,…….
সমাধানঃ
2,4,6,8,10,12,…….অনুক্রমটি
একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ১ম পদ a=2
সাধারন অন্তর d=4-2=2
∴ r তম
পদ=a+(r-1)d=2+(r-1)2=2+2r-2=2r
∴ 10 তম পদ=2✕10=20
∴ 15 তম পদ=2✕15=30
খ) ½,1,3/2,2,5/2,……
সমাধানঃ
½,1,3/2,2,5/2,……
অনুক্রমটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ১ম পদ a=½
সাধারন অন্তর d=1-1/2=½
∴ r তম
পদ=a+(r-1)d=½+(r-1)½=½+r/2–½=r/2
∴ 10 তম পদ=10/2=5
∴ 15 তম পদ=15/2
গ) অনুক্রমটির
n তম পদ
1
সমাধানঃ
অনুক্রমটির n তম পদ
1
∴ অনুক্রমটির r তম পদ
1
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ
1
1
10✕11
1
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ
1
1
1
ঘ)
0,1,0,1,0,1,…….
সমাধানঃ
0,1,0,1,0,1,…….অনুক্রমটি
লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলো 0 এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলো 1.
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ=1
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ=0
∴ অনুক্রমটির r তম পদ=0 (r বিজোড় হলে) বা,
1 (r জোড় হলে)
ঙ) 5,5/3,5/9,5/27,5/81,…………
সমাধানঃ
5,5/3,5/9,5/27,5/81,…………অনুক্রমটি
একটি গুণোত্তর প্রগমন।
এখানে, প্রথম পদ a=5
সাধারণ অনুপাত d=
5/3
=5/3✕1/5
=1/3
∴ অনুক্রমটির r তম পদ
=adr-1
=5.(1/3)r-1
5
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ
5
5
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ
5
5
চ) অনুক্রমটির
n তম পদ
1-(-1)3n
সমাধানঃ
অনুক্রমটির n তম পদ
1-(-1)3n
এখানে n এর মান জোড় হলে n
তম পদ
1-1
= 0
এবং n এর মান বিজোড় হলে
n তম পদ
1+1
= 1
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ=0 [10 জোড় বলে]
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ=1 [15 বিজোড় বলে]
∴ অনুক্রমটির r তম পদ=1 যখন r বিজোড় এবং
0 যখন r জোড়।
১০. একটি অনুক্রমের
n তম পদ un=1/n
ক) un<10-5
হলে n এর মান কিরুপ হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n
এবং un<10-5
∴ 1/n < 10-5
1 1
বা, n > 105
খ) un>10-5
হলে, n এর মান কিরুপ হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n
এবং un<10-5
∴ 1/n > 10-5
1 1
বা, n < 105
গ) un
এর প্রান্তীয় মান (n যথেষ্ট বড় হলে) সম্পর্কে কী বলা যায়?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n
এখন n যথেষ্ট বড় হলে অর্থাৎ
n---à∞ হবে
তখন
1/n=1/∞=0
∴ un এর প্রান্তীয় মান 0
১১. প্রদত্ত অসীম
গুণোত্তর ধারার (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে, তবে তা নির্ণয় করঃ
ক) 1+1/2+1/4+1/8+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1
এবং সাধারণ অনুপাত, r=1/2÷1=1/2
এখানে, | r |=| ½ | = ½
< 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
1
1
= 2
খ) 1/5-2/52+4/53-8/54+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1/5
এবং সাধারণ অনুপাত, r=-2/52
÷1/5=-2/25÷1/5=-2/25✕5=-2/5
এখানে, | r |=|-2/5
| =2/5 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
1/5
1/5
= 1/7
গ) 8+2+1/2+1/8+1/32+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=8
এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷8=¼
এখানে, | r |=| 1/4
| = ¼ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
8
8
= 32/3
ঘ)
1+2+4+8+16+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1
এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷1=2
এখানে, | r |=| 2 | = 2 >
1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নেই।
ঙ) ½+(-1/4)+1/8+(-1/16)+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a= ½
এবং সাধারণ অনুপাত, r= -¼ ÷ ½ = -¼✕2 = -½
এখানে, | r |=| -½ | = ½
< 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
½
½
½
= ½✕2/3
=1/3
এই অনুশীলনীর বাকী অংশসমূহঃ