অসীম ধারা : SSC Higher Math BD-Chapter 7 (16-17) Part 3
অসীম ধারাঃ n তম অবস্থানে বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য, অসীমতক সমষ্টি, গুণোত্তর ধারা
এই অনুশীলনীর পূর্বের দুইটি অংশঃ
অসীম ধারা : SSC Higher Math BD-Chapter 7 (1-11) Part 1
অসীম ধারা : SSC Higher Math BD-Chapter 7 (12-15) Part 2
১৬. একটি গুণোত্তর ধারার তিনটি ক্রমিক পদের সমষ্টি
4
ক) উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
|
শর্তমতে, |
|
|
a+ar+ar2 =
|
4 24---
….(i)
5
|
|
a.ar.ar2=64 |
……(ii) |
খ) ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক-হতে পাই,
a.ar.ar2=64
বা, a3r3=43
বা, (ar)3=43
বা, ar=4
বা, a=4/r……..(i)
আবার,
a+ar+ar2=124/5
বা, 4/r+(4/r)r+(4/r)r2=124/5
বা, 4/r+4+4r=124/5
বা, 20+20r+20r2=124r [উভয়পক্ষকে 5r
দ্বারা গুণ করে]
বা, 20+20r+20r2-124r=0
বা, 20r2-104r+20=0
বা, 5r2-26r+5=0 [[উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
বা, 5r2-25r-r+5=0
বা, 5r(r-5)-1(r-5)=0
বা, (5r-1)(r-5)=0
বা, 5r-1=0 অথবা, r-5=0
বা, 5r=1 বা, r=5
বা, r=1/5
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
যখন r=1/5 তখন a=4 ÷ (1/5)=
4*5=20
যখন r=5 তখন a=4/5
∴ ধারাটির ১ম পদ 20 হলে সাধারণ অনুপাত 1/5
এবং ১ম পদ 4/5 হলে সাধারণ অনুপাত 5
গ) সাধারণ অনুপাত 1/5 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
খ হতে পাই,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত r= 1/5 হলে এর প্রথম পদ a= 20
এখন, 1/5 < 1
∴অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
20
20
=100/4
=25
১৭. চারটি কুকুর এক কিলোমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার কোণায় দাঁড়িয়ে আছে। এবার প্রতিটি কুকুর একই বেগে সরাসরি ডানের কুকুরের দিকে চোঁখ বন্ধ করে অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করে। চোঁখ খুলেই আবার ডানে অবস্থিত কুকুরের দিকে একইভাবে অর্ধেক দূরত্ব দৌড়ায়।
ক) এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলোর অবস্থান কী হবে? তারা প্রত্যেকে কত দুরত্বই বা অতিক্রম করবে?
সমাধানঃ
ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু A, B, C ও D তে চারটি কুকুর অবস্থান করছে।
[প্রশ্নানুসারে, ১ম কুকুর পর্যায়ক্রমে AE,
EP, PT…. এভাবে দূরত্ব অতিক্রম করে এবং অপর কুকুরগুলোও একইভাবে দূরত্ব অতিক্রম করে]
তাহলে,
AB=BC=CD=DA=x=1 কিমি……(i)
AE=BE=BF=CF=x/2
△BEF-এ
EF2=BE2+BF2
বা, EF2=(x/2)2+(x/2)2
x2 x2
2x2
x2
x
x/√2
x
এখন, EP=PF
△PQF-এ
PQ2=PF2+FQ2
=(x/2√2)2+(x/2√2)2
=x2/8+x2/8
=2x2/4
=x2/4
∴PQ=x/2……(ii)
x/2
এখন, (i), (ii), (iii) যাচাই করে কুকুরের n তম অবস্থানে
বাহুর মান
x
এখন, n=∞ হলে,
বাহুর মান
x
x
= 0
অর্থাৎ, এভাবে দৌড়াতে থাকলে
কুকুরগুলোর অবস্থান বর্গের কর্ণদ্বয়ের ছেদ বিন্দুতে হবে।
এখন, ১ম কুকুরের অতিক্রান্ত
দূরত্ব
= AE+EP+PT+……
=x/2+x/2√2+x/4+……
= ½+ 1/2√2+1/4+…… [x এর মান বসিয়ে]
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার।
১ম পদ a=½
সাধারন অনুপাত r = 1/2√2 ÷ ½ = 1/√2 < 1
∴ অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
½
½
1.√2
= 1.707 (প্রায়)
খ) অর্ধেক দূরত্ব পর দিক পরিবর্তন না করে যদি k ভাগের একভাগ অতিক্রম করে দিক পরিবর্তন করে তাহলে উপরের প্রশ্নের উত্তর দাও।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
AB=BC=CD=DA=x
AE=x/k=BF=CG
∴BE=x-x/k
∴EF2=(x-x/k)2+(x/k)2
=x2-2.x.(x/k)+(x/k)2+(x/k)2
2x2 x2 x2
k2x2-2x2k+x2+x2
k2x2-2x2k+2x2
x2(k2-2k+2)
x√(k2-2k+2)
√(k2-2k+2)
অনুরুপভাবে তৃতীয় অবস্থানের জন্য বর্গের বাহু
{√(k2-2k+2)}2
n তম অবস্থানে বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য
{√(k2-2k+2)}n-1
n=∞ হলে
বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
{√(k2-2k+2)}∞-1
= 0
∴ এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলো বৃহত্তর বর্গের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে অবস্থান করবে।
প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
1
x√(k2-2k+2) x√(k2-2k+2)
এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a=x=1
সাধারণ অন্তর r
x√(k2-2k+2)
√(k2-2k+2)
∴অসীমতক সমষ্টি
S∞
1 a
1 1
1 k
1
গ) ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র না হয়ে যদি সমবাহু ত্রিভুজ হতো তাহলে উপরের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
সমাধানঃ
অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করে দিক পরিবর্তন এর ক্ষেত্রেঃ
মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের কৌণিক বিন্দু A, B, C তে তিনটি কুকুর অবস্থান করছে।
[শর্তমতে, ১ম কুকুর অতিক্রম করে BE+ER+RT+……কিমি]
প্রথম অবস্থানে △ABC এ AB=BC=CA=x=1 কিমি।
∴BE=BC/2=x/2
দ্বিতীয় অবস্থানে △DEF এ DE=EF=FD=x/2
কিমি
∴ ER=EF/2=(x/2 ÷2)=x/4
তৃতীয় অবস্থানে △PQR এ PQ=QR=RP=(x/2 ÷2)=x/4 কিমি
∴RT=RP/2=(x/4 ÷2)=x/8
এভাবে দৌড়াতে থাকলে কুকুরগুলো বৃহত্তর ত্রিভুজের আন্তঃকেন্দ্রে অবস্থান করবে।
তাহলে, ১ম কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
=BE+ER+RT+…….
=x/2+x/4+x/8+……
= ½ + ¼ + 1/8 +….. [x এর মান বসিয়ে]
যা একটি গুনোত্তর ধারা
যেখানে ১ম পদ a = ½
সাধারণ অনুপাত r = ¼ ÷ ½ = ¼ ✕ 2 = ½
অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
½
½
= 1
∴ প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব 1 কিমি।
আবার,
K ভাগের এক ভাগ দূরত্ব অতিক্রম করে দিক পরিবর্তনের ক্ষেত্রেঃ
BC=CA=AB=x=1 কিমি
∴BE=x/k
∴EC=x-x/k
EF2
=EC2+FC2-2.EC.DC.cos600
=(x-x/k)2+(x/k)2-2(x-x/k)x/k.cos600
=(x-x/k)2+(x/k)2-2(x-x/k)x/k.½
=(x-x/k)2+(x/k)2-(x-x/k)x/k.
=x2+(x/k)2-2.x.x/k+(x/k)2-x2/k+(x/k)2
=x2+3(x/k)2-3x2/k
x2k2+3x2-3x2k
x2(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
অনুরুপভাবে,
{√(k2+3-3k)}2
{√(k2+3-3k)}2
তাহলে, n তম বাহুর মান
{√(k2+3-3k)}n-1
n=∞ হলে
বাহুর মান
{√(k2+3-3k)}∞-1
= 0
অর্থাৎ, কুকুরগুলো এভাবে
দৌড়াতে থাকলে তারা ত্রিভুজের আন্তঃকেন্দ্রে অবস্থান করবে।
এখন,
প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত
দূরত্ব
x
x√(k2+3-3k) x{√(k2+3-3k)}2
1
√(k2+3-3k) {√(k2+3-3k)}2
যা একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a=1/k
সাধারণ অন্তর
√(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
1/k
1/k
1