ফাংশন : SSC Higher Math-Chapter 1.2 (1-10) Part 1
ফাংশনঃ অন্বয় ও ফাংশন, অন্বয়ের ডোমেন, অন্বয়ের সদস্য, অন্বয়ের রেঞ্জ, ডোমেন, রেঞ্জ, বিপরীত অন্বয়
১. {(2,2),(4,2),(2,10),(7,7)} অন্বয়ের ডোমেন কোনটি?
ক) {2,4,5,7}
খ) {2,2,10,7}
গ) {2,4,10,7}
ঘ) {2,4,7}
উত্তরঃ ক
২. S={(x,y):x∈A, y∈A
এবং y=x2} এবং A={-2,-1,0,1,2} নিচের কোনটি S অন্বয়ের সদস্য?
ক) (2,4)
খ) (-4,4) গ) (-1,1) ঘ) (1,-1)
উত্তরঃ গ
[y=x2 তে x=-1 বসালে y=(-1)2=1 হবে, অর্থাৎ (x,y)=(-1,1)]
৩. যদি S={(1,4),(2,1),(3,0),(4,1),(5,4)}
হয় তবে,
(i) S অন্বয়ের রেঞ্জ
{4,1,0}
(ii) S অন্বয়ের
বিপরীত অন্বয়, S-1={(4,1),(1,2),(0,3),(1,4),(4,5)}
(iii) S অন্বয়টি
একটি ফাংশন
উপরের তথ্যের আলোকে
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i. ও ii.
খ) ii. ও iii. গ) i.
ও iii. ঘ) i, ii. ও iii.
উত্তরঃ খ
৪. যদি F(x)=√(x-1) হয় তবে
F(10)=কত?
ক) 9. খ)
3. গ) -3. ঘ) √10.
উত্তরঃ খ
৫. S={(x,y) :
x2+y2-25=0 এবং x≥0} হলে,
(i) অন্বয়টি ফাংশন
নয়।
(ii) অন্বয়টির লেখচিত্র
একটি অর্ধবৃত্ত।
(iii) অন্বয়টির
লেখচিত্র x অক্ষের উপর অর্ধতলে থাকবে।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i. ও ii.
খ) ii. ও iii. গ) i. ও iii. ঘ) i, ii. ও iii.
উত্তরঃ ক
৬. F(x)=√(x-1)=5 হলে x এর মান
কত?
ক) 5. খ)
24. গ) 25.
ঘ) 26.
উত্তরঃ ঘ
৭. F(x)=√(x-1) ফাংশনটির ডোমেন
নিচের কোনটি?
ক) ডোম F={x∈R : x≠1} খ) ডোম F={x∈R : x≥1}
গ) ডোম F={x∈R : x≤1} ঘ) ডোম F={x∈R : x>1}
উত্তরঃ খ
৮. (i) নিচে প্রদত্ত
S অন্বয়গুলোর ডোমেন, রেঞ্জ ও বিপরীত অন্বয় নির্ণয় কর।
(ii) S অথবা S-1
অন্বয়গুলো ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।
(iii) ফাংশনগুলো
এক-এক কিনা নির্ধারণ কর।
ক)
S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
খ) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
গ)
S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)}
ঘ) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
ঙ)
S={(2,1),(2,2),(2,3)}
সমাধানঃ
(ক)
(i) এখানে,
S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
ডোম S={1,2,3,4}
রেঞ্জ S={5,10,15,20}
S-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}
(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট
একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
আবার, S-1 অন্বয়েরও
একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 অন্বয়টিও একটি
ফাংশন।
(iii) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন
ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।
∴S এক-এক ফাংশন।
আবার, S-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}
S-1 ফাংশনের ডোমেনের
ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।
∴S-1 এক-এক ফাংশন।
(খ)
(i) এখানে, S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
ডোম S={-3,-2,-1,0,1,2,3}
রেঞ্জ R={-1,0,3,8}
S-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}
(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট
একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
আবার, S-1 এর
একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (0,-1) এবং (0,1)। সুতরাং S-1
একটি ফাংশন নয়।
(iii) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
এই ফাংশনের একই প্রথম উপাদান
বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। কিন্তু দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ
(-3,8) ও (3,8)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।
∴S এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
S-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}
S-1 এ একই প্রথম
উপাদান বিশিষ্ট (0,-1) ও (0,1) ক্রমজোড় আছে। কাজেই এটি ফাংশন নয়। সুতরাং এটি এক-এক
ফাংশন নয়।
(গ)
(i) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)}
ডোম S={½,1,5/2 }
রেঞ্জ S={-2,-1,0,1,2}
S-1={(0,½),
(1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক
ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (1,1) এবং (1,-1)।
∴ S ফাংশন নয়।
S-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড়
নেই।
∴ S-1 একটি ফাংশন।
(iii) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)}
যেহেতু S ফাংশন নয় তাই S
এক-এক ফাংশন নয়।
S-1={(0,½),
(1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}
S-1 এর ফাংশনটির
একই দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমন (1,1) ও (-1,1)। সুতরাং এটি এক-এক
ফাংশন নয়।
(ঘ)
(i) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
ডোম S={-3,-1,0,1,3}
রেঞ্জ S={-3,-1,0,13}
S-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক
ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
S-1 এরও একই প্রথম
উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 একটি ফাংশন।
(iii) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন
ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S এক-এক ফাংশন।
S-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
S-1 ফাংশনের ডোমনের
ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S-1 এক-এক ফাংশন।
(ঙ)
(i) S={(2,1),(2,2),(2,3)}
ডোম S={2}
রেঞ্জ S={1,2,3}
S-1={(1,2),(2,2),(3,2)}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক
ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (2,1) ও (2,2)। সুতরাং S ফাংশন নয়।
S-1 এর একই প্রথম
উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 ফাংশন।
(iii) S ফাংশন নয় তাই এক-এক নয়।
S-1 ফাংশনটির
একই দ্বিতীয় উপদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় রয়েছে। যেমনঃ (1,2), (2,2), (3,2)।
সুতরাং ফাংশনটি S-1
এক-এক নয়।
৯. F(x)=√(x-1) দ্বারা বর্ণিত
ফাংশনের জন্য
ক) F(1),
F(5) এবং F(10) নির্ণয় কর।
খ) F(a2+1)
নির্ণয় কর যেখানে a∈R
গ) F(x)=5
হলে, x নির্ণয় কর।
ঘ) F(x)=y
হলে, x নির্ণয় কর যেখানে y≥0।
সমাধানঃ
(ক) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)
∴ F(1)=√(1-1)=√0=0
F(5)=√(5-1)=√4=2
F(10)=√(10-1)=√9=3
(খ)
দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)
F(a2+1)= √(a2+1-1)= √a2=।a।
(গ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=5
∴ √(x-1)=5
বা, x-1=25 [বর্গ করে]
বা, x=25+1
বা, x=26
(ঘ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=y
∴ √(x-1)=y
বা, x-1=y2 [বর্গ করে]
বা, x=1+y2
১০. F : R -àR, F(x)=x3 ফাংশনের জন্য
ক) ডোম F এবং রেঞ্জ
F নির্ণয় কর।
খ) দেখাও যে, F
এক-এক ফাংশন।
গ) F-1
নির্ণয় কর।
ঘ) দেখাও যে, F-1
একটি ফাংশন।
সমাধানঃ
ক) দেওয়া আছে, F : R -àR,
F(x)=x3
x এর যে সকল বাস্তব মানের
জন্য F(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে সেগুলো F(x) এর ডোমেন হবে।
∴ ডোম F=R
আবার,
x এর বাস্তব মানের জন্য y বা x3 ও বাস্তব হবে।
সুতরাং
রেঞ্জ F=R.
খ) দেওয়া
আছে, F : R -àR, F(x)=x3
ধরি, x1, x2 ∈
ডোম F
∴ F(x1)=F(x2)
বা, x13=x23
বা, x1=x2
সুতরাং, F এক-এক ফাংশন (দেখানো হলো)
গ) দেওয়া আছে, F : R -àR,
F(x)=x3
ধরি, F(x)=y
বা, x=F-1(y)
এখন, y=x3
বা, x3=y
বা, x=y1/3
∴ F-1(y)=y1/3
বা, F-1(x)=x1/3
ঘ) গ হতে পাই, F-1(x)=x1/3
এখানে, F-1(x) এর ডোম =R এবং x এর সকল বাস্তক মানের জন্য F-1(x)=x1/3
এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।
∴ F-1(x) একটি ফাংশন (দেখানো হলো)
এই অনুশীলনীর বাকী অংশ (১১-১৭) :
ফাংশন : SSC Higher Math-Chapter 1.2 (11-17) Part 2
সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।