SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৪.১ জ্যামিতিক অনুপাত
জ্যামিতিক অনুপাত-সমানুপাতঃ
১. কোনো ত্রিভুজের ভূমি
সংলগ্ন কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে।
XY, ভূমির সমান্তরাল হলে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC এর ভূমি সংলগ্ন ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে অর্থাৎ AC ও AB কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে। XY ভূমি BC এর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC সমদ্বিবাহু অর্থাৎ AB=AC।
প্রমাণঃ
△ABC এর
∠B এর
সমদ্বিখন্ডক BX
∴AB
: BC = AX : XC……….(i)
আবার,
△ABC এর
∠C এর
সমদ্বিখন্ডক CY
∴AC
: BC = AY : YB……….(ii)
যেহেতু XY ।। BC
সেহেতু, AX : XC
= AY : YB ……….(iii)
[ত্রিভুজের যে কোনো
বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত
করে]
সমীকরণ (i) ও (iii)
থেকে পাই,
AB : BC =AY : YB……………(iv)
আবার, সমীকরণ
(ii) ও (iv) নং হতে পাই,
AB : BC = AC :
BC
∴ AB
= AC
অর্থাৎ △ABC
সমদ্বিবাহু
(প্রমাণিত)
২. প্রমাণ কর যে, কতকগুলো
পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখাকে দুইটি সরলরেখা ছেদ করলে অনুরুপ অংশগুলো সমানুপাতিক হবে।
সমাধানঃ
মনে করি, AB, CD, EF
তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQR ও LMN দুইটি সরলরেখা উক্ত সরলরেখাগুলোকে যথাক্রমে
P,L; Q,M; R,N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ : QR = Lm : MN
অঙ্কনঃ
P,N যোগ করি। PN সরলরেখা
QM সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ
△PRN-এ
QO।।RN
∴PQ
: QR = PO : ON ………..(i)
[ত্রিভুজের যে কোনো
বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত
করে]
আবার, △NPL-এ OM।।PL
∴PO
: ON = LM : MN ………..(ii) [একই কারণ]
সমীকরণ (i)
ও (ii) থেকে পাই,
PQ : QR =
LM : MN (প্রমাণিত)
৩. প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের
কর্ণদ্বয় এদের ছেদবিন্দুতে একই অনুপাতে বিভকত হয়।
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের
AB ও DC বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং এর কর্ণদ্বয় AC ও BD, O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ
করতে হবে যে, OA : OC = OB : OD
প্রমাণঃ
যেহেতু AB ।। DC এবং
AC ছেদক।
∴ ∠BAC
= ∠ACD [একান্তর কোণ বলে]
আবার, AB ।। DC এবং BD
তাদের ছেদক,
∴∠ABD=∠BDC
[একান্তর কোণ বলে]
এখন, △AOB
ও △COD-এ
∠OAB=∠OCD এবং
∠OBA=∠ODC
∴△AOB ও △COD সদৃশ
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ
বাহুগুলো সমানুপাতিক হওয়ায়,
OA : OC = OB : OD (প্রমাণিত)
৪. প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের
তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।
সমাধানঃ
মনে করি, E ও F যথাক্রমে
ABCD ট্রাপিজিয়ামে তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু। E, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে
যে, EF রেখাংশ AB ও DC এর সমান্তরাল।
অঙ্কনঃ AD ও BC বাহুদ্বয়কে
বর্ধিত করি যে বর্ধিত AD ও BC, O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণঃ
△OAB-এ
DC।।AB
∴OD/DA
= OC /CB
[ত্রিভুজের যে কোনো
বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত
করে]
বা, OD/2DE = OC/2CF [E, F যথাক্রমে AD ও BC এর মধ্যবিন্দু]
বা, OD/DE=OC/CF [2 দ্বারা গুণ করে]
∴EF।।DC
কিন্তু DC।।AB
বা, DC।।EF।।AB (প্রমাণিত)
৫. ABC ত্রিভুজের AD ও
BE মধ্যমাদ্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত DE এর সমান্তরাল
রেখাংশ AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC=6EF
সমাধানঃ
মনে করি, ABC ত্রিভুজের AD ও BE মধ্যমাদ্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত DE এর সমান্তরাল রেখাংশ GF, AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC=6EF
প্রমাণঃ
△ADE
এ DE।।GF
∴AG/GD=AF/EF
[ত্রিভুজের যে কোনো
বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত
করে]
বা, 2GD/GD=AF/EF [ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2
: 1 অনুপাতে বিভক্ত করে]
বা, 2=AF/EF
2+1
AF+EF
[যোজন করে]
বা, 3=AE/EF
বা, AE=3EF
বা, 2AE=6EF
বা, AC= 6EF [E, AC এর মধ্যবিন্দু বলে AC=AE]
∴AC=6EF
(প্রমাণিত)
৬. △ABC এর BC বাহুস্থ যেকোনো
বিন্দু X
এবং AX
রেখাস্থ O একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, △AOB : △AOC = BX : XC
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC
এর BC
বাহুস্থ যেকোনো
বিন্দু X এবং
AX রেখাস্থ
O একটি
বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, △AOB : △AOC = BX : XC
প্রমাণঃ
△OBX
ও △OCX এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু
A
∴△OBX : △OCX = BX : XC …………(i)
[দুইটি ত্রিভুজের
উচ্চতা সমান হলে এদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ও ভুমিদ্বয়ের অনুপাত সয়ান হয়]
আবার,
△OBX
ও △AOB এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু
B
∴△OBX : △AOB = OX : AO …………(ii)
এবং
△OCX
ও △AOC এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু
C
∴△OCX : △AOC = OX : AO …………(iii)
(ii) ও (iii)
থেকে পাই,
△OBX
: △OBA=△OCX : △OAC
△OBX
△OCX
△OBX
△AOB
বা, △OBX : △OCX = △AOB : △AOC
বা, BX :
XC = △AOB
: △AOC
বা, △AOB : △AOC = BX : XC (প্রমাণিত)
৭.
△ABC
এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক
BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। BC এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ
AB ও AC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ
কর যে, BD : DC
= BE : CF
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC
কে D বিন্দুতে ছেদ করে। BC
এর সমান্তরাল EF রেখাংশ
AB ও AC
কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে
ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BE : CF
প্রমাণঃ
△ABC-এ
∠A এর
সমদ্বিখন্ডক AD
∴BD
: DC = AB : AC …………..(i)
[ত্রিভুজের যেকোনো
কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক বিপরীত বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে]
আবার,
EF।।BC
AE AF
AE+BE
AF+CF
[যোজন
করে]
AB AC
AB BE
বা, AB : AC = BE
: CF
বা, BD : DC = BE
: CF [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
∴ BD : DC = BE : CF (প্রমাণিত)
৮.
ABC ও DEF সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের উচ্চতা AM ও DN হলে প্রমাণ কর যে, AM : DN = AB
: DE
সমাধানঃ
মনে করি, ABC ও
DEF দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ এবং এদের উচ্চতা যথাক্রমে AM ও DN। প্রমাণ করতে হবে যে,
AM : DN = AB : DE
প্রমাণঃ
△ABC
ও △DEF
সদৃশকোণী
∴ ∠A=∠D;
∠B=∠E; ∠C=∠F
আবার, △ABM ও △DEN-এ
∠ABM=∠DEN [শর্তমতে]
এবং ∠AMB=∠DNE=এক সমকোণ
△ABM
ও △DEN
সদৃশকোণী ও সদৃশ।
AM AB
[সদৃশকোণী
ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক]
বা, AM : DN = AB
: DE (প্রমাণিত)
৯. পাশের
চিত্রে BC।।DE
সমাধানঃ
△BOC
ও △DOE এর
মধ্যে,
∠BOC=∠DOE [বিপ্রতীপ
কোণ বলে]
∠BCO=∠ODE [একান্তর
কোণ বলে, DC।।DE এবং CD ছেদক]
এবং, ∠CBO=∠OED
[একান্তর কোণ বলে,
DC।।DE এবং BE ছেদক]
∴△BOC ও △DOE সদৃশকোণী
অতএব, ∴△BOC
ও △DOE
সদৃশ (প্রমাণিত)
খ) প্রমাণ
কর যে, AD : BD = AE : CE
সমাধানঃ
পাঠ্যবই এর অনুশীলনী
১৪ এর উপপাদ্য ২৮ দ্রষ্টব্য।
গ) প্রমাণ
কর, BO : OE = CO : OD
সমাধানঃ
ক হতে পাই, △BOC ও △DOE সদৃশকোণী
OB OC
∴ BO : OE = CO : OD (প্রমাণিত)
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।