SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১১.১ অনুপাত (1-9) Part 1

ssc math solutions, class 9-10 math solution bd, ssc, download pdf ssc/nine ten, নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত, Chapter-11.1, অনুপাত ও সমানুপাত

অনুপাতঃ

. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধানঃ

মনে করি,
১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
এবং ২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য b মিটার
তাহলে,
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a2 বর্গমিটার
এবং ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= b2 বর্গমিটার
অতএব,
তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত= a2:b2

. একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr2, এখানে r=ব্যাসার্ধ।
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=a2, এখানে a= বর্গের বাহু।
প্রশ্নমতে,
a2= πr2
বা, a=rπ…….(i)
এখন, বৃত্তের পরিসীমা=2πr
এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=4a
বৃত্তের পরিসীমা : বর্গেক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2πr : 4a
= 2πr : 4 rπ [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]
= π : 2 π
= π.π : 2π
=π : 2

. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3:4 এবং এদের লসাগু 180 সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
সংখ্যা দুইটির অনুপাত 3:4
মনে করি, ১ম সংখ্যা 3x
অপর সংখ্যা 4x
এখন, 3x 4x এর লসাগু=12x
প্রশ্নানুসারে,
12x=180
বা, x=180/12
বা, x=15
একটি সংখ্যা=315=45
এবং অপর সংখ্যা=415=60

. একদিন তোমার ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1:4, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

অনুপস্থিত উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1:4
ধরি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =x
এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =4x
মোট ছাত্র=x+4x=5x
অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা, মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরা হার
=(x/5x)100=20%

. একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ক্রয় মূল্য =100 টাকা
তাহলে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য=(100-28)=72 টাকা
বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য
=72 : 100
=18 : 25 [4 দ্বারা ভাগ করে]

. পিতা পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। 7 বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল; 5:2 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধানঃ

মনে করি,
7 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 5x বছর
7 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল 2x বছর
বর্তমানে পিতার বয়স হবে (5x+7) বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স হবে (2x+7) বছর
প্রশ্নমতে,
(5x+7)+(2x+7)=70
বা, 5x+7+2x+7=70
বা, 7x+14=70
বা, 7x=70-14
বা, 7x=56
বা, x=56/7
বা, x=8
বর্তমানে পিতার বয়স  (58+7)=40+7=47 বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স (28+7)=16+7=23 বছর
5 বছর পর পিতার বয়স হবে 47+5=52 বছর
এবং 5 বছর পর পুত্রের বয়স হবে 23+5=28 বছর
5 বছর পর পিতা পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
=52 : 28
=13 : 7

. যদি a : b=b : c হয়, তবে প্রমাণ কপ্র যে,


)

a

----
c


=

a2+b2

--------
b2+c2

সমাধানঃ

 

 

দেওয়া আছে, a : b = b : c


বা,

a

----
c


=

a

----
c

 


ধরি,

a

----
c


=

a

----
c


=k

b

=

ck

 

এবং

a

=

ck.k

=ck2

LHS

 

 

 


=

a

----
c

 

 


=

ck2

----
c

 

 

=

k2

 

 

RHS

 

 


=

a2+b2

--------
b2+c2

 


=

(ck2)2+(ck)2

-----------------
(ck)2+c2


=

c2k4+c2k2

-----------------
c2k2+c2


=

c2k2(k2+1)

-----------------
c2(k2+1)

=

k2


a

----
c


=

a2+b2

--------
b2+c2

 

 

 

[Proved]

)

a2b2c2(1/a3+1/b3+1/c3)

=a3+b3+c3

সমাধানঃ

 

দেওয়া আছে, a : b = b : c 

 


বা,

a

----
b


=

b

-----
c

 

 

b2  =  ac

 

 

 

LHS = a2b2c2(1/a3+1/b3+1/c3)        


=

a2b2c2

-------
a3


+

a2b2c2

-------
b3


+

a2b2c2

-------
c3


=

b2c2

-------
a


+

a2c2

-------
b


+

a2b2

-------
c


=

b2c2

-------
a


+

(ac)2

-------
b


+

a2b2

-------
c


=

ac.c2

-------
a


+

(b2)2

-------
b


+

a2.ac

-------
c

 

 

 

[মান বসিয়ে]


=

ac.c2

-------
a


+

b4

-------
b


+

a2.ac

-------
c

=

c3

+

b3

+

a3

=

RHS

[Proved]

 

 


)

abc(a+b+c)3

--------------
(ab+bc+ca)3


=


1

সমাধানঃ

 

 

 

 

দেওয়া আছে, a : b = b : c


বা,

a

---
b


=

b

---
c

 

 


ধরি,

a

---
b


=

b

---
c


=


k

b

=

ck

 

 

এবং

a

 

 

 

=

bk

=

ck.k

=ck2

LHS

 

 

 

 

 


=

abc(a+b+c)3

--------------
(ab+bc+ca)3

 

 


=

ck2ckc(ck2+ck+c)3

---------------------------
(ck2ck+ckc+cck2)3


=

c3k3{c(k2+k+1)}3

-------------------------
(c2k3+c2k+c2k2)3


=

c3k3c3(k2+k+1)3

-----------------------
{c2k(k2+k+1)}3


=

c6k3(k2+k+1)3

---------------------
c6k3(k2+k+1)3

=

1

 

 

 

=

RHS [Proved}

 

 

. সমাধান করঃ


)

1-√(1-x)

--------------
1+√(1-x)


=

1

--
3

 

 

সমাধানঃ

 

 

 

 

 

1-√(1-x)

--------------
1+√(1-x)


=

1

--
3

 

 


বা,

1-√(1-x)+ 1+√(1-x)

---------------------------
1-√(1-x)-{1+√(1-x)}


=

1+3

----
1-3

 

[যোজন বিয়োজন করে]


বা,

1-√(1-x)+ 1+√(1-x)

---------------------------
1-√(1-x)-1-√(1-x)


=

4

---
-2


বা,

2

-----------
-2√(1-x)


=


-2

 

 


বা,

1

--------
√(1-x)


=


2

 

 


বা,

1

-------
 (1-x)


=


4


[বর্গ করে]

বা,

4(1-x) = 1

 

 

 

 

বা,

4-4x = 1

 

 

 

 

বা,

-4x = 1-4

 

 

 

 

বা,

-4x = -3

 

 

 

 


বা,

    

x =

3

---
4

 

 

 

 


)

a+x-√(a2-x2)

----------------
a+x+√(a2-x2)


=

b

--
x

 

 

 

 

যেখানে, 2a>b>0 এবং x0

 

 

 

সমাধানঃ

 

 

 

 

 

 

a+x-√(a2-x2)

----------------
a+x+√(a2-x2)


=

b

--
x

 

 

 


বা,

a+x-√(a2-x2)+ a+x+√(a2-x2)

---------------------------------
a+x-√(a2-x2)-{a+x+√(a2-x2)}

 

 


=

b+x

----
b-x

 

 

 

 

[যোজন বিয়োজন করে]

 

 

 


বা,

a+x-√(a2-x2)+ a+x+√(a2-x2)

---------------------------------
a+x-√(a2-x2)-a-x-√(a2-x2)

 

 


=

b+x

----
b-x

 

 

 


বা,

2a+2x

-------------
-2√(a2-x2)


=

b+x

----
b-x

 

 

 


বা,

a+x

-------------
-√(a2-x2)


=

b+x

----
b-x

 

 

 


বা,

(a+x)2

-------------
{-√(a2-x2)}2


=

(b+x)2

------
(b-x)2

 

 

 

 

[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

 

 

 


বা,

(a+x)(a+x)

-------------
(a2-x2)


=

(b+x)2

------
(b-x)2

 

 

 


বা,

(a+x)(a+x)

-------------
(a-x)(a+x)


=

(b+x)2

------
(b-x)2

 

 

 


বা,

(a+x)

----------
(a-x)


=

(b+x)2

------
(b-x)2

 

 

 


বা,

a+x+a-x

--------------
a+x-(a-x)


=

(b+x)2+(b-x)2

----------------
(b+x)2-(b-x)2


বা,

2a

---------
2x


=

2(b2+x2)

---------
4bx

 

 

 


বা,

a

---------
x


=

(b2+x2)

---------
2bx

 

 

 


বা,

a

---------
1


=

(b2+x2)

---------
2b

 

 

 

বা,

b2+x2=2ab

 

 

 

 

 

বা,

x2=2ab-b2

 

 

 

 

 

বা,

x=±√(2ab-b2)

 

 

 

 

 


)


81.

(1-x)3

------
(1+x)3


=

1+x

-----
1-x

সমাধানঃ

 

 

 

 


81.

(1-x)3

------
(1+x)3


=

1+x

-----
1-x


বা,


81=

1+x

-----
1-x


(1+x)3

------
(1-x)3


বা,


34=

(1+x)4

-------
(1-x)4

 

 


বা,


±3=

1+x

-------
1-x

 

 


বা,


3=

1+x

-------
1-x


………(i)

অথবা,

 

 

 

 


-3=

1+x

-------
1-x


………..(ii)

(i) থেকে পাই,

 

 

 

1+x=3-3x

বা,

4x=2

 

 


বা,


x =

1

--
2

 

 

(ii) থেকে পা্

 

 

 

1+x=-3+3x

 

 

বা,

2x=4

 

 

বা,

x=2

 

 

x =

½; 2

 

 


.

a

---
b


=

b

---
c


=

c

---
d

 

 

 

হলে দেখাও যে,

 

 


)

a3+b3

------
b3+c3


=

b3+c3

------
c3+d3

 

 

সমাধানঃ

 

 

 

 

 


ধরি,

a

---
b


=

b

---
c


=

c

---
d


=


k

c=dk

 

 

 

 

 

 

b=ck=dk.k=dk2

 

 

 

a=bk=dk2.k=dk3

 

 

LHS

 

 

 

 

 

 

 


=

a3+b3

------
b3+c3

 

 

 

 

 


=

(dk3)3+(dk2)3

---------------
(dk2)3+(dk)3

 

 

 


=

d3k9+d3 k6

------------
d3k6+d3k3

 

 

 

 


=

d3k6(k3+1)

------------
d3k3(k3+1)

 

 

 

 

=

k3

 

 

 

 

 

 

RSH

 

 

 

 

 

 

 


=

b3+c3

------
c3+d3

 

 

 

 

 

 


=

(dk2)3+(dk)3

--------------
(dk)3+d3

 

 

 


=

d3k6+d3k3

------------
d3k3+d3

 

 

 

 

=

d3k3(k3+1)

------------
d3(k3+1) 

 

 

 

 

=

k3

 

 

 

 

 

 


a3+b3

------
b3+c3


=

b3+c3

------
c3+d3

 

 

 

 

 

[Proved]

 

 

() (a2+b2+c2)(b2+c2+d2)=(ab+bc+cd)2

সমাধানঃ

ধরি, a/b=b/c=c/d=k
c=dk
b=ck=dk.k=dk2
a=bk=dk2.k=dk3
LHS
=(a2+b2+c2)(b2+c2+d2)
={(dk3)2+(dk2)2+(dk)2}{(dk2)2+(dk)2+d2}
=(d2k6+d2k4+d2k2)(d2k4+d2k2+d2)
=d2k2(k4+k2+1)d2(k4+k2+1)
= d4k2(k4+k2+1)2
RSH
=(ab+bc+cd)2
=(dk3dk2+dk2dk+dkd)2
={d2k(k4+k2+1)}2
=d4k2(k4+k2+1)2
  (a2+b2+c2)(b2+c2+d2)=(ab+bc+cd)2 [Proved]

এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।

Make CommentWrite Comment