SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র (16-21) Part 2

ঘনবস্তুর ক্ষেত্র

এই অধ্যাইয়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র (1-15) Part 1

১৬. একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল 4400 বর্গ সেমি। এর উচ্চতা 30 সেমি হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =2πrh; এখানে h=30=সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের উচ্চতা ও r=ভুমির ব্যাসার্ধ।

প্রশ্নমতে,

2πrh=4400

বা,  2✕3.1416✕r✕30=4400

বা,  r✕188.496=4400

বা,  r=4400/188.496

বা,  r=23.3427 সেমি

আবার, সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

=2πr(r+h)

=2✕3.1416✕23.3427(23.3427+30)

=2✕3.1416✕23.3427✕53.3427

=7823.6059 বর্গ সেমি।

∴সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 7823.6059 বর্গ সেমি।

১৭. একটি লোহার পাইপের ভিতরের ও বাইরের ব্যাস যথাক্রমে 12 সেমি ও 14 সেমি এবং পাইপের উচ্চতা 5 মিটার। এক ঘন সেমি লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

পাইপের উচ্চতা h=5 মিটার=500 সেমি

পাইপের বাইরের ব্যাস=14 সেমি

পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ r₁=14/2 সেমি=7 সেমি

∴ পাইপের বাইরের আয়তন

=πr₁²h

=3.1416✕(7)²✕500

=76969.2 ঘন সেমি

আবার, পাইপের ভিতরের ব্যাস=12 সেমি

পাইপের ভিতরের ব্যাসার্ধ r₂=12/2 সেমি=6 সেমি

∴ পাইপের ভিতরের আয়তন

=πr₂²h

=3.1416✕(6)²✕500

=56548.8 ঘন সেমি

∴ লোহার আয়তন

=76969.2 ঘন সেমি-56548.8 ঘন সেমি

=20420.4 ঘন সেমি।

এখন,

1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.2 গ্রাম

∴20420.4 ঘন সেমি লোহার ওজন =20420.4✕7.2 গ্রাম

=147026.88 গ্রাম

=147.02688 কিলোগ্রাম           

∴ পাইপের লোহার ওজন=147.02688 কিলোগ্রাম

১৮. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য12 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার। আয়তাকারক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকারক্ষেত্র আছে যেখানে আয়তাকারক্ষেত্র দ্বারা আনধিকৃত অংশে ঘাস লাগানো হলো।

ক) উপরের তথ্যের ভিত্তিতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র আঁক।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য 12 মিটার ও প্রস্থ 5 মিটার। এই আয়তক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র আছে যার কেন্দ্র O. ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হবে বৃত্তের ব্যাস। নির্ণেয় চিত্রটি হলোঃ

খ) বৃত্তাকার ক্ষেত্রটির ব্যাস নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক এর বর্ণনা অনুসারে বৃত্তটির ব্যাস হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত আয়তক্ষেত্রের কর্ণ।

∴আয়তক্ষেত্রের কর্ণ

=√(দৈর্ঘ্য^২+প্রস্থ^২)

=√(12²+5²)

=√(144+25)

=√169

=13 মিটার।

∴বৃত্তটির ব্যাস 13 মিটার।

গ) প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে 50 টাকা খরচ হলে মোট খরচ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বৃত্তটির ব্যাস=13 মিটার

∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ r=13/2 মিটার=6.5 মিটার

∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল

= πr²

=3.1416✕(6.5)²

=132.7326 বর্গ মি।

আবার,

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ

=12✕5

=60 বর্গ মিটার

∴ বৃত্তের অনাধিকৃত অংশের পরিমাণ

=132.7326-60

=72.7326 বর্গ মি

এখন,

1 বর্গ মিটার ঘাস লাগাতে খরচ হয় 50 টাকা

∴ 72.7326 বর্গ মিটার ঘাস লাগাতে খরচ হয় =72.7326✕50 টাকা

                                                            =3636.63 টাকা

∴মোট খরচ 3636.63 টাকা।

১৯. চিত্রটি বর্গক্ষেত্র ও বর্গকলায় বিভক্ত।

ক) বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a=12 cm

∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য

=√2a

=√2✕12

=16.971 cm

এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা

=4a

=4✕12

=48 cm

খ) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

বৃত্তাংশের ব্যাসার্ধ r=AD=AE=12 cm

কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ=30⁰

∴ADE বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল

    θ

=------✕ πr²

    360⁰

   30⁰

=------✕ π(12)²

    360⁰

=37.6992 বর্গ সেমি

এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=(AB)²

=(12)²

=144 বর্গ সেমি

∴ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=37.6992 বর্গ সেমি+144 বর্গ সেমি

=181.699 বর্গ সেমি।

গ) বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট কোনো সুষম ষড়ভূজ কোনো বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, r=12 সেমি

এবং সুষম ষড়ভূজের বাহুর সংখ্যা, n=6

আমরা জানি,

সুষম ষড়ভূজের ক্ষেত্রফল

   na²       180⁰

=-----cot------

    4           n

   6✕(12)²      180⁰

=---------cot--------

      4                6

=6✕36✕cot30⁰

=6✕36✕√3

=374.122975 বর্গ সেমি

এখানে,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ=r=12 সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল

= π✕(12)²

=3.1416✕144

=452.3904 বর্গ সেমি

∴ বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল

=452.3904 বর্গ সেমি-374.122975 বর্গ সেমি

=78.267425 বর্গ সেমি।

২০. একটি সামন্তরিকক্ষেত্র ABCD এবং একটি আয়তক্ষেত্র BCEF উভয়ের ভূমি BC.

ক) একি উচ্চতা বিবেচনা করে সামন্তরিক ও আয়তক্ষেত্রটির চিত্র আঁক।

সমাধানঃ

একই ভূমি BC এর উপর ABCD একটি সামন্তরিক ক্ষেত্র ও BCEF একটি আয়তক্ষেত্র যাদের উচ্চতা AM.

খ) দেখাও যে, ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধানঃ

ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা

=AB+BC+CD+AD

=AB+BC+AB+BC [সামন্তরিকের বিপরীত বাহু সমান হয়]

=2AB+2BC………(i)

BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা

=FB+BC+CE+EF

=FB+BC+FB+BC [আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান হয়]

=2FB+2BC……….(ii)

এখন,

△ABF এ ∠BFA=90⁰

∴ AB> BF [সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ বৃহত্তম বাহু]

তাহলে, AB> BF হলে, (i) ও (ii) তুলনা করে পাই,

2FB+2BC>2FB+2BC

বা, ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা> BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা

∴ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর (দেখানো হলো)

গ) আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 5 : 3 এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা 48 মিটার হলে, সামন্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য=5x মিটার এবং প্রস্থ=3x মিটার

∴2(5x+3x)=48

বা, 2✕8x=48

বা, 16x=48

বা, x=48/16

বা, x=3

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য=5✕3=15 মিটার এবং প্রস্থ=3✕3=9 মিটার।

এখন,

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=সামন্তরিকের ভুমি=15 মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ= সামন্তরিকের উচ্চতা =9 মিটার

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল

=ভুমি✕উচ্চতা

=15✕9

=135 বর্গ মিটার

২১. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেতের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 1200 বর্গমিটার।

ক) x চলকের মাধ্যমে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=x মিটার

∴আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=3x মিটার

∴আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা=2(x+3x)=2✕4x=8x মিটার।

খ) বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=x✕3x বর্গ মি=3x² বর্গ মি

প্রশ্নমতে,

3x²=1200

বা, x²=1200/3

বা, x²=400

বা, x=√400

বা, x=20

∴আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা=2(20+3✕20)=2✕4✕20=160 মিটার।

শর্তমতে,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা=বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য, a=160/4=40 মিটার।

অতএব,

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=a²

=(40)²

=1600 বর্গ মি

গ) আয়তক্ষেত্রের বাইরে চতুর্দিকে 1.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে 25✕12.5 বর্গসেমি তলবিশিষ্ট ইটের সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=3x=3✕20=60 মিটার এবং প্রস্থ=20 মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60✕20 বর্গ মি =1200 বর্গ মি

রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=60+2✕1.5 মি=63 মি

রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=20+2✕1.5 মি=23  মি

∴রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=63✕23 বর্গ মি=1449 বর্গ মি.

তাহলে,

রাস্তার ক্ষেত্রফল=1449 বর্গ মি-1200 বর্গ মি=249 বর্গ মি

ইটের তলার ক্ষেত্রফল

=25✕12.5 বর্গসেমি

   25✕12.5

=------------- বর্গসেমি

   100✕100

=0.03125 বর্গসেমি

∴ইটের সংখ্য্যা

      249

=----------- টি

   0.03125

=7968 টি

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।