SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২.৪ সহসমীকরন গঠন করে সমাধান (16-24) Part 2

ssc math solutions, class 9-10 math solution bd, ssc, download pdf ssc/nine ten, নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত, Chapter-12.3, সহসমীকরন গঠন করে সমাধান

সহসমীকরন গঠন করে সমাধান:

এই অধ্যায়ের পুর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২. সহসমীকরন গঠন করে সমাধান (1-15) Part 1

১৬. একটি নৌকা দাঁড় বেয়ে স্রোতের অনুকুলে ঘন্টায় 15 কিমি যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় 5 কিমি। নৌকার বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,
নৌকার বেগ ঘন্টায় x কিমি
এবং স্রোতের বেগ ঘন্টায় y কিমি
১ম শর্ত মতে,
x+y=15………….(i)
২য় শর্তমতে,
x-y=5…………..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=20
বা,  x=10
নৌকার বেগ ঘন্টায় 10 কিমি

১৭. একজন গার্মেন্টস শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতিবছর শেষে একটি নির্দিষ্ট বেতনবৃদ্ধি পায়। তাঁর মাসিক বেতন 4 বছর পর 4500 টাকা ও 8 বছর পর 5000 টাকা হয়। তাঁর চাকরি শুরুর বেতন ও বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ 

মনে করি,
গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন x টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি y টাকা।
১ম শর্তমতে,
x+4y=4500……….(i)
২য় শর্তমতে,
x+8y=5000………..(i)
(i)-(ii) করে পাই,
-4y=-500
বা,  4y=500
বা,  y=500/4
বা,  y=125
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x+4.125=4500
বা,  x+500=4500
বা,  x=4500-500
বা,  x=4000
গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন 4000 টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি 125 টাকা।

১৮. একটি সরল সমীকণজোট x+y=10, 3x-2y=0

ক) দেখাও যে, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস। এর কয়টি সমাধান আছে?

সমাধানঃ

x+y=10………..(i)
3x-2y=0……….(ii)
x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/3
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/2
1/31/2
সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ। এর সমাধান আছে মাত্র একটি।

খ) সমীকরণজোটটি সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
x=10-y……(iii)
এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
3(10-y)-2y=0
বা,  30-3y-2y=0
বা,  30-5y=0
বা,  -5y=-30
বা,  5y=30
বা,  y=30/5
বা,  y=6
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=10-6
বা,  x=4
  (x,y)=(4,6)

গ) সমীকরণদ্বয় দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

x+y=10……..(i)
3x-2y=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y=10-x
y=10-x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
x
1
5
4
y
9
5
6
অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (1,9), (4,6), (5,5)
এবং (ii) নং হতে পাই,
-2y=-3x
বা, 2y=3x
বা, y=3x/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
x
2
4
8
y
3
6
10
অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (2,3), (4,6), (8,10)
এখন, ছক কাগজের X’OX YOY’ কে x অক্ষ y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (1,9), (4,6), (5,5) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (2,3), (4,6), (8,10) কে স্থাপন সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।


মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (4,6)
সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে POB ত্রিভুজ গঠন করে।
△POB
ভূমি OB=10 একক
উচতা PD=6 একক
△POB এর ক্ষেত্রফল=½106 =30 বর্গ একক।

১৯. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 1 হয়।

ক) ভগ্নাংশটি x/y ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।

সমাধানঃ

যেহেতু ভগ্নাংশটি ধরা হয়েছে x/y

১ম শর্তমতে,

x+7

------ = 2
 y

বা,  x+7=2y

বা,  x-2y+7=0

২য় শর্তমতে,

   x

------ = 1
 y-2

বা,  x=y-2

বা,  x-y+2=0

সুতরাং, সমীকরণজোট হলোঃ x-2y+7=0, x-y+2=0

খ) সমীকরণজোটটি আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

x-2y+7=0………(i)

x-y+2=0………..(ii)

(i) ও (ii) নং কে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

           x                         y

------------------- = ----------------
(-2)2-(-1)7          71-12

                                        1

                              = --------------------
                                  1(-1)-1(-2)

        x                 y                1

বা, --------- = ---------- = -----------
      -4+7           7-2            -1+2

        x                 y                1

বা, --------- = ---------- = -----------
        3                 5                1

বা, x/3=1         অথবা, y/5=1

বা, x=3             বা, y=5

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(3,5)

এবং ভগ্নাংশটি হলোঃ 3/5

গ) সমীকরণ জোটটির লেখ অঙ্কন করে (x,y) এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,
x-2y+7=0………(i)
x-y+2=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
-2y=-7-x
বা, 2y=x+7
বা, y=(x+7)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
x
-3
3
5
y
2
5
6
অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,2), (3,5), (5,6)
এবং (ii) নং হতে পাই,
-y=-2-x
বা, y=x+2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
x
-3
2
5
y
-1
4
7
অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,-1), (2,4), (5,7)
এখন, ছক কাগজের X’OX YOY’ কে x অক্ষ y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-3,2), (3,5), (5,6) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-3,-1), (2,4), (5,7) কে স্থাপন সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।


মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (3,5)
নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(3,5)
খ হতে প্রাপ্ত মান সঠিক [যাচাই করা হলো]

২০. দুইটি বহুভূজের বাহু সংখ্যা 17 এবং এদের কর্ণের সংখ্যা 53 হলে প্রত্যেক বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ

আমরা জানি,

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

                        n(n-3)

কর্ণের সংখ্যা=------------
                           2

ধরি, ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা x

এবং ২ বহুভূজের বাহুর সংখ্যা y (x>y)

                                           x(x-3)

১ম বহুভূজের কর্ণের সংখ্যা=--------
                                              2

                                            y(y-3)

২য় বহুভূজের কর্ণের সংখ্যা=---------
                                               2

শর্তমতে,

x+y=17…………….(i)

 x(x-3)         y(y-3)

--------- + --------- =53 ……(ii)
    2               2

বা, x(x-3)+y(y-3)=532

বা, x2-3x+y2-3y=106

বা, x2+y2-3(x+y)=106

বা, x2+y2-3.17=106

বা, x2+y2-51=106

বা, x2+y2=106+51

বা, x2+y2=157………….(iii)

বা, (x+y)2-2xy=157

বা, (17)2-2xy=157

বা, 289-2xy=157

বা, 289-157=2xy

বা, 2xy=132

বা, xy=66

আবার,

x2+y2=157

বা, (x-y)2+2xy=157

বা, (x-y)2+2.66=157

বা, (x-y)2+132=157

বা, (x-y)2=157-132

বা, (x-y)2=25

বা, x-y=5…………..(iv)

(i)+(iv) করে পাই,

2x=22

বা, x=22/2

বা, x=11

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

11+y=17

বা, y=17-11

বা, y=6

১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 11 টি

২য় বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 6 টি

২১. শিক্ষক বললেন একটি কাজ একা বা ছাত্র-ছাত্রীর জুটি করতে পারবে। ছাত্রদের 2/3 এবং ছাত্রীদের 3/5 অংশ জুটি বেধে কাজটি করলো। শ্রেণির কত ভাগ ছাত্র-ছাত্রী একা কাজটি করলো?

সমাধানঃ

 

 

 

 

 

 

ধরি, ছাত্র সংখ্যা x ছাত্রী সংখ্যা y

জুটি করে কাজ করা

ছাত্র সংখ্যা


=

2x

--
3

 

 

 

 

জুটি করে কাজ করা

ছাত্রী সংখ্যা


=

3y

--
5

 

 

 

 

একা কাজ করা

ছাত্র সংখ্যা


=


x


-

2x

--
3


=

x

--
3

একা কাজ করা

ছাত্রী সংখ্যা


=


y


-

3y

--
5


=

2y

--
5

শর্ত অনুসারে পাই,

2x

--
3


=

3y

--
5

 

 

 


বা,


x


=

9y

---   …...(i)
10


মোট একা করল  =

x

--
3


+

2y

--
5

 

 

 


=

1    9y

----
3   10


+

2y

--
5


[(i) হতে]


=

3y

--
10


+

2y

--
5

 

 

 


=

3y+4y

---------
10

 

 

 


=

7y

---------
10

 

 

 

মোট শিক্ষার্থী =

x

+

y

 

 

 


=

9y

--
10


+


y

 

 

 


=

9y+10y

------------
10

 

 

 


=

19y

-----
10

 

 

 

 



নির্ণেয় অনুপাত

7y

--
10
--
19y
--
10




=


7

--
10

 

 

 

২২. 100 ও 200  মিটার দীর্ঘ দুইটি ট্রেন সমবেগে সামনা সামনি অতিক্রম করতে 5 সেকেন্ড সময় লাগে কিন্তু একি দিকে চললে অতিক্রম করতে 15 সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুইটির বেগ নির্ণয় কর

সমাধানঃ 

ধরি, 100 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ Vx কিমি/সেকেন্ড এবং 200 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ Vy কিমি/সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,
5(Vx+Vy)=300
বা, Vx+Vy=300/5
বা, Vx+Vy=60………(i)
এবং,
15(Vx-Vy)=300
বা, Vx-Vy=300/15
বা, Vx-Vy=20……..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2Vx=80
বা, Vx=80/2
বা, Vx=40
(i)-(ii) করে পাই,
2Vy=40
বা, Vy=40/2
বা, Vy=20
100 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 40 কিমি/সেকেন্ড এবং 200 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 20 কিমি/সেকেন্ড

২৩. কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তাঁর গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভজ্য হবে?

সমাধানঃ 

2)5040
 ----------
  2)2520
 ----------
   2)1260
  -------------
    2)630
  -------------
     3)315
  -------------
       3)105
    -------------
         5)35
       -------------
              7

5040

=22223357
=122223357
=123(22)5(23)7
=1234567
1 থেকে 7 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা 7টি।
কমপক্ষে 7টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তাঁর গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভজ্য হবে।

২৪. ঘড়ির ঘন্টা এবং মিনিটের কাঁটা পরস্পরের সঙ্গে 30 ডিগ্রি কোণ করে কত বার ঘোরে? সময়গুলো নির্ণয় কর।

সমাধানঃ  

12 ঘন্টার মধ্যে ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা 300 কোণ উৎপন্ন করে 22 বার।
তাহলে, 24 ঘন্টার মধ্যে ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা 300 কোণ উৎপন্ন করে 44 বার।
 সময়গুলো নিন্মরুপঃ


12


:


05

5

--
11

1

:

00

 


1


:


10

10

--
11


2


:


5

5

--
11


2


:


16

4

--
11


3


:


10

10

--
11


3


:


21

9

--
11


4


:


16

4

--
11


4


:


27

3

--
11


5


:


21

9

--
11


5


:


32

8

--
11


6


:


27

3

--
11


6


:


37

2

--
11


7


:


32

8

--
11


7


:


43

7

--
11


8


:


38

2

--
11


8


:


49

1

--
11


9


:


43

7

--
11


9


:


54

6

--
11


10


:


49

1

--
11

11

:

00

 


11


:


54

6

--
11
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।
Make CommentWrite Comment