SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.৫ বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্ত (1-13) Part 1

বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্তঃ

১. কোন বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

ক) সূক্ষ্মকোণ    খ) স্থুলকোণ
গ) সমকোণ       ঘ) পূরককোণ
উত্তরঃ ক

২. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?

ক) 126⁰    খ) 108⁰
গ) 72⁰        ঘ) 54⁰
উত্তরঃ ক

৩. প্রদত্ত চিত্রে (1/2) ∠ECD=কত ডিগ্রী?

ক) 40⁰    খ) 50⁰
গ) 80⁰    ঘ) 100⁰
উত্তরঃ ক

৪. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পপর্শ করে। এদের একটির ব্যাস 8 সেমি এবং অপরটির ব্যাসার্ধ 4 সেমি হলে, এদের কেন্দ্রপদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সেমি হবে?

ক) 0   খ) 4   গ) 8     ঘ) 12
উত্তরঃ গ

৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোন বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক PQ ও PR টানা হলে, △PQR হবে-

(i) সমবাহু
(ii) সমদ্বিবাহু
(iii) সমকোণী
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i    খ) i ও ii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ii

৬. ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে ∠BOC= কত ডিগ্রী?

ক) 30⁰    খ) 60⁰  গ) 90⁰    ঘ) 120⁰
উত্তরঃ ঘ

AB ও AC রেখাদ্বয় BCD বৃত্তের স্পপর্শক। বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠BAC=60⁰. এই তথ্যের আলোকে (৭-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৭. ∠BOC এর মান কত?

ক) 300⁰   খ) 270⁰   গ) 120⁰   ঘ) 90⁰
উত্তরঃ গ

৮. D, BDC চাপের মধ্যবিন্দু হলে-

(i) ∠BDC=∠BAC
(ii) ∠BAC=(1/2) ∠BOC
(iii) ∠BOC=∠DBC+∠BCD

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ

৯. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট MNP একটি বৃত্ত আর AB একটি সরলরেখা। এই বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর সমান্তরাল হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
1) O বিন্দু থেকে AB এর উপর OK লম্ব আঁকি যা MNP বৃত্তকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
2) MO কে বর্ধিত করলে তা বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
3) MP এর M ও P বিন্দুতে লম্বরেখা CD ও EF আঁকি। তাহলে, CD ও EF নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, ∠MKA=90⁰[PK⊥AK]
∠OMC=90⁰[MP⊥CM]
∠OPC=90⁰[EP⊥PM]
তাহলে, AB।।CD।।EF আর CD ও EF বৃত্তটিকে M ও P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ CD ও EF নির্ণেয় স্পর্শক।

১০. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট MNC একটি বৃত্ত এবং AB একটি সরলরেখা। ত্রিভুজটিতে এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর উপর লম্ব হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) O থেকে AB এর উপর OP লম্ব আঁকি।
খ) O বিন্দু দিয়ে OM লম্ব আঁকি এবং বর্ধিত করি যা বৃত্তটিকে M ও N বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) MN এর M ও N বিন্দুতে RK ও DE লম্বরেখা আঁকি যা AB কে K ও E বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, RK ও DE নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, OP ⊥ AB; RK ।। OP ।। DE
∴ RK ⊥ AB; DE ⊥ AB.
RK ও DE বৃত্তটিকে M ও N বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ RK ও DE নির্ণেয় স্পর্শক।

১১. কোনো বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁক যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60⁰ হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABD একটি বৃত্ত। এর উপর এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60⁰ হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) O বিন্দুতে ∠AOB আঁকি যা বৃত্তটিকে A ও B বন্দুতে ছেদ করে।
খ) ∠AOB এর অভ্যন্তরে B ও A বিন্দুতে 90⁰ করে কোণ আঁকি।
গ) 90⁰ কোণদ্বয়ের BC ও AC বাহু পরস্পরC বিন্দুতে মিলিত হয়। তাহলে, CB ও CA নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
OBCA চতুর্ভুজে, ∠O+∠B+∠A+∠C=360⁰
বা,  ∠C=360⁰-∠O-∠B-∠A
বা,  ∠C=360⁰-120⁰-90⁰-90⁰
বা,  ∠C=60⁰
CB ও CA বৃত্তটিকে B ও A বিন্দুতে স্পর্শ করে।
তাহলে, CB ও CA নির্ণেয় স্পর্শক।

১২. 3 সেমি, 4 সেমি ও 4.5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁক এবং এই বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজের BC=4.5 সেমি, BA=4 সেমি; AC=3 সেমি। এই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ
ক) ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EM ও FN আঁকি।
খ) EM ও FN পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে O কে কেন্দ্র করে বৃত্ত আঁকি। তাহলে, ABC বৃত্ত ABC ত্রিভুজের নির্ণেয় পরিবৃত্ত অঙ্কিত হলো।
প্রমাণঃ
O, B; O, A ও O, C যোগ করি।
O বিন্দু AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
তাহলে, BO=OA
একইভাবে, OC=AC
∴OB=OA=OC
তাহলে, ABC বৃত্ত ABC ত্রিভুজের নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
ব্যাসার্ধ নির্ণয়ঃ
A থেকে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
△ABC এর পরিসীমা = AB+BC+AC = 4+3+4.5 =11.5 সেমি।
∴অর্ধপরিসীমা s=11.5/2 =5.75 সেমি।
অতএব, △ABC এর ক্ষেত্রফল= √{(s-AB)(s-BC)(s-CA)}
                                    =√{5.75(5.75-4)(5.75-3)(5.75-4.5)}
                             =√{5.75✕1.75✕2.75✕1.25}
                             =√34.58
                             =5.88 বর্গসেমি।
আবার, △ABC এর ক্ষেত্রফল=(1/2)✕4.5✕AD
বা,  5.88 =(1/2)✕4.5✕AD
বা,  4.5✕AD=5.88✕2
বা,  4.5✕AD=11.76
বা,  AD=11.76/4.5
বা,  AD=2.61
কিন্তু আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র, তাঁর পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ শীর্ষ হতে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান (ব্রক্ষ্মগুপ্তের উপপাদ্য)।
AB.AC=2R.AD [ব্যাসার্ধ R ধরে, ব্যাস=2R]
বা,  4.5✕3=2R✕2.61
বা,  13.5=R✕5.22
বা,  R=13.5/5.22
বা,  R=2.59 (প্রায়)
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ=2.59 সেমি (প্রায়)।                                          

১৩. 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর AC বাহুকে স্পর্শ করিয়ে একটি বহির্বৃত্ত আঁক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABC ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ 5 সেমি। এর AC বাহুকে স্পর্শ করিয়ে একটি বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ
ক) ABC ত্রিভুজের BC কে D এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করি।
খ) ∠DCA ও ∠FAC এর সমদ্বিখন্ডক রেখা আঁকি এবং এই রেখাদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) E থেকে AC এর উপর EH লম্ব আঁকি।
ঘ) E কে কেন্দ্র করে EH এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
E বিন্দু থেকে BF ও BD এর উপর EL ও EG লম্ব আঁকি।
এখন, E বিন্দু ∠DCA এর সমদ্বিখন্ডক রেখার উপর অবস্থিত।
তাহলে, EH=EG.
একইভাবে পাই, EL=EH=EG
অতএব, বৃত্তটি G, H, L বিন্দু দিয়ে যায় যা DB, BF ও AC এর উপর অবস্থিত।
∴ HGL নির্ণেয় বৃত্ত।

এই অধ্যায়ের বাকী অংশের লিঙ্কঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.৫ বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্ত (14-19) Part 2

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।