Class 6 Math BD-ষষ্ঠ শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৭ রেখা, লম্ব ও কোণ অঙ্কন
রেখা, লম্ব ও কোণ অঙ্কন
১. 280 কোণের সম্পূরক কোণ কত?
২. 370 কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
৩. দুইটি কোণ পরস্পপর পূরক হলে এদের সমষ্টি কত?
৪. ত্রিকোণীয় একটি কোণ 450 হলে অপর বৃহত্তর কোণটি কত?
৫. সম্পাদ্যের ক্ষেত্রে—
iii. যুক্তি দ্বারা অঙ্কন করা হলো প্রমান
নিচের কোণটি সঠিক?
উপরের চিত্রের আলোকে (৬-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৬. ∠a=কত?
৭. ∠a+∠b=কত?
৮. ∠c=কত?
৯. চাঁদার সাহায্যে আঁকা যায়—
i. ৪৫০ কোণ
iii. বৃত্ত
নিচের কোণটি সঠিক?
১০. রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দৈর্ঘের একটি রেখাংশ আঁক। এবার রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে একই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক।
সমাধানঃ
• •
কাগজের উপর রোলার বসিয়ে ঠিক সোজাসোজি দৃঢ়ভাবে চেপে ধরি। তারপর পেন্সিলের সরু মাথা সেন্টিমিটার স্কেলের 0 নির্দেশিত দাগ বরাবর বসাই এবং 8 সেমি পর্যন্ত টেনে নেই। তাহলে যে রেখাংশটি আঁকা হলো তার দৈর্ঘ্য AB=8 সেমি।
AB রেখাংশের সমান রেখাংশ অঙ্কনঃ
• ) ᗚ
অঙ্কনের ধাপঃ
৩. বৃত্তচাপটি CE কে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে CD রেখাংশই AB রেখাংশের সমান হবে।
১১. রুলারের সাহায্যে 6 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমদ্বিখন্ডিত কর। দ্বিখন্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখ তারা সমান হয়েছে কি না।
সমাধানঃ
রুলারের সাহায্যে 6 সেমি দীর্ঘ্য একটি রেখাংশ AB আঁকি। একে সমদ্বিখন্ডিত করতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
২. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. উভয় পাশের বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে M এবং N বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. M ও N যোগ করি। এই MN রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে MN রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে।
পরিমাপ যাচাইঃ
AB রেখাংশ বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন, AB রেখাংশের A বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত দাগের সাথে মিলে।
এখন, AB রেখাংশের O বিন্দু রুলারের 3 সেমি ও B বিন্দু রুলারের 6 সেমি দাগে পড়ে।
∴AO=3 সেমি=OB
১২. রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ কর।
সমাধানঃ
রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দীর্ঘ্য একটি রেখাংশ AB আঁকি। একে সমান চার ভাগে ভাগ করতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
৩. উভয় পাশের বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. P ও Q যোগ করি। এই PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে।
৫. এখন একইভাবে AO ও OB রেখাংশকে M ও N বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করি
তাহলে AB রেখাংশ AM, MO, ON ও NB এই সমান চার ভাগে বিভক্ত হলো।
১৩. 7 সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে রুলার-কম্পাসের সাহায্যে একটি নির্দিষ্ট লম্ব আঁক।
সমাধানঃ
মনে করি, 7 সেমি দৈর্ঘ্যের সমান AB একটি রেখাংশ যার মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
২. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ CB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. C ও D যোগ করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো, যেখানে C, AB এর মধ্যবিন্দু।
১৪. 4 সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁক।
সমাধানঃ
মনে করি, 4 সেমি দৈর্ঘ্যের সমান AB একটি রেখাংশ যার মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
২. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ CB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. C ও D যোগ করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো, যেখানে C, AB এর মধ্যবিন্দু।
১৫. AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁক। আবার CD রেখার উপর একটি বিন্দু E লও। এবার E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁক।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, AB রেখার উপর C একটি বিন্দু। C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব আঁকতে হবে। আবার CD এর উপর E একটি বিন্দু। CD এর উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
২. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় S বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. C ও S যোগ করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬. একইভাবে CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব আঁকি।
তাহলে, AB রেখার C বিন্দুতে CD এবং CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।
১৬. চাঁদা ব্যবহার না করে 450 কোণটি আঁক।
সমাধানঃ
অঙ্কনের ধাপঃ
২. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. O ও D যোগ করি। অতএব, O বিন্দুতে OB এর উপর OD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬. এখন OD লম্ব RQ বৃত্তচাপকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
৭. P ও F বিন্দুকে কেন্দ্র করে PF এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠FOP এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৮. O ও B যোগ করি। তাহলে OB ∠FOP কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ফলে ∠POB=450 অঙ্কিত হলো।
১৭. ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখন্ডকগুলো আঁক। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ঐ রেখজাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ABC একটি ত্রিভুজ। এর ∠ABC, ∠BCA ও ∠BAC এর প্রত্যেকটিকে সমদ্বিখন্ডিত করতে হবে। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ঐ রেখাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত করতে হবে।
অঙ্কনের ধাপঃ
২. P ও Q কে কেন্দ্র করে PQ এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর R বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. B, R যোগ করি এবং E পর্যন্ত বর্ধিত করি।
৪. BE রেখাই ∠ABC এর সমদ্বিখন্ডক।
৫. অনুরুপভাবে, ∠ACB ও ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক যথাক্রমে CF ও AD অঙ্কন করি।
৬. BE, CF ও AD রেখাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
সুতরাং, O বিন্দুই সমদ্বিখন্ডকত্রয়ের সাধারণ বিন্দু।
১৮. পাশের চিত্রে,
(ক) ∠ABC এর সম্পূরক কোণ কোণটি?
সমাধানঃ
(ক) চিত্রে, ∠ABC এর সম্পূরক কোণ ∠CBF
(খ) চিত্রে, ∠ACB এর মান 500 কারণ, ∠DCE এর বিপ্রতীপ ∠ACB এবং বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
(গ) প্রমান কর যে, ∠DCE+∠ECB=1800.
∠DCE+∠ECB=500+1300=1800 (প্রমাণিত)
১৯. পাশের চিত্রে,
(ক) ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ কোণটি?
(গ) প্রমান কর যে, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখন্ডক একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধানঃ
(ক)∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD
(খ) ∠AOB কে সমদ্বিখন্ডিত করে সন্নিহিত কোণ দুইটির সাধারণ বাহু নির্দেশ করতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
তাহলে, ∠AOE এবং ∠BOE সন্নিহিত কোণদ্বয়ের OE সাধারণ বাহু।
(গ)
মনে করি, ∠AOB এর সমদ্বিখন্ডক OE এবং ∠AOC এর সমদ্বিখণ্ডক OF। প্রমান করতে হবে যে, OE ও OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
প্রমানঃ
∴∠COD+∠COD=দুই সমকোণ।
আবার,
∴∠COD+∠COD=∠COD+∠AOB
∴∠COD=∠AOB [উভয় পক্ষ থেকে ∠COB বাদ দিয়ে]
বা, ∠BOE+∠BOC+∠COF=দুই সমকোণ।
∴∠EOF=দুই সমকোণ=এক সরলকোণ।
∴OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সুতরাং, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখন্ডক OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)
২০. চিত্রে, ∠ABC=900
(ক) ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টিকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) x কোণের সমান করে একটি কোণ আঁক এবং বিবরণ দাও।
সমাধানঃ
(ক) △ABC এর তিনটি কোণ ∠A, ∠B ও ∠C। ত্রিভুজের তিন কোণকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে
(খ)
অঙ্কনের বিবরণঃ
(২) P ও N বিন্দুকে কেন্দ্র করে PN এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) B, O যোগ করি। তাহলে BO রশ্মি ∠ABC কে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং ∠CBO=450 কোণই উদ্দিষ্ট কোণ।
(গ) ক থেকে পাই,
বা, x=1800/4
১৬ নং প্রশ্নের সমাধান দেখ।
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।