স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.1 (1-4) part 1
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: বিন্দু সমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব, স্থানাঙ্ক দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন ও যাচাই
১. প্রতিক্ষেত্রে
প্রদত্ত বিন্দুসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করঃ
ক) (2,3) ও
(4,6)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়
P(2,3) এবং Q(4,6)।
তাহলে,
(PQ)2=(4-2)2+(6-3)2
= 22+32
=4+9
=13
বা, PQ=√13
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √13 একক (Ans.)
খ) (-3,7) ও
(-7,3)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়
P(-3,7) এবং Q(-7,3)।
তাহলে,
(PQ)2={-7-(-3)}2+(3-7)2
=(-7+3)2+(-4)2
= (-4)2+16
=16+16
=32
বা, PQ=√32 = √16.2 = 4√2
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী
দূরত্ব PQ = 4√2 একক (Ans.)
গ) (a,b) ও
(b,a)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়
P(a,b) এবং Q(b,a)।
তাহলে,
(PQ)2 =
(b-a)2+(a-b)2
=(a-b)2+(a-b)2
=2(a-b)2
বা, PQ=(a-b)√2
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী
দূরত্ব PQ =(a-b)√2 একক (Ans.)
ঘ) (0,0) ও
(sinθ,cosθ)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়
P(0,0) এবং Q(sinθ,cosθ)।
তাহলে,
(PQ)2 = (sinθ-0)2+(cosθ-0)2
=(sinθ)2+(cosθ)2
=sin2θ+cos2θ
=1
বা, PQ = √1 = 1
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী
দূরত্ব PQ = 1 একক (Ans.)
ঙ) (-3/2,-1)
ও ( ½, 2)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়
P(-3/2,-1) এবং Q(½, 2)।
তাহলে,
(PQ)2 = { ½
-(-3/2)}2+{2-(-1)}2
=( ½ - 3/2)2+(2+1)2
=(4/2)2+32
=4+9
=13
বা, PQ = √13
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী
দূরত্ব PQ = √13 একক (Ans.)
২. একটি ত্রিভুজের
শীর্ষত্রয় যথাক্রমে A(2,-4), B(-4,4) ও C(3,3)। ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে, এটি
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ যথাক্রমে
A(2,-4), B(-4,4) ও C(3,3)। ছক কাগজে xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো (ক্ষুদ্রতম
১ বর্গ = ১ একক ধরে) এবং A,B; B,C ও C,A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো।
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(-4-2)2+(4+4)2}
=√{(-6)2+82}
=√(36+64)
=√100
=10 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(3+4)2+(3-4)2}
=√{72+(-1)2}
=√(49+1
=√50
=5√2 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(3-2)2+(3+4)2}
=√(12+72)
=√(1+49)
=√50
=5√2
অতএব, AB বাহুর দৈর্ঘ্য ≠ BC
বাহুর দৈর্ঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য
তাহলে, ABC একটি সমদ্বিবাহ ত্রিভুজ (দেখানো
হলো)।
৩. A(2,5),
B(-1,1) ও C(2,1) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে এটি একটি
সমকোণী ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ যথাক্রমে
A(2,5), B(-1,1) ও C(2,1)। ছক কাগজে xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো (ক্ষুদ্রতম
১ বর্গ = ১ একক ধরে) এবং A,B; B,C ও C,A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো।
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(-1-2)2+(1-5)2}
=√{(-3)2+(-4)2}
=√(9+16)
=√25
=5 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(2+1)2+(1-1)2}
=√(32+02)
=√(9+0
=√9
=3 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(2-2)2+(1-5)2}
=√(02+(-4)2)
=√(0+16)
=√16
=4
কিন্তু, BC2+AC2
= 32+42 = 25 = 52 = AB 2
অতএব, পীথাগোরাসের সূত্র অনুসারে ABC একটি
সমকোণী ত্রিভুজ (দেখানো হলো)।
৪. A(1,2),
B(-3,5) ও C(5,-1) বিন্দুত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যায় কিনা যাচাই কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুত্রয়ঃ
A(1,2), B(-3,5) ও C(5,-1)
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-3-1)2+(5-2)2}
=√{(-4)2+32}
=√(16+9)
=√25
=5 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(5+3)2+(-1-5)2}
=√{82+(-6)2}
=√(64+36)
=√100
=10 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(5-1)2+(-1-2)2}
=√{42+(-3)2}
=√(16+9)
=√25
=5
এখানে দেখা যাচ্ছে AB+AC = 5+5 = 10 =BC
অর্থাৎ দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান
কিন্তু ত্রিভুজে যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হয়।
সুতরাং, বিন্দুত্রয় দ্বারা. কোনো ত্রিভুজ
গঠন করা সম্ভব নয় (যাচাই করা হলো)।
এই অনুশীলনীর বাকী অংশের লিঙ্কঃ
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.1 (5-11) part 2