দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 (1-9) Part 1
দ্বিপদী উপপাদ্য, nCr এর মান ও গাণিতিক সমস্যার সমাধান
১. (1+2x+x2)3
এর বিস্তৃতিতে-
(i.) পদসংখ্যা 4 (ii.) ২য় পদ 6x (iii.) শেষ পদ x6
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ গ
[এখানে,(1+2x+x2)3
= {(1+x)2}3 = (1+x)6; তাহলে এই রাশির বিস্তৃতিতে
পদ সংখ্যা হবে ৭; অর্থাৎ (i) সত্য নয়।
রাশিটির বিস্তৃতিতে ২য় পদ = (61).x1
= 6x অর্থাৎ (ii) নং সঠিক।
রাশিটির বিস্তৃতিতে শেষ পদ = (66).x6
=6.5.4.3.2/1.2.3.4.5.6 .x6 = x6 অর্থাৎ (iii) নং সঠিক।]
(x+1/x)n , যেখানে n জোড় সংখ্যা।
এই তথ্য থেকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
২. (r+1) তম পদটি
x বর্জিত হলে r এর মান কত?
ক) 0 খ) n/2 গ) n ঘ) 2n
উত্তরঃ খ
[রাশিটি = (x+1/x)n
r+1 তম পদ = nCr .xn-r
.x-r = nCr. xn-r-r = nCr
.xn-2r
x বর্জিত পদের ক্ষেত্রে n-2r = 0 বা,
r = n/2]
৩. n=4 হলে, চতুর্থ
পদ কত?
ক) 4 খ) 4x
গ) 4/x ঘ) 4/x2
উত্তরঃ ঘ
[n=4 হলে চতুর্থ পদ = 4C3 .x4-3
.x-3 = 4C3 .x4-3-3 =4C3
.x-2 =4.3.2/1.2.3 .x-2 =4x-2=4/x2]
৪. (x+y)5
এর বিস্তৃতিতে দ্বিপদী সহগগুলি হলঃ
ক) 5,10,10,5 খ) 1,5,10,10,5,1
গ) 10,5,5,10 ঘ)
1,2,3,3,2,1
উত্তরঃ খ
[প্যাসকেলের ত্রিভুজ হতে পাই,
অতএব, দ্বিপদী সহগগুলো হলোঃ 1,5,10,10,5,1.]
৫. (1-x)(1+x/2)8
–এর বিস্তৃতিতে x এর সহগ
ক) -1 খ) ½ গ)
3 ঘ) – ½
উত্তরঃ গ
[(1-x)(1+x/2)8
=(1-x)[(80).18.(x/2)0+(81).17.(x/2)1+(82).16.(x/2)2+…….]
=(1-x)[1+4x+7x2+……]
অতএব, x এর সহগ = (1.4)+(-1).1 = 4 –
1 = 3 ]
৬. (x2+1/x2)4 এর বিস্তৃতিতে x মুক্ত পদ কত?
ক) 4 খ) 6
গ) 8 ঘ) 0
উত্তরঃ খ
[(x2+1/x2)4 এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ Tr+1
=4Cr (x2)4-r
(1/x2)r = 4Cr x8-2r x-2r
= 4Cr x8-4r
x মুক্ত পদের ক্ষেত্রে, 8-4r = 0 বা,
r = 8/4 = 2
অতএব, x মুক্ত পদটি = 4C2
= 4.3/1.2 = 6 ]
৭. (x+4)4
বিস্তৃতির সহগগুলি সাজালে আমরা পাই-
উত্তরঃ খ
৮. নিন্মোক্ত প্রতিটি ক্ষেত্রে বিস্তৃত করঃ
ক) (2+x2)5
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে,
(2+x2)5
=25+5C1
25-1 x2 + 5C2 25-2 (x2)2
+5C3 25-3 (x2)3+5C4
25-4 (x2)4+5C5 25-5
(x2)5
=25+5C1
24 x2 + 5C2 23 x4
+5C3 22 x6+5C4
21 x8+5C5 20 x10
=32+80x2+(5.4/1.2).8.x4+(5.4.3/1.2.3).4.x6
+(5.4.3.2/1.2.3.4).2.x8+(5.4.3.2.1/1.2.3.4.5).x10
=32+80x2+80x4+40x6+10x8+x10
(Ans.)
খ) (2-1/2x)6
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে,
(2-1/2x)6
=26+6C1
26-1 (-1/2x)1 + 6C2
26-2 (-1/2x)2+6C3
26-3 (-1/2x)3+6C4
26-4 (-1/2x)4+6C5
26-5 (-1/2x)5+6C6
26-6 (-1/2x)6
=26+6C1
25 (-1/2x)1 + 6C2
24 (-1/2x)2+6C3
23 (-1/2x)3+6C4
22 (-1/2x)4+6C5
21 (-1/2x)5+6C6
20 (-1/2x)6
=26+6C1
25 (-1/2x)1 + 6C2
24 (-1/2x)2+6C3
23 (-1/2x)3+6C4
22 (-1/2x)4+6C5
21 (-1/2x)5+6C6
20 (-1/2x)6
=64+6C1
.32 .(-1/2x) + 6C2.16 .(1/4x2)+6C3 .8 .(-1/8x3)+6C4 .4 .(1/16x4)+6C5 .2 .(-1/32x5)+6C6 .1. (1/64x6)
=64-96/x
+(6.5/1.2).16 .(1/4x2)+(6.4.3/1.2.3)
.8 .(-1/8x3)+(6.5.4.3/1.2.3.4
).4 .(1/16x4)+(6.5.4.3.2/1.2.3.4.5) .2 .(-1/32x5)+1 .1. (1/64x6)
=64 - 96/x
+ 60/x2 - 20/x3 + 15/4x4 - 3/8x5+1/64x6 (Ans.)
৯. নিচের বিস্তৃতিগুলোর প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।
ক) (2+3x)6
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে,
(2+3x)6
=26+6c1
26-1 (3x)1 +6c2 26-2
(3x)2 +6c3 26-3 (3x)3 +………
=26+6c1
25 (3x)1 +6c2 24 9x2
+6c3 23 27x3 +………
=64+6. 32. 3x +(6.5/1.2)
.16 .9x2 +(6.5.4/1.2.3). 8. 27x3 +………
=64+576x+2160x2+4320x3+……..
(Ans.)
খ) (4-1/2x)5
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে,
(4 - 1/2x)5
=45+5c1
.45-1.(- 1/2x)1 +5c2
45-2 (- 1/2x)2 +5c3
45-3 (- 1/2x)3 +………
=1024+5c1
.44.(- 1/2x) +5c2 .43
(1/4x2) +5c3
.42 (- 1/8x3) +………
=1024+5.256.(- 1/2x)
+(5.4/1.2).64 (1/4x2) +(5.4.3/1.2.3)
.16 (- 1/8x3) +………
=1024 - 640/x
+ 160/x2 - 20/x3+…… (Ans.)
এই অনুশীলনীর বাকী অংশের লিঙ্কঃ
দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) - SSC Higher Math BD - Chapter 10.2 (10-15) Part 2
দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) - SSC Higher Math BD - Chapter 10.2 (16-19) Part 3