বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহঃ SSC Higher Math BD-Chapter 8.3 (1-9) Part 1
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ যাচাই, আলফা
১. sinA=1/√2 হলে sin2A এর মান কত?
ক) 1/√2 খ) ½
গ) 1 ঘ) √2
উত্তরঃ গ
[sinA=1/√2
বা,
sinA = sin 450
বা,
A = 450
এখন, sin2A = sin (2✕450) = sin 900 = 1 ]
২. -3000
কোনটি কোন চতুর্ভাগে থাকবে?
ক) প্রথম খ) দ্বিতীয়
গ) তৃতীয় ঘ) চতুর্থ
উত্তরঃ ক
[-3000 = -(3✕900+300) অর্থাৎ -3000 কোনটি প্রথম চতুর্ভাগে
অবস্থিত]
৩. sinθ+cosθ=1 হলে θ এর মান হবে
i) 00 ii) 300 iii) 900
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i খ.
ii গ. i, ii
ঘ. i, iii
উত্তরঃ ঘ
[00 ও 900 দ্বারা সমীক্রনটি সিদ্ধ হয়; অর্থাৎ θ এর মান 00 ও 900]
৪. নিচের চিত্রানুসারে
i) tanθ=4/3
ii) sinθ=5/3
iii) cos2θ=9/25
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i, ii খ. i, iii
গ. ii, iii ঘ. i,
ii, iii
উত্তরঃ খ
[ চিত্রানুসারে, লম্ব 4 একক, ভূমি 3 একক এবং অতিভুজ √(42+52)=5 একক
তাহলে, tanθ=(লম্ব/ভুমি)=4/3
sinθ=(লম্ব/অতিভুজ)=4/5
cos2θ=(ভূমি2/অতিভুজ2)=9/25
অর্থাৎ i ও iii সঠিক]
নিচের চিত্রানুসারে ৫-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫. sinB+cosC=কত
ক) 2b/a খ) 2a/b গ) (a2+b2)/ab ঘ)
ab/(a2+b2)
উত্তরঃ ক
[ sinB+cosC
=AC/BC+AC/BC
=b/a+b/a
=2b/a]
৬. tanB এর মান
কোনটি?
ক) a/(a2-b2)
খ) b/(a2-b2)
গ) a/√(a2-b2) ঘ) b/√(a2-b2)
উত্তরঃ ঘ
[ tanB
= AC/AB
b
৭. মান নির্ণয় করঃ
ক) sin7π
সমাধানঃ
sin7π
= sin(14. π/2 + 0) [n=14 জোড় বলে sin অপরিবর্তিত এবং কোনটি ৩য় চতুর্ভাগে
থাকে ফলে sin এর চিহ্ন ঋণাত্মক]
= -sin0
=0
খ) cos11π/2
সমাধানঃ
cos11π/2
= cos(11. π/2 + 0) [n=11 বিজোড় বলে cos পরিবর্তিত হয়ে sin হবে এবং
কোনটি ৪র্থ চতুর্ভাগে থাকে ফলে cos এর চিহ্ন হবে ধণাত্মক]
=sin0
=0
গ) cot11π
সমাধানঃ
cot11π
=cot(22. π/2 + 0) [n=22 জোড় বলে cot অপরিবর্তিত এবং কোনটি ৩য় চতুর্ভাগে
থাকে ফলে sin এর চিহ্ন ধণাত্মক]
=cot0
=অসংজ্ঞায়িত
ঘ) tan(-23π/6)
সমাধানঃ
tan(-23π/6)
= - tan(23π/6)
= - tan(4π -
π/6)
= -
tan(8✕π/2 -
π/6) [n=8 জোড় সংখ্যা,
তাই tan অপরিবর্তিত থাকবে এবং কোনটি ৪র্থ চতুর্থভাগে অবস্থিত, তাই tan ঋণাত্মক]
= tanπ/6
= 1/√3
ঙ) cosec19π/3
সমাধানঃ
cosec19π/3
= cosec(6π + π/3)
= cosec(12. π/2 + π/3) [n=12 জোড় সংখ্যা, তাই cosec অপরিবর্তিত থাকবে এবং
কোনটি ১ম চতুর্থভাগে অবস্থিত, তাই cosec এর চিহ্ন ধণাত্মক]
=cosec π/3
= 2/√3
চ) sec(-25π/2)
সমাধানঃ
sec(-25π/2)
= sec(25π/2) [sec(-θ)=secθ]
=sec(12π + π/2)
= sec(24.π/2 + π/2) [n=24 জোড় সংখ্যা
এবং কোনটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত]
=sec π/2
= অসংজ্ঞায়িত।
ছ) sin31π/6
সমাধানঃ
sin31π/6
= sin(5π + π/6)
= sin(10.π/2 + π/6) [n=10 জোড় সংখ্যা
তাই sin অপরিবর্তীত থাকবে এবং কোণটির অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে ফলে sin এর চিহ্ন ঋণাত্মক
হবে]
= - sin π/6
= - ½
জ) cos(-25π/6)
সমাধানঃ
cos(-25π/6)
= cos(25π/6) [cos(-θ)=cosθ]
= cos(4π + π/6)
= cos(8.π/2 + π/6) [n=8 জোড় সংখ্যা তাই cos অপরিবর্তীত থাকবে এবং কোণটির
অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে ফলে cos এর চিহ্ন ধণাত্মক হবে]
=cos π/6
=√3/2
৮. প্রমাণ কর যে,
ক) cos17π/10 + cos13π/10+cos9π/10+cosπ/10 = 0
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= cos17π/10 + cos13π/10+cos9π/10+cosπ/10
= cos(2π - 3π/10) + cos(π + 3π/10)+cos(π - π/10)+cosπ/10
= cos3π/10 – cos3π/10 - cosπ/10 + cosπ/10
=0
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
খ) tanπ/12.tan5π/12.tan7π/12.tan11π/12 = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= tanπ/12.tan5π/12.tan7π/12.tan11π/12
= tan150 tan750
tan1050 tan1650
= tan150 tan(900-150)
tan(900+150) tan(1800-150)
= tan150 cot150
(-cot150) (-tan150)
= tan2150 cot2150
1
=1
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
গ) sin2 π/7 + sin2
5π/14
+ sin2 8π/7
+ sin2 9π/14
= 2
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin2 π/7 + sin2 5π/14 + sin2 8π/7 + sin2 9π/14
= sin2 π/7 + {sin(π/2 - π/7)}2 + {sin(π + π/7)}2
+ {sin (π/2 + π/7)}2
= sin2 π/7 + (cos π/7)2 + (- sin π/7)2 + (cos π/7)2
= sin2 π/7 + cos2 π/7 + sin2 π/7 + cos2 π/7
=2(sin2 π/7 + cos2 π/7)
=2.1
=2
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঘ) sin7π/3 cos13π/6 – cos5π/3 sin11π/6 = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin7π/3 .cos13π/6 – cos5π/3 .sin11π/6
=
sin(2π + π/3) .cos(2π + π/6) – cos(2π - π/3) .sin(2π - π/6)
= sin π/3 .cos π/6 + cos π/3 .sin π/6
= (√3/2).(√3/2) +(½).(½)
= ¾ + ¼
= 4/4
= 1
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঙ) sin13π/3 cos13π/6 – sin11π/6 cos(-5π/3) = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin13π/3 cos13π/6 – sin11π/6 cos(-5π/3)
= sin(4π + π/3) cos(2π + π/6) – sin(2π -
π/6) cos(2π -π/3) [যেহেতু, cos(-θ)=cosθ]
= sin π/3 cos π/6 – (-sin π/6) cos π/3
= sin π/3cos π/6 + sin π/6 cos
π/3
= √3/2 . √3/2 + ½ . ½
= ¾ + ¼
= 4/4
= 1
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
চ) tanθ = ¾ এবং sinθ ঋণাত্মক হলে দেখাও যে,
sinθ+cosθ 14
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ = ¾ এবং sinθ ঋণাত্মক।
sinθ
বা, 3cosθ = 4sinθ
বা, 9cos2θ = 16sin2θ [বর্গ করে]
বা, 9(1-sin2θ) = 16sin2θ
বা, 9-9sin2θ-16sin2θ = 0
বা, -25sin2θ = -9
বা, 25sin2θ = 9
বা, sin2θ = 9/25
বা, sinθ = ±
3/5
সুতরাং, sinθ = -
3/5 [sinθঋণাত্মক]
আবার,
tanθ = ¾
sinθ
বা, 3cosθ = 4sinθ
বা, cosθ = 4/3 ✕ (-3/5)
বা, cosθ = - 4/5
তাহলে,
বামপক্ষ
sinθ+cosθ
- 3/5-4/5
-3-4
-7/5
= - 7/5
✕ - 4/2
= 14/5
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
৯. মান নির্ণয় করঃ
ক) cos9π/4 + cos5π/4+sin31π/36 –
sin5π/36
সমাধানঃ
cos9π/4 + cos5π/4+sin31π/36 – sin5π/36
=
cos(2π + π/4) + cos(π +
π/4)+sin(π - 5π/36) – sin5π/36
= cosπ/4 - cosπ/4 + sin5π/36 – sin5π/36
=0
খ) cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
সমাধানঃ
cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
= cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
= cot π/20 cot(π/2 - 7π/20) cotπ/4 cot 7π/20 cot(π/2 - π/20)
= cotπ/20 tan7π/20 .1.cot7π/20 tanπ/20
= cotπ/20 tan7π/20 cot7π/20 tanπ/20
1 1
= 1
গ) sin2 (π/4) + sin2 (3π/4) + sin2 (5π/4) + sin2
(7π/4)
সমাধানঃ
sin2 (π/4) + sin2 (3π/4) + sin2 (5π/4) + sin2 (7π/4)
=
sin2 π/4 + sin2
3π/4 + sin2
(π/2 + 3π/4) + sin2 (3π/2 + π/4)
=
sin2 π/4 + sin2
3π/4 + cos2
3π/4 + cos2 π/4
= (sin2 π/4 + cos2
π/4)+ (sin2
3π/4 + cos2
3π/4)
=1+1 [sin2θ +cos2θ =1]
=2
ঘ) cos2 π/8 + cos2 3π/8
+ cos2 5π/8 + cos2 7π/8
সমাধানঃ
cos2 π/8 + cos2
3π/8 + cos2
5π/8 + cos2 7π/8
=
cos2 π/8 + cos2
3π/8 + cos2
(π/2 + π/8) + cos2 (π/2 + 3π/8)
=
cos2 π/8 + cos2
3π/8 + sin2
π/8 + sin2
3π/8
=( sin2 π/8 + cos2
π/8) + (sin2
3π/8+ cos2
3π/8)
=1+1
[sin2θ +cos2θ =1]
=2
ঙ) sin2 (17π/18) + sin2 (5π/8) + cos2 (37π/18) + cos2
(5π/8)
সমাধানঃ
sin2 (17π/18) + sin2 (5π/8) + cos2 (37π/18) + cos2 (5π/8)
=
(sin 17π/18)2 + (sin 5π/8)2 + (cos 37π/18)2
+ (cos 5π/8)2
= (sin 17π/18)2 + (cos 37π/18)2 + (sin 5π/8)2 + (cos 5π/8)2
= {sin (π- π/18)}2 + {cos(2π+ π/18)}2 + sin2 5π/8 + cos2 5π/8
= sin2 π/18 + cos2 π/18 + sin2 5π/8 + cos2 5π/8
=1+1 [sin2θ +cos2θ =1]
=2
এই অনুশীলনীর বাকী অংশের লিঙ্কঃ
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহঃ SSC Higher Math BD-Chapter 8.3 (10-16) Part 2