বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহঃ SSC Higher Math BD-Chapter 8.3 (10-16) Part 2
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ যাচাই, আলফা
১০. θ = π/3 হলে নিন্মোক্ত অভেদসমূহ যাচাই করঃ
ক)
sin2θ
=2sinθ cosθ
2tanθ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, θ =
π/3
বামপক্ষ
= sin2θ
= sin2. π/3
= sin 2π/3
= sin(π- π/3)
= sin π/3
= √3/2
মধ্যপক্ষ
= 2sinθ cosθ
= 2sin π/3 cosπ/3
= 2. √3/2
. ½
= √3/2
ডানপক্ষ
2tanθ
2tan π/3
2. √3
2. √3
2. √3
= √3/2
অতএব, বামপক্ষ=মধ্যপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
খ)
sin3θ = 3sinθ – 4sin3θ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin3θ
= sin3. π/3
=sin π
=sin(2. π/2+0)
=sin00
=0
ডানপক্ষ
= 3sinθ –
4sin3θ
= 3sin π/3 – 4sin3 π/3
=3.
√3/2 – 4.( √3/2)3
=3.√3/2
– 4. 3.√3/8
=3.√3/2
– 3.√3/2
=0
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
গ) cos3θ = 4cos3θ –
3cosθ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= cos3θ
=cos3. π/3
=cos π
=cos(2. π/2+0)
=cos00
=-1
ডানপক্ষ
4cos3θ –
3cosθ
=4cos3 π/3 – 3cos π/3
=4.( ½ )3 – 3. ½
= 4. 1/8 – 3/2
= ½ - 3/2
1-3
= -2/2
=-1
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঘ)
tan2θ
2tanθ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= tan2θ
= tan2. π/3
= tan 2π/3
= tan(π- π/3)
= -tan π/3
= -√3
ডানপক্ষ
2tanθ
2tan π/3
2. √3
2. √3
2. √3
= -√3
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
১১. প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে ∞ (আলফা)
এর মান নির্ণয় করঃ
ক) cot∞ = -√3, 3π/2
< ∞ < 2π
সমাধানঃ
চতুর্থ চতুর্ভাগে cot∞ = -√3
বা, cot∞ =
- cot π/6
বা, cot∞ = cot(2π- π/6)
বা, cot∞ = cot 11π/6
বা, ∞ = 11π/6 [যা
3π/2 < ∞ < 2π শর্ত পূরণ করে]
খ) cot∞ = - ½ , π/2
< ∞ < 3π/2
সমাধানঃ
দ্বিতীয় চতুর্ভাগে
cos∞ =
- ½
বা, cos∞ = cos(π- π/3)
বা, ∞ = (π- π/3)
বা, ∞ = 2π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
আবার,
তৃতীয় চতুর্ভাগে, cos∞ = - ½
বা, cos∞ =
cos(π + π/3)
বা, ∞ =
(π + π/3)
বা, ∞ = 4π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
অতএব, ∞ = 2π/3 এবং 4π/3
গ) sin∞ = -√3/2,
π/2 < ∞ <
3π/2
সমাধানঃ
sin∞ =
-√3/2
বা, sin∞ =
-sin π/3
বা, sin∞ = sin(π + π/3) [৩য় চতুর্ভাগে
sin ঋণাত্মক]
বা, ∞ = (π + π/3)
বা, ∞ = 4π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
ঘ) cot∞ =
-1, π < ∞ < 2π
সমাধানঃ
cot∞ =
-1
বা, cot∞ =
-cot π/4
বা, cot∞ = cot(2π - π/4) [৪র্থ চতুর্ভাগে cot ঋণাত্মক]
বা, ∞ = (2π - π/4)
বা, ∞ = 7π/4 যা π < ∞ < 2π শর্ত পালন করে
১২. সমাধান করঃ (যখন 0<θ<π/2)
ক) 2cos2θ = 1+2sin2θ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2cos2θ =
1+2sin2θ
বা, 2cos2θ - 2sin2θ =
1
বা, 2(1-sin2θ)
– 2sin2θ = 1 [cos2θ =
1-sin2θ]
বা, 2 – 2sin2θ
-2sin2θ = 1
বা, 2 – 4sin2θ =
1
বা, - 4sin2θ =
- 1
বা, sin2θ =
¼
বা, sinθ =
±½
যেহেতু 0<θ<π/2, সুতরাং sinθ =
- ½ গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, sinθ =
½
বা, sinθ = sin π/6
বা, θ =
π/6
খ) 2sin2θ – 3cosθ = 0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ – 3cosθ = 0
বা, 2(1-cos2θ) – 3 cosθ = 0
বা, 2 – 2cos2θ – 3cosθ = 0
বা, -(2cos2θ+3cosθ-2) = 0
বা, 2cos2θ + 3cosθ -2 = 0
বা, 2cos2θ + 4cosθ – cosθ – 2 =0
বা, 2cosθ(cosθ+2) – 1(cosθ + 2) = 0
বা, (2cosθ – 1)(cosθ + 2) = 0
বা, 2cosθ – 1 = 0 অথবা, cosθ+2
= 0
বা, 2cosθ = 1 বা,
cosθ = - 2 [গ্রহণযোগ্য নয়]
বা, cosθ = ½
বা, cosθ = cosπ/3
বা, θ = π/3 যা
0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ = π/3
গ) 6sin2θ – 11sinθ+4=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
6sin2θ – 11sinθ+4=0
বা, 6sin2θ – 8sinθ – 3sinθ + 4 = 0
বা, 2sinθ(3sinθ – 4) – 1(3sinθ – 4) = 0
বা, (2sinθ – 1)(3sinθ – 4) = 0
বা, 2sinθ – 1 = 0 অথবা, 3sinθ –
4 = 0
বা, 2sinθ – 1 = 0 বা,
3sinθ – 4 =0
বা, 2sinθ =
1 বা,
3sinθ = 4
বা, sinθ= ½ বা, sinθ = 4/3 [গ্রহণযোগ্য নয়]
বা, sinθ = sin π/6
বা, θ =
π/6 যা
0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ = π/6
ঘ) tanθ+cotθ=4/√3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ+cotθ=4/√3
বা, tanθ+1/tanθ = 4/√3
tan2θ+1 4
বা, √3(tan2θ+1)=4tanθ
বা, √3tan2θ+√3=4tanθ
বা, √3tan2θ-4tanθ+√3=0
বা, √3tan2θ-3tanθ-tanθ+√3=0
বা, √3tanθ(tanθ-√3)-1(tanθ-√3)=0
বা, (√3tanθ-1)(tanθ-√3)=0
বা, √3tanθ-1=0 অথবা, tanθ-√3=0
বা, √3tanθ=1 বা,
tanθ=√3
বা, tanθ= 1/√3 বা, tanθ=tan π/3
বা, tanθ=tan π/6 বা,
θ =π/3
বা, θ= π/6
এখন, θ= π/6; θ= π/3
যা 0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ= π/6; π/3
ঙ) 2sin2θ+3cosθ=3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ+3cosθ=3
বা, 2(1-cos2θ)+3cosθ=3
বা, 2-2cos2θ+3cosθ-3=0
বা, -2cos2θ+3cosθ-1=0
বা, 2cos2θ-3cosθ+1=0
বা, 2cos2θ-2cosθ-cosθ+1=0
বা, 2cosθ(cosθ-1)-1(cosθ-1)=0
বা, (2cosθ-1)(cosθ-1)=0
বা, 2cosθ-1=0 অথবা, cosθ-1=0
বা, 2cosθ=1 বা, cosθ=1
বা, cosθ= ½ বা, cosθ=cos0
বা, cosθ=cos π/3 বা, θ=0
বা, θ=π/3
কিন্তু, 0<θ<π/2 শর্তমতে θ≠0
অতএব, θ=π/3
১৩. সমাধান করঃ (যখন 0< θ
< 2π)
ক) 2sin2θ+3cosθ=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ+3cosθ=0
বা, 2(1-cos2θ)+3cosθ=0
বা, 2-2cos2θ+3cosθ=0
বা, 2cos2θ-3cosθ-2=0
বা, 2cos2θ-4cosθ+cosθ-2=0
বা, 2cosθ(cosθ-2)+1(cosθ-2)=0
বা, (2cosθ+1)(cosθ-2)=0
বা, 2cosθ+1=0 অথবা, cosθ-2=0
বা, 2cosθ=-1 বা, cosθ=2 যা অসম্ভব।
বা, cosθ= - ½
বা, cosθ = - cos π/3
বা, cosθ = cos(π- π/3), cos(π+ π/3)
বা, cosθ = cos 2π/3, cos 4π/3
বা, θ=2π/3, 4π/3 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ=2π/3, 4π/3
খ)
4(cos2θ+sinθ)=5
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
4(cos2θ+sinθ)=5
বা, 4(1-sin2θ+sinθ)=5
বা, 4-4sin2θ+4sinθ=5
বা, 4-4sin2θ+4sinθ-5=0
বা, -4sin2θ+4sinθ-1=0
বা, 4sin2θ-4sinθ+1=0
বা, (2sinθ-1)2=0
বা, 2sinθ-1=0 [বর্গমূল করে]
বা, 2sinθ=1
বা, sinθ= ½
বা, sinθ= sin π/6, sin (π-π/6) [শর্তানুসারে]
বা, sinθ= sin π/6, sin
5π/6
বা, θ= π/6, 5π/6 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ= π/6, 5π/6
গ)
cot2θ+cosec2θ=3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cot2θ+cosec2θ=3
বা, cot2θ+1+cot2θ=3
বা, 2cot2θ=3-1
বা, 2cot2θ=2
বা, cot2θ=1
বা, cotθ=±1
এখন, cotθ=1 হলে
cotθ=cot π/4, cot(π+ π/4) [শর্তানুসারে]
বা, cotθ=cot π/4, cot5π/4
বা, θ=π/4, 5π/4 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, cotθ= -1 হলে
cotθ= - cot π/4
বা, cotθ=cot(π- π/4), cot(2π- π/6) [শর্তানুসারে]
বা, cotθ=cot 3π/4, cot7π/4
বা, θ= 3π/4, 7π/4 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ= π/4; 5π/4; 3π/4; 7π/4
ঘ) tan2θ+cot2θ=2
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tan2θ+cot2θ=2
বা, tan2θ.tan2θ+tan2θ.cot2θ= tan2θ.2 [tan2θ.cot2θ=1]
বা, tan4θ+1 = 2tan2θ
বা, tan4θ - 2tan2θ + 1 = 0
বা, (tan2θ – 1)2 = 0
বা, tan2θ – 1 =0
বা, tan2θ = 1
বা, tanθ = ±1
এখন, tanθ = 1 নিয়ে পাই,
tanθ = tan π/4, tan(π+π/4) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan π/4, tan5π/4
বা, θ = π/4, 5π/4 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, tanθ = -1 নিয়ে পাই,
tanθ = - tan π/4
বা, tanθ = tan (π-π/4), tan(2π-π/4) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan3π/4, tan7π/4
বা, θ = 3π/4, 7π/4 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ = π/4, 5π/4; 3π/4, 7π/4
ঙ) sec2θ+tan2θ=5/3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
sec2θ+tan2θ=5/3
বা, 3(sec2θ+tan2θ) = 5
বা, 3(1+tan2θ+tan2θ) = 5
বা, 3+6tan2θ – 5 = 0
বা, 6tan2θ = 2
বা, tan2θ = 1/3
বা, tanθ =
±1/√3
এখন, tanθ = 1/√3 নিয়ে পাই,
tanθ= tan π/6, tan(π+ π/6) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ= tan π/6, tan7π/6
বা, θ= π/6, 7π/6 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, tanθ = - 1/√3 নিয়ে
পাই,
বা, tanθ = - tan π/6
বা, tanθ = tan (π-π/6), tan(2π-π/6) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan5π/6, tan11π/6
বা, θ = 5π/6, 11π/6 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ = π/6, 5π/6; 7π/6, 11π/6
চ) 5cosec2θ-7cotθcosecθ-2=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
5cosec2θ-7cotθcosecθ-2=0
5
7cosθ
বা, 5 – 7cosθ – 2sin2θ =
0 [sin2θ দ্বারা গুণ করে]
বা, 5- 7cosθ – 2(1-cos2θ)
= 0
বা, 5- 7cosθ – 2 + 2cos2θ = 0
বা, 2cos2θ – 7cosθ + 3 = 0
বা, 2cos2θ – 6cosθ – cosθ + 3 = 0
বা, 2cosθ(cosθ-3) – 1(cosθ-3) = 0
বা, (2cosθ-1)(cosθ-3) = 0
বা, 2cosθ-1 = 0 অথবা, cosθ-3
= 0
বা, 2cosθ = 1 বা, cosθ = 3 [গ্রহণযোগ্য নয়*]
বা, cosθ = ½ [*cosθ এর
মান 1এর বেশী হয় না]
বা, cosθ = cos π/3; cos (2π - π/3) [শর্তানুসারে]
বা, cosθ =
cos π/3; cos 5π/3 যা 0< θ
< 2π শর্ত পূরণ করে।
বা, θ =
π/3;
5π/3
অতএব,
θ = π/3; 5π/3
ছ) 2sinxcosx=sinx
(0 ≤ x ≤ 2π)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sinx.cosx=sinx
বা, 4sin2x.cos2x =
sin2x [বর্গ করে]
বা, 4sin2x(1-sin2x)
= sin2x
বা, 4sin2x – 4sin4x
= sin2x
বা, -4sin4x + 3sin2x
= 0
বা, -sin2x(4sin2x-3)=0
বা, sin2x(4sin2x-3)=0
হয়, sin2x = 0
বা, sinx = 0
বা, sinx =sin0, sin(π-0), sin(2π-0)
বা, x = 0, π, 2π যা 0 ≤ x ≤ 2π শর্ত পূরণ করে।
অথবা,
4sin2x-3 = 0
বা, 4sin2x = 3
বা, sin2x = ¾
বা, sinx = ±√¾
বা, sinx = ± √3/2
বা, sinx = sin π/3; sin(π- π/3); sin(2π- π/3)
বা, sinx
= sin π/3; sin 2π/3; sin 5π/3
বা, x
= π/3;
2π/3; 5π/3 যা 0 ≤ x ≤ 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
x = 0, π, 2π, π/3; 2π/3; 5π/3
১৪. পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কিলোমিইটার। ঢাকা ও পঞ্চগড়
পৃথিবীর কেন্দ্রে 3.50 কোণ উৎপন্ন করে। শীতকালে একজন মানুষ পঞ্চগড়ের অপরূপ
নৈসর্গিক দৃশ্য দেখতে চায়। সে 0.84 মিটার
ব্যাস বিশিষ্ট চাকাওয়ালা একটি গাড়ী নিয়ে গেল।
ক) পৃথিবীর কেন্দ্রে
ঢাকা ও পঞ্চগড়ের থেকে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ কত রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধানঃ
ঢাকা ও পঞ্চগড়ের মধ্যবর্তী
কোণ
= 3.50
=(3.5✕ π/180)c
=0.0611c (প্রায়)
খ) ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের
দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ,
r=6440 কিমি
ক হতে পাই, θ = 0.0611c
ঢাকা ও পঞ্চগড়ের
মধ্যবর্তী দূরত্ব s হলে,
s=rθ=6440✕0.611=393.484
কিমি।
অতএব, ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের
দূরত্ব 393.484 কিমি.
গ) ঢাকা থেকে পঞ্চগড়
আসা যাওয়ার ক্ষেত্রে গাড়ীর প্রতিটি চাকা কতবার ঘুরবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাস
= 0.84 মি
অর্থাৎ ব্যাসার্ধ r = 0.84/2
মি =0.42 মি
তাহলে চাকার পরিধি = 2πr = 2✕3.1416✕0.42 মি = 2.64 মি (প্রায়)
আমরা জানি, চাকাটি তার পরিধির সমান পথ অতিক্রম
করতে 1 বার ঘুরে।
তাহলে, 393.484 কিমি বা 393484
মি. অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে
= 393484 ÷ 2.64 = 149046.9697 = 149047 বার (প্রায়)।
অতএব, ঢাকা ও পঞ্চগড় আসা এবং যাওয়ার ক্ষেত্রে
চাকা ঘুরবে 149047✕2 = 298094 বার।
১৫.
ক) চিত্রে ABC একটি
বৃত্তাকার চাকা এবং চাকাটির AB চাপের দৈর্ঘ্য 25সেমি হলে θ এর মান কত? চাকাটি 1 বার ঘুরে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম
করবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, চাকাটির AB চাপের
দৈর্ঘ্য s=25 সেমি।
চিত্র হতে চাকার ব্যাসার্ধ
r = 25 সেমি
কেন্দ্রস্থ কোণ = θ
আমরা জানি,
s = θr
বা, θ = s/r = 25/25
= 1 রেডিয়ান = 1✕180/π ডিগ্রি = 57.300
(প্রায়)
অতএব, θ =
57.300 (প্রায়)
আবার, আমরা জানি,
চাকাটির পরিধি =2πr = 2✕3.1416✕25 সেমি = 157.08 সেমি = 1.57
মিটার (প্রায়)।
অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব 1.57 মিটার (প্রায়)।
খ) ABC চাকাটি.
প্রতি সেকেন্ডে. 5 বার আবর্তিত হলে. চাকাটির গতিবেগ. ঘন্টায় কত হবে?
সমাধানঃ
ক হতে পাই, চাকাটি একবার
ঘুরে 1.57 মিটার পথ অতিক্রম করে।
অতএব, চাকাটি প্রতি ঘন্টায়
অতিক্রম করে
= 1.57✕5✕3600 মিটার পথ
= 28260 মিটার
= 28.26 কিমি
অতএব, চাকাটির গতিবেগ ঘন্টায়
28.26 কিমি।
গ) চিত্রে △BOD হতে sinθ এর মান
ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, tanθ+secθ=x
সমাধানঃ
চিত্র হতে,
sinθ=BD/BO
x2-1
এখন,
cos2
θ
= 1-sin2θ
(x2-1)2
(x2+1)2-(x2-1)2
4x2
অতএব,
2x
তাহলে,
tanθ+secθ
sinθ 1
sinθ+1
x2-1
x2-1 + x2+1
2x2
2x2 x2+1
= x
অতএব, tanθ+secθ=x (প্রমাণিত)
১৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের.
সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য. 7 সেমি. সবচেয়ে ছোট কোণের পরিমাণ 150 হলে. তার
অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
ত্রিভুজতির অতিভুজ AB=?
এখন, △ABC হতে পাই,
sin∠BAC = BC/AB
বা, sin150 =
7/AB
বা, AB = 7/sin150
বা, AB=10.764 সেমি (প্রায়)
অতএব, ত্রিভুজের অতিভুজের
দৈর্ঘ্য 10.764 সেমি (প্রায়)।
----সমাপ্ত----