অসমতার সমাধান সেট ও সংখ্যারেখা এবং লেখচিত্র : SSC Higher Math BD-Chapter 6.3 (1-9) Part 1

Admin

15 July

অসমতার সমাধান সেট ও সংখ্যারেখা এবং লেখচিত্র

১. 5x+5 > 25 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক) S={x ∈ R : x > 4}

খ) S={x ∈ R : x < 4}

গ) S={x ∈ R : x ≤ 4}

ঘ) S={x ∈ R : x ≥ 4}

উত্তরঃ ক

[5x+5 > 25 বা, 5x > 20 বা, x > 4]

২. x+y=-2 সমীকরণটিতে x এর কোন মানের জন্য y=0 হবে?

ক) 2 খ) 0 গ) 4 ঘ) -2

উত্তরঃ ঘ

[x+y=-2 বা, y=-2+x বা, x=-2 হলে y=0 হবে]

৩. 2xy+y=3 সমীকরণটির সঠিক স্থানাংক কোনগুলো?

ক) (1,-1), (2,-1) খ) (1,1), (-1,-3)

গ) (1,1), (-2,-1) ঘ) (-1,1), (2,-1)

উত্তরঃ গ

[1,1), (-2,-1) এর জন্য x=1,y=1 বা, x=-2,y=-1 বসালে মান 3 হয়]

নিন্মোক্ত অসমতাটি থেকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

x ≤ ^x/₄+3

৪. অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক) S={x ∈ R : x > 4}

খ) S={x ∈ R : x < 4}

গ) S={x ∈ R : x ≤ 4}

ঘ) S={x ∈ R : x ≥ 4}

উত্তরঃ গ

[x ≤ ^x/₄+3 বা, x-x/4 ≤ 3 বা, 4x-x ≤ 12 বা, 3x ≤ 12 বা, x ≤ 4]

৫. অসমতাটির সমাধান সেটের সংখ্যা রেখা কোনটি?

উত্তরঃ গ

৬. 3x+6 > 9 অসমতাটির

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii. খ) i. ও iii. গ) ii. ও iii. ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

৭. রিতা, মিতা ও বীথির বয়স যথাক্রমে x, 2x ও 3x বছর এবং তাদের তিন জনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধব 60 বছর হলে

(i) সমস্যাটির গাণিতিক প্রকাশ x+2x+3x ≤ 60

(ii) রিতার বয়স ≤ 10 বছর

(iii) মিতার বয়স > 20 বছর

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii. খ) i. ও iii. গ) ii. ও iii. ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

[x+2x+3x ≤ 60 বা, 6x ≤60 বা, x ≤ 10 বা, 2x ≤ 20 ]

৮. a, b ও c তিনটি বাস্তব সংখ্যা। a>b এবং c≠0 হলে

(i) a.c > b.c যখন c > 0

(ii) a.c < b.c যখন c < 0

(iii) ^a/_c > ^b/_c যখন c > 0

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii. খ) i. ও iii. গ) ii. ও iii. ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ঘ

[c>0, c=1, a=3, b=2 হলে ac>bc বা, 3 > 2 বা, ^a/_c > ^b/_cবা, 3 > 2

c<0, c=-1, a=3, b=2 হলে ac<bc বা, -3 < -2]

৯. নিচের প্রত্যেক অসমতার সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন করঃ

ক. x-y > -10

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x-y > -10

বা, x-y+10 > 0

এখন,

x-y+10 = 0

বা, y=x+10 সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-6	-2	0
y	4	8	10

∴ (x,y)=(-6,4), (-2,8), (0,10)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, x-y+10 > 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 10 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশে।

খ. 2x-y < 6

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2x-y < 6

বা, 2x-y-6 < 0

এখন,

2x-y-6 = 0

বা, y=2x-6 সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	6	4	2
y	6	2	-2

∴ (x,y)=(6,6), (4,2), (2,-2)

এখন, 2x-y-6 < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -6 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশে।

গ. 3x-y ≥ 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

3x-y ≥ 0

এখন,

3x-y=0

বা, y=3x সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	0	2	-2
y	0	6	-6

∴ (x,y)=(0,0), (2,6), (-2,-6)

এখন, 3x-y ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 = 0 এবং 3x-y ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (1,1) বসালে পাওয়া যায় 2 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে সে পাশের সকল বিন্দু এবং লেখরেখার উপরস্থ সকল বিন্দু।

ঘ. 3x-2y ≤12

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

3x-2y ≤12

বা, 3x-2y-12 ≤ 0

এখন,

3x-2y-12 = 0

বা, 2y=3x-12

3x-12

বা, y=----------- এর লেখ আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	0	4	8
y	6	0	6

∴ (x,y)=(0,6), (4,0), (8,6)

এখন, 3x-2y-12 ≤ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -12 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশের সকল বিন্দু এবং লেখচিত্রস্থ সকল বিন্দু।

ঙ. y < -2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, y < -2

এখন, y=-2 এর লেখচিত্র আঙ্কন করি।

ছক কাগজে বৃহত্তম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (0,-2) বিন্দু দিয়ে x-অক্ষের সমান্তরাল করে লেখ-রেখাটি অঙ্কন করা হলো।

এখন, y=0 হলে 0 > -2 যা y < -2 কে সিদ্ধ করে না। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

চ. x ≥ 4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x ≥ 4

এখন, x=4 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

ছক কাগজে বৃহত্তম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (4,0) বিন্দু দিয়ে y-অক্ষের সমান্তরাল করে লেখ-রেখাটি অঙ্কন করা হলো।

এখন, x=0 হলে 0 < 4 যা x ≥ -2 কে সিদ্ধ করে না। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু এবং লেখ-রেখাটির উপরস্থ সকল বিন্দু।

ছ. y > x+2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y > x+2

বা, y-x-2 > 0

এখন,

y-x-2 = 0

বা, y = x+2 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	0	2	4

∴ (x,y)=(-2,0), (0,2), (2,4)

এখন, y-x-2 > 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -2 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

জ. y < x+2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y < x+2

বা, y-x-2 < 0

এখন,

y-x-2 = 0

বা, y = x+2 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	0	2	4

∴ (x,y)=(-2,0), (0,2), (2,4)

এখন, y-x-2 < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -2 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সেই পাশের সকল বিন্দু।

ঝ. y ≥ 2x

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y ≥ 2x

বা, y-2x ≥ 0

এখন,

y-2x = 0

বা, y =2x সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	-4	0	4

∴ (x,y)=(-2,-4), (0,0), (2,4)

এখন, y-2x ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 = 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য কিন্তু (1,1) বসালে পাওয়া যায় -1 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু এবং লেখ-রেখার উপরস্থ সকল বিন্দু।

ঞ. x+3y < 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x+3y < 0

এখন,

x+3y = 0

বা, 3y = -x

বা, y=-^x/₃ সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	6	0	-6
y	-2	0	2

∴ (x,y)=(6,-2), (0,0), (-6,2)

এখন, x+3y < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (1,1) বসালে পাওয়া যায় 4 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

এই অনুশীলনীর বাকী অংশঃ

অসমতার সমাধান সেট ও সংখ্যারেখা এবং লেখচিত্র : SSC Higher Math BD-Chapter 6.3 (10-17) Part 2