JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১০.১ বৃত্ত
বৃত্ত: বৃত্তের জ্যা, চাপ, ব্যাস, পরিধি
১. প্রমাণ কর যে,
কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র
হবে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ AO=BO এবং CO=DO। প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুই বৃত্তের কেন্দ্র।
অঙ্কনঃ
A, D ও B, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
△BOC এবং △AOD-এ
AO=BO এবং CO=DO [AB ও
CD, O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত]
∠COB=∠AOD
[বিপ্রতীপ কোণ]
∴△BOC ≅ △AOD
অর্থাৎ, AO=OC; DO=OB
তাহলে, AO=OC=DO=OB
∴ বৃত্তের পরিধিস্থ A, B, C, D বিন্দুগুলো
O থেকে সমদূরে অবস্থিত।
সুতরাং O বিন্দুই বৃত্তের
কেন্দ্র।
২. প্রমাণ কর যে,
দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর
লম্ব।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট
বৃত্তের AB ও CD দুইটি সমান্তরাল জ্যা। AB ও CD এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। প্রমাণ
করতে হবে যে, P, Q এর সংযোজক সরলরেখা O বিন্দুগামী। অর্থাৎ P, O, Q একই সরলরেখায় অবস্থিত
প্রমাণ করাই যথেষ্ট হবে।
অঙ্কনঃ
O, A; O, B; O, P; O, C;
O, D; O, Q যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOP ও △BOP এর মধ্যে,
AO=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AP=BP [P, AB এর মধ্যবিন্দু]
∴ △AOP ≅ △BOP
তাহলে, ∠APO=∠BPO=এক
সমকোণ [রৈখিক যুগল কোণ বলে]
∴ OP⊥AB
অনুরুপভাবে, ∠CQO=∠DQO=এক
সমকোণ
∴ OQ⊥CD
এখন, AO=BO=CO=DO [বৃত্তের
কেন্দ্র থেকে পরিধিস্থ যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব সমান]
অর্থাৎ, P ও Q, O বিন্দুগামী
(প্রমাণিত)
৩. কোনো বৃত্তের
AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর
যে, AB=AC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট
বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ OA এর সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে
অর্থাৎ ∠BAO=∠CAO.
প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AC.
প্রমাণঃ
△AOB ও △AOC এর মধ্য
∠BAO=∠CAO
[শর্তানুসারে]
BO=CO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AO সাধারন বাহু।
∴ △AOB ≅ △AOC
তাহলে, AB=AC [প্রমাণিত]
৪. চিত্রে, O বৃত্তের
কেন্দ্র এবং জ্যা AB=জ্যা AC. প্রমাণ কর যে, ∠BAO=∠CAO.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, O বৃত্তের কেন্দ্র
এবং জ্যা AB=জ্যা AC. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO=∠CAO.
অঙ্কনঃ
O, B ও O, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOB ও △AOC এর মধ্য
AB=AC [শর্তানুসারে]
OC=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AO সাধারণ বাহু।
∴ △AOB ≅ △AOC
তাহলে, ∠BAO=∠CAO
[প্রমাণিত]
৫. কোনো বৃত্ত একটি
সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, বৃত্তটি ABC সমকোণী
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C দিয়ে যায়। ত্রিভুজটির অতিভুজ AC এবং এর মধ্যবিন্দু
O. প্রমাণ করতে হবে যে O বৃত্তটির কেন্দ্র।
অঙ্কনঃ
O, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ
কোণ এক সমকোণ।
এখন, বৃত্তটি ABC সমকোণী
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C দিয়ে যায় এবং ∠ABC=এক
সমকোণ।
তাহলে, AC বৃত্তের ব্যাস।
এবং AC এর মধ্যবিন্দু O.
অর্থাৎ AO=CO যেখানে A, C বৃত্তের পরিধিস্থ
বিন্দু।
∴ O বৃত্তটির কেন্দ্র (দেখানো হলো)
৬. দুইটি সমকেন্দ্রিক
বৃত্তের একটির AB জ্যা অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC=BD.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট
দুইটি বৃত্ত ABH ও CDR। ABH বৃত্তের একটি জ্যা AB, CDR বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ
করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC=BD.
অঙ্কনঃ
O থেকে AB এর উপর OP লম্ব
আঁকি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র
থেকে ব্যাস ভিন্ন জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
এখন, OP⊥CD [অঙ্কন অনুসারে]
∴CP=DP……(i)
আবার, OP⊥AB [অঙ্কন অনুসারে]
∴ AP=BP
বা, AC+CP=DP+BD
বা, AC+CP=CP+BD [(i) নং
হতে]
বা, AC=BD [প্রমাণিত]
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের
pdf download লিঙ্ক
দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।