SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.১ বৃত্তঃ জ্যা, ব্যাসার্ধ, সমবৃত্ত (8-12) Part 2

বৃত্তঃ জ্যা, ব্যাসার্ধ, সমবৃত্ত:

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.১ বৃত্তঃ জ্যা, ব্যাসার্ধ, সমবৃত্ত (1-7) Part 1

৮. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ=x সেমি এবং OR⊥PR

ক) ∠QOS কোণের পরিমান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ∠OQR=30⁰
যেহেতু, OP=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴∠OQP=30⁰=∠OPQ
তাহলে, বহিঃস্থ ∠QOS=অন্তঃস্থ ∠OQP+অন্তঃস্থ ∠OPQ
                                =30⁰+30⁰=60⁰
∴∠QOS=60⁰

খ) প্রমাণ কর যে, PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা AB নেই। প্রমাণ করতে হবে যে, PS>AB.
অঙ্কনঃ
O, A; O, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
ABSP বৃত্তে,
OP=OS=OB=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
△AOB এ
OA+OB>AB
বা,  OP+OS>AB
বা,  PS>AB
∴ PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (প্রমাণিত)

গ) OR=(x/2-2) সেমি হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, PQ=x সেমি, OR⊥PR এবং OR=(x/2-2)
এখন,
OP=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
PR=QR=x/2 সেমি এবং ∠OQR=30⁰

এখন,
tan∠OQP			OR = ----     QR
বা,	tan300		x    --  - 2    2 =------     x     --     2
বা,	1 -- √3	=	x --  - 2 2 ------    x    --    2
বা,	1 -- √3	=	x-4 --  2	✕	2 -- x
বা,	√3x-4√3=x
বা,	√3x-x=4√3
বা,	x(√3-1)=4√3
বা,	x	=	4√3 ------ (√3-1)
বা,	x	=	4√3(√3+1) ------------- (√3)2-12
বা,	x	=	4√3(√3+1) -------------       3-1
বা,	x	=	4√3(√3+1) -------------       2
বা,	x	=	2√3(√3+1)
বা,	x	=	6+2√3

৯. প্রমাণ কর যে, দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তাঁর একই পাশে অপর দুই বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, A ও B দুইটি ভিন্ন বিন্দু এবং AB রেখাংশের একই পাশে অবস্থিত C ও D বিন্দুতে উৎপন্ন ∠ACB ও ∠ADB  সমান। প্রমাণ করতে হবে যে, A, B, C, D সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ
A, B, C বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি। মনে করি, বৃত্তটি AD রেখাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে। E, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, A, B, E, C বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
∴∠ACB=∠AEB [বৃত্তের একই চাপের ওপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ পরস্পর সমান]
কিন্তু ∴∠ACB=∠ADB [দেওয়া আছে]
∴∠AEB=∠ADB
কিন্তু তা অসম্ভব। কারন,
চিত্র ১ এ, △BED এর বহিঃস্থ ∠AEB > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠ADB
এবং চিত্র ২ এ, △BED এর বহিঃস্থ ∠ADB > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠AEB
সুতরাং E এবং D বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না; E বিন্দু অবশ্যই D বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব, A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)

১০. প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABEFDC বৃত্তের কেন্দ্র O. AB, CD ও EF বৃত্তের সমান সমান তিনটি জ্যা যাদের মধ্যবিন্দুগুলো হলো M, N, P. প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, P সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ

O, M; O, N; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
M, AB এর মধ্যবিন্দু
তাহলে, OM হলো AB এর লম্ব দূরত্ব বা O থেকে AB এর দূরত্ব OM.
তাহলে,
O থেকে CD এর দূরত্ব ON.
O থেকে EF এর দূরত্ব OP.
এখন, সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
জ্যা AB=জ্যা CD=জ্যা EF [দেওয়া আছে]
∴OM=ON=OP
অতএব, M, N, P সমবৃত্ত।
সুতরাং জ্যাগুলোর মধ্যবিন্দু কেন্দ্র হতে সমান দূরে অবস্থিত (প্রমাণিত)।

১১. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তাঁর বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, AEBF বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ব্যাস এর A ও B প্রান্ত হতে বিপরীত দিকে অঙ্কিত জ্যা AE ও BF পরস্পর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, AE=FB.

অঙ্কনঃ

 A, F; B, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
AB বৃত্তের ব্যাস
∴∠BFA=এক সমকোণ এবং ∠BEA=এক সমকোণ [কোণদ্বয় অর্ধবৃত্তস্থ বলে]
△ABF ও △ABE এর মধ্যে
∠BFA=∠BEA
∠ABF=∠BAE [FB।।AE এবং AB তাদের ছেদক]
AB সাধারণ বাহু।
∴△ABF ≅ △ABE
অতএব, FB=AE (প্রমাণিত)

১২. প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে এদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ADBC বৃত্তে দুইটি জ্যা AB ও DC পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ AE=EB এবং DE=EC. প্রমাণ করতে হবে যে, E বৃত্তটির কেন্দ্র।

অঙ্কণঃ

মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O; O, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু E; তাহলে OE, AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।
∴∠OEA=90⁰
আবার, জ্যা DC এর মধ্যবিন্দু E; তাহলে OE, DC এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।
∴∠OEC=90⁰
যেহেতু, AB ও CD পরস্পরছেদী সরলরেখা সেহেতু ∠OEA ও ∠OEC উভয়ই এক সমকো হতে পারে না। সুতরাং E ব্যাতিত অন্য কোন বিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হতে পারে না।
∴E বিন্দুটি ACBD বৃত্তের কেন্দ্র (প্রমাণিত)।

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।