SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২.২ প্রতিস্থাপন-অপনয়ন ও আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান

ssc math solutions, class 9-10 math solution bd, ssc, download pdf ssc/nine ten, নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত, Chapter-12.2, প্রতিস্থাপন-অপনয়ন ও আড়্গুণন

প্রতিস্থাপন-অপনয়ন ও আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান:

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-৩):

১.

7x-3y=31
9x-5y=41

সমাধানঃ

7x-3y=31………..(i)

9x-5y=41………..(ii)

(i) নং হতে,

7x=31+3y

            31+3y

বা, x=------------- ……(iii)
              7

x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

9(31+3y)

------------- - 5y = 41
      7

       279+27y

বা, -------------- - 5y = 41
           7

       279+27y-35y

বা, -------------------- = 41
           7

বা, 279-8y=287

বা, -8y=287-279

বা, -8y=8

বা, y=8/-8

বা, y=-1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

       31+3(-1)

 x=--------------
           7

    31-3

=---------
     7

    28

=-------
     7

=4

নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)

 

২.

x

--
2

 

+

y

--
3

 

=

 

1

 

 

x

--
3

 

+

y

--
2

 

=

 

1

 

সমাধানঃ

 

 

x

--
2

 

+

y

--
3

 

=

 

1

 

….(i)

 

x

--
3

 

+

y

--
2

 

=

 

1

 

…..(ii)

(i) নং হতে পাই,

 

x

--
2

 

+

y

--
3

 

=

 

1

 


বা,

3x+2y

----------
6

 

=

 

1

 

বা,

3x+2y = 6

 বা,

3x = 6-2y


বা,


x


=

6-2y

-------
3


….(iii)

x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

,

6-2y

-------
3
------
3


+

y

--
2


= 1


বা,

6-2y

-------
9


+

y

--
2


= 1


বা,

 2(6-2y)+9y

-------------
18


=


1

বা,

12-4y+9y

=

18

বা,

12+5y

=

18

বা,

5y

=

18-12

বা,

5y

=

6

 

 


বা,


y


=

6

--
5

 

 

 

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

 


x


=

6-2.(6/5)

----------
3

 

 

 


=

6-(12/5)

----------
3

 

 

 



=

30-12

-------
5
-----
3

 

 

 



=

18

-----
5
----
3

 

 

 


=

18

----
15

 

 

 


=

6

---
5

 

নির্ণেয় সমাধানঃ

 

(x,y)

=

(6/5, 6/5)

৩.

x/a+y/b=2
ax+by=a2+b2

সমাধানঃ

x/a+y/b=2…………(i)

ax+by=a2+b2……….(ii)

 (i) নং হতে,

 

 

x

--
a


+

y

--
b


=


2

 


বা,

 

x

--
a


=


2


-

y

--
b

 


বা,

x

--
a


=

2b-y

--------
b

 


বা,


x


=

a(2b-y)

----------
b

 


বা,


x


=

2ab-ay

----------
b


….(iii)

x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই

 

   2ab-ay

a---------
b


+


by

 

 

 

 

 

=

a2

+  b2


বা,

  2a2b-a2y

---------
b


+


by

 

 

 

 

 

=

a2

+  b2


বা,

2a2b-a2y+b2y

---------------
b


=


a2+b2

বা,

2a2b-a2y+b2y= a2b+b3

বা,

-a2y+b2y= a2b+b3-2a2b

বা,

-a2y+b2y= b3-a2b

বা,

y(b2-a2)=b(b2-a2)

 

বা,

y=b

 

 

 

 

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

 


x


=

2ab-ab

----------
b

 


বা


x


=

ab

--
b

 

 

 

বা

x

=

a

 

 

 

নির্ণেয় সমাধানঃ

(x,y)=(a,b)

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৪-৬):

৪.

7x-3y=31
9x-5y=41

সমাধানঃ

7x-3y=31………(i)

9x-5y=41……….(ii)

(i) নং কে 5 দ্বারা ও (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

35x-15y=155

27x-15y=123

--------------------
(-) করে, 8x=32

বা, x=32/8

বা, x=4

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

74-3y=31

বা, 28-3y=31

বা, -3y=31-28

বা, -3y=3

বা, y=3/-3

বা, y=-1

নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)

৫.

7x-8y=-9
5x-4y=-3

সমাধানঃ

7x-8y=-9……….(i)

5x-4y=-3………..(ii)

(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) কে 8 দ্বারা গুণ করে পাই,

28x-32y=-36

40x-32y=-24

----------------------
(-) করে, -12x=-12

বা, 12x=12

বা, x=12/12

বা, x=1

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

7x-8y=-9

বা, 71-8y=-9

বা, 7-8y=-9

বা, -8y=-9-7

বা, -8y=-16

বা, 8y=16

বা, y=16/8

বা, y=2

নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(1,2)

৬.

ax+by=c
ax+by=a2+b2

সমাধানঃ

ax+by=c

বা, abx+b2y=bc……(i) [b দ্বারা গুণ করে]

এবং

a2x+b2y=c2………(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

abx-a2x=bc-c2

বা, ax(b-a)=c(b-c)

              c(b-c)

বা, ax= -----------
              b-a

             c(b-c)

বা, x= ------------
             a(b-a)

এখন (i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে,

        c(b-c)

a ----------- +by = c
        a(b-a)

       c(b-c)

বা, ----------- +by = c
       (b-a)

                 c(b-c)

বা, by=c- -----------
                  b-a

               c(b-a)-c(b-c)

বা, by= ------------------
                   b-a

               c(b-a-b+c)

বা, by= -----------------
                   b-a

                c(c-a)

বা, by= ------------
                  b-a

             c(c-a)

বা, y= ------------
             b( b-a)

নির্ণেয় সমাধানঃ

            c(b-c)     c(c-a)

 (x,y)=(---------,------------)
             a(b-a)    b( b-a)

আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৭-১৫):

৭.

2x+3y+5=0
4x+7y+6=0

সমাধানঃ

2x+3y+5=0………..(i)

4x+7y+6=0………..(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

 

x

-----------
36-75


=

y

----------
54-62

 

 


=

1

----------
27-43


বা,

   x               y             1

--------=---------=---------
18-35       20-12      14-12


বা,

x

--
-17


=

y

--
8


=

1

--
2


বা,

x

--
-17


=

1

--
2

 

 

বা,

2x

=

-17

 

 


বা,


x


=

-17

--
2

 

 

এবং

 

 

 

 


বা,

y

--
8


=

1

--
2

 

 

বা,

2y

=

8

 

 


বা,


y


=

8

--
2

 

 

বা,

y

=

4

 

 

(x,y)=(-17/2, 4)

৮.

3x-5y+9=0
5x-3y-1=0

সমাধানঃ

3x-5y+9=0………(i)

5x-3y-1=0………….(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                  y

-------------------- = ------------------
(-5)(-1)-(3)9           59-(-1)3

                                      1

                            =-------------------
                                3(-3)-5(-5)

       x                y                1

বা, -------- = --------- = ---------
      5+27        45+3         -9+25

       x          y             1

বা, ----- = ------ = -------
      32         48          16

       x                1

বা,-------- = ---------
       32             16

বা, 16x=32

বা, x=32/16

বা, x=2

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  48             16

বা, 16y=48

বা, y=48/16

বা, y=3

  (x,y)=(2,3)

৯.

x+2y=7
2x-3y=0

সমাধানঃ

x+2y=7…………(i)

2x-3y=0…………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

x+2y-7=0

2x-3y-0=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                  y

-------------------- = ------------------
20-(-3)(-7)            2(-7)-10

                                      1

                            =-------------------
                                 1(-3)-22

       x                y                1

বা, -------- = --------- = ---------
      0-21         -14-0         -3-4

       x          y             1

বা, ----- = ------ = -------
      -21        -14         -7

        x                1

বা,-------- = ---------
       -21            -7

বা, -7x=-21

বা, x=21/7

বা, x=3

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  -14            -7

বা, -7y=-14

বা, y=-14/-7

বা, y=2

  (x,y)=(3,2)

১০.

4x+3y=-12
2x=5

সমাধানঃ

4x+3y=-12…….(i)

2x=5………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

4x+3y+12=0

2x+0y-5=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                  y

-------------------- = --------------------
 3(-5)-012            122-4✕(-5)

                                      1

                            =-------------------
                                  40-23

        x                y                1

বা, -------- = --------- = ---------
       15-0         24+20         0-6

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
      -15         44         -6

        x                1

বা,-------- = ---------
       -15           -6

বা, -6x=-15

বা, x=-15/-6

বা, x=5/3

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  44            -6

বা, -6y=44

বা, y=44/-6

বা, y=-22/3

  (x,y)=(5/2,-22/3)

১১.

-7x+8y=9
5x-4y=-3

সমাধানঃ

-7x+8y=9…….(i)

5x-4y=-3………(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

-7x+8y-9=0

5x-4y+3=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                  y

-------------------- = --------------------
 83-(-4)(-9)         (-9)5-3✕(-7)

                                      1

                            =-------------------
                               (-7)(-4)-58

        x                y                1

বা, -------- = --------- = ---------
     24-36       -45+21      28-40

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
     -12       -24         -12

        x                1

বা,-------- = ---------
      -12           -12

বা, -12x=-12

বা, x=-12/-12

বা, x=1

এবং,

   y               1

-------- = ---------
 -24           -12

বা, -12y=-24

বা, y=-24/-12

বা, y=-2

  (x,y)=(1,2)

১২.

3x-y-7=0
2x+y-3=0

সমাধানঃ

3x-y-7=0…..(i)

2x+y-3=0…..(ii)

সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                       y

----------------------- = --------------------
 (-1)✕(-3)-1(-7)        (-7)2-3✕(-3)

                                      1

                            =-------------------
                                31-2(-1)

        x                y                1

বা, -------- = --------- = ---------
       3+7         -14+9         3+2

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
      10         -5           5

        x                1

বা,-------- = ---------
       10             5

বা, 5x=10

বা, x=10/5

বা, x=2

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  -5             5

বা, 5y=-5

বা, y=-5/5

বা, y=-1

  (x,y)=(2,-1)

১৩.

ax+by=a2+b2
2bx-ay=ab

সমাধানঃ

ax+by=a2+b2……(i)

2bx-ay=ab……….(ii)

সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,

ax+by-(a2+b2)=0

2bx-ay-ab=0

এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

          x

-----------------------------
b(-ab)-(-a){-( a2+b2)

                y

       =-----------------------------
          - (a2+b2)2b-(-ab)a

             1

      =-----------------
          -aa-2bb

              x                              y

বা, ------------------ = --------------------
       -ab2-a3-ab2           -2a2b-2b3+a2b

                                      1

                            =--------------
                                  -a2-2b2

        x                         y                    1

বা, ------------- = ------------- = -----------
       -a3-2ab2         -a2b-2b3           -a2-2b2

        x                         y                      1

বা, ------------- = --------------- = -----------
       -a(a2+2b2)     -b(a2+2b2)       -a2-2b2

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
        a           b            1

        x                1

বা,-------- = ---------
        a              1

বা, 5x=10

বা, x=a

এবং,

   y               1

-------- = ---------
   b               1

বা, y=b

  (x,y)=(a,b)

১৪.

y(3+x)=x(6+y)
3(3+x)=5(y-1)

সমাধানঃ

y(3+x)=x(6+y)………..(i)

3(3+x)=5(y-1)………….(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

3y+xy=6x+xy

বা, 6x+xy-3y-xy=0

বা, 6x-3y+0=0………….(iii)

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

9+3x=5y-5

বা, 3x-5y+9+5=0

বা, 3x-5y+14=0……….(iv)

(iii), (iv) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

       x                                       y

----------------------- = --------------------
 (-3)14-(-5)0              30-614

                                      1

                            =-----------------------
                                  6(-5)-3(-3)

        x                y                1

বা, -------- = --------- = ----------
       -42          -84             -30+9

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
      -42        -84          -21

        x                1

বা,-------- = ---------

       -42             -21

বা, -21x=-42

বা, x=-42/-21

বা, x=2

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  -84            -21

বা, -21y=-84

বা, y=-84/-21

বা, y=4

  (x,y)=(2,4)

১৫.

(x+2)(y-3)=y(x-1)
5x-11y-8=0

সমাধানঃ

(x+2)(y-3)=y(x-1)…..(i)

5x-11y-8=0……….(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

(x+2)(y-3)=y(x-1)

বা, xy+2y-3x-6=xy-y

বা, xy+2y-3x-6-xy+y=0

বা, 3x-3y+6=0

বা, x-y+2=0……….(iii)

(ii), (iii) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

     x              y                1

 -------- = --------- = ----------
 -22-8      -8-10         -5+11

        x           y             1

বা, ------ = ------ = -------
      -30        -18           6

        x                1

বা,-------- = ---------
       -30             6

বা, 6x=-30

বা, x=-30/6

বা, x=-5

এবং,

   y               1

-------- = ---------
  -18             6

বা, 6y=-18

বা, 6y=-18/6

বা, y=-3

  (x,y)=(-5,-3)

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।

Make CommentWrite Comment