PSC/Class 5 Math BD-অধ্যায় ৫ঃ পঞ্চম শ্রেণি-গুণিতক এবং গুণনীয়ক

গুণিতক এবং গুণনীয়ক

৫.১ গুণিতক

১. (১) নিচের ১ম সংখ্যার সারি থেকে ৪ এর গুণিতকগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

    (২) নিচের ২য় সংখ্যার সারি থেকে ৬ এর গুণিতকগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

৪ এর গুণিতক
১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ ১০ ১১ ১২ ১৩ ১৪ ১৫ ১৬ ১৭ ১৮ ১৯ ২০ ২১ ২২ ২৩ ২৪ ২৫
৬ এর গুণিতক
১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ ১০ ১১ ১২ ১৩ ১৪ ১৫ ১৬ ১৭ ১৮ ১৯ ২০ ২১ ২২ ২৩ ২৪ ২৫

সমাধানঃ

(১) ১ম সারি থেকে ৪ এর গুণিতকগুলো ও (২) ২য় সংখ্যার সারি থেকে ৬ এর গুণিতকগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করে দেখানো হলোঃ

১. নিচের সংখ্যাগুলোর ১০টি করে গুণিতক লেখঃ
    (১) ৫  (২) ৭  (৩) ৮  (৪) ৯

সমাধানঃ

(১)

৫ এর ১০টি গুণিতক নির্ণয় করা হলোঃ
৫x১=৫;            ৫x৬=৩০;
৫x২=১০;         ৫x৭=৩৫;
৫x৩=১৫;         ৫x৮=৪০;
৫x৪=২০;         ৫x৯=৪৫;
৫x৫=২৫;        ৫x১০=৫০।
∴৫ এর ১০টি গুণিতকঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৩৫,৪০,৪৫,৫০।

(২)

৭ এর ১০টি গুণিতক নির্ণয় করা হলোঃ
৭x১=৭;             ৭x৬=৪২;
৭x২=১৪;          ৭x৭=৪৯;
৭x৩=২১;         ৭x৮=৫৬;
৭x৪=২৮;         ৭x৯=৬৩;
৭x৫=৩৫;        ৭x১০=৭০।

∴৭ এর ১০টি গুণিতকঃ ৭,১৪,২১,২৮,৩৫,৪২,৪৯,৫৬,৬৩,৭০।

(৩)

৮ এর ১০টি গুণিতক নির্ণয় করা হলোঃ
৮x১=৮;            ৮x৬=৪৮;
৮x২=১৬;         ৮x৭=৫৬;
৮x৩=২৪;         ৮x৮=৬৪;
৮x৪=৩২;         ৮x৯=৭২;
৮x৫=৪০;         ৮x১০=৮০।
∴৮ এর ১০টি গুণিতকঃ ৮,১৬,২৪,৩২,৪০,৪৮,৫৬,৬৪,৭২,৮০।

(৪)

৯ এর ১০টি গুণিতক নির্ণয় করা হলোঃ
৯x১=৯;            ৯x৬=৫৪;
৯x২=১৮;         ৯x৭=৬৩;
৯x৩=২৭;         ৯x৮=৭২;
৯x৪=৩৬;        ৯x৯=৮১;
৯x৫=৪৫;         ৯x১০=৯০।
∴৯ এর ১০টি গুণিতকঃ ৯,১৮,২৭,৩৬,৪৫,৫৪,৬৩,৭২,৮১,৯০।

৫.২ লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (লসাগু)

১. আগের পৃষ্ঠার সংখ্যা সারির দিকে তাকাই, এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিই।

    (১) ৪ এবং ৫ এর ৩টি সাধারণ গুণিতক লিখি

    (২) ৪ এবং ৫ এর লসাগু লিখি

সমাধানঃ

(১)

৪ এবং ৫ এর সাধারণ গুণিতক যথাক্রমে ২০,৪০ এবং ৬০।

(২)

৪ এবং ৫ এর সাধারণ গুণিতক যথাক্রমে ২০,৪০ এবং ৬০। এবং সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ২০। সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু বলে।
সুতরাং, ৪ ও ৫ এর লসাগু ২০।

১. ৩০ পর্যন্ত ২ এবং ৩ এর গুণিতকগুলো লেখঃ

     (১) ২ এবং ৩ এর ৫টি সাধারণ গুণিতক নির্ণয় কর।

     (২) ২ এবং ৩ এর লসাগু নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

৩০ পর্যন্ত,
২ এর গুণিতকগুলো হলোঃ ২,৪,৬,৮,১০,১২,১৪,১৬,১৮,২০,২২,২৪,২৬,২৮,৩০।
৩ এর গুণিতকগুলো হলোঃ ৩,৬,৯,১২,১৫,১৮,২১,২৭,৩০।
(১) ২ ও ৩ এর ৫টি সাধারণ গুণিতক যথাক্রমে ৬,১২,১৮,২৪,৩০
(২) সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু বলে। অতএব, ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্য ছোট সংখ্যা ৬।
সুতরাং, লসাগু ৬।

২. লসাগু নির্ণয় করঃ

   (১) ৪ এবং ৫  (২) ৬ এবং ৯  (৩) ৩ এবং ৬

সমাধানঃ

(১) ৪ এবং ৫ 
৪ এর গুণিতকঃ ৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,…………….
৫ এর গুণিতকঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৩৫,৪০,৪৫,৫০,………….
৪ এবং ৫ এর সাধারণ গুণিতকঃ ২০,৪০,……………
সুতরাং, ৪ ও ৫ এর লসাগু ২০।

(২) ৬ এবং ৯ 

৬ এর গুণিতকঃ ৬,১২,১৮,২৪,৩০,৩৬,৪২,৪৮,৫৪,৬০,………..
৯ এর গুণিতকঃ ৯,১৮,২৭,৩৬,৪৫,৫৪,৬৩,৭২,৮১,৯০,…………
৬ ও ৯ এর সাধারণ গুণিতকঃ ১৮,৩৬,৫৪…………..
সুতরাং, লসাগু ১৮

(৩) ৩ এবং ৬

৩ এর গুণিতকঃ ৩,৬,৯,১২,১৫,১৮,২১,২৪,২৭,৩০,………….
৬ এর গুণিতকঃ ৬,১২,১৮,২৪,৩০,……………..
৩ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৬,১২,১৮,২৪,৩০,…….
সুতরাং, লসাগুঃ ৬।

২. সাধারণ গুণিতক এবং লসাগু এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

সমাধানঃ

যে সংখ্যাগুলো দুই বা ততোধিক সংখ্যার প্ত্যেকের গুণিতকের মধ্যে থাকে তাদেরকে ঐ সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতক বলে এবং সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাকে লসাগু বলে।

৩. ৪,৬ এবং ৯ এর লসাগু কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা আলোচনা করি।

সমাধানঃ

৪ এর গুণিতকঃ ৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,৪৪,৪৮,৫২,৫৬,৬০,৬৪,৬৮,৭২,…….
৬ এর গুণিতকঃ ৬,১২,১৮,২৪,৩০,৩৬,৪২,৪৮,৫৪,৬০,৬৬,৭২,…….
৯ এর গুণিতকঃ ৯,১৮,২৭,৩৬,৪৫,৫৪,৬৩,৭২,৮১,৯০,……..
৪,৬ এবং ৯ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৩৬,৭২,……………এবং ছোট সংখ্যাঃ ৩৬
সুতরাং, লসাগু ৩৬।

৩. লসাগু নির্ণয় করঃ

   (১) ২,৩,৪  (২) ৩,৪,৫  (৩) ২,৪,৮

সমাধানঃ

(১) ২,৩,৪

২ এর গুণিতকঃ ২,৪,৬,৮,১০,১২,১৪,১৬,১৮,২০,২২,২৪,……….
৩ এর গুণিতকঃ ৩,৬,৯,১২,১৫,১৮,২১,২৪,২৭,৩০,………….
৪ এর গুণিতকঃ ৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,……………..
২,৩,৪ এর সাধারণ গুণিতকঃ ১২,২৪,……
সুতরাং ২,৩,৪ এর লসাগু ১২। 

(২) ৩,৪,৫ 

৩ এর গুণিতকঃ ৩,৬,৯,১২,১৫,১৮,২১,২৪,২৭,৩০,৩৬,৩৯,৪২,৪৫,৪৮,৫১,৫৪,৫৭,৬০,৬৩,৬৬,৬৯,৭২,৭৫,৭৮,৮১,৮৪,৮৭,৯০,৯৩,৯৬,৯৯,১০২,১০৫,১০৮,১১১,১১৪,১১৭,১২০,…………
৪ এর গুণিতিকঃ ৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,৪৪,৪৮,৫২,৫৬,৬০,৬৪,৬৮,৭২,৭৬,৮০,৮৪,৮৮,৯২,৯৬,১০০,১০৪,১০৮,১১২,১১৬,১২০,……………
৫ এর গুণিতকঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৩৫,৪০,৪৫,৫০,৫৫,৬০,৬৫,৭০,৭৫,৮০,৮৫,৯০,৯৫,১০০,১০৫,১১০,১১৫,১২০,…..
৩,৪,৫ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৬০,১২০,……………
সুতরাং, ৩,৪,৫ এর লাসগুঃ ৬০

(৩) ২,৪,৮

২ এর গুণিতকঃ ২,৪,৬,৮,১০,১২,১৪,১৬,১৮,২০,……….
৪ এর গুণিতকঃ ৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,………
৮ এর গুণিতকঃ ৮,১৬,২৪,৩২,৪০,৪৮,৫৬,৬৪,৭২,৮০,……….
২,৪,৮ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৮,১৬,………..
২,৪,৮ এর লসাগু ৮।

৫.৩ লসাগু এর ব্যবহার

৩. কিছু টাইলস আছে যার প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি এবং প্রস্থ ৬ সেমি। আমরা টাইলসগুলো মেঝেতে বসিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র বানাতে চাই। সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

আমরা টাইলসগুলো যখন বসাই তখন দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ কীভাবে পরিবর্তীত হয় তা পর্যবেক্ষন করি।

টাইলস এর সংখ্যা	১	২৫	৩	৪	৫	৬	৭	৮
দৈর্ঘ্য (সেমি)	৮	১৬	২৪	৩২
প্রস্থ (সেমি)	৬	১২	১৮	২৪

সমাধানঃ
আমরা টাইলসগুলো বসাই তখন দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ কীভাবে পরিবর্তন হয় তা পর্যবেক্ষন করি।

টাইলস এর সংখ্যা	১	২৫	৩	৪	৫	৬	৭	৮
দৈর্ঘ্য (সেমি)	৮	১৬	২৪	৩২	৪০	৪৮	৫৬	৬৪
প্রস্থ (সেমি)	৬	১২	১৮	২৪	৩০	৩৬	৪৫	৪৮

৮ ও ৬ এর লসাগু হবে সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য।
উপরের ছক হতে পাই, ৮ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতক ২৪,৪৮,………….
সুতরাং, এদের লসাগু ২৪
অতএব, সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি.

১. উপরের প্রশ্নে-

  (১) সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্র বানানোর জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন?
  (২) আকারের দিক থেকে দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষজেত্র বানানোর জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন?

সমাধানঃ

(১)

টাইলসের ক্ষেত্রফল ৮x৬ বর্গসেমি=৪৮ বর্গসেমি
সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪x২৪ বর্গসেমি=৫৭৬ বর্গসেমি
∴টাইলস প্রয়োজনঃ (৫৭৬÷৪৮) টি=১২টি

(২)

আকারের দিক থেকে দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য=২x২৪ সেমি=৪৮ সেমি
∴টাইলসের ক্ষেত্রফলঃ (৪৮x৪৮) বর্গসেমি=২৩০৪ বর্গসেমি
তখন টাইলস লাগবেঃ (২৩০৪÷৪৮)টি=৪৮ টি।

২. ২টি ঘন্টা আছে। একটি ১২ মিনিট পরপর এবং অপরটি ৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি ঘন্টা দুটি একসাথে বিকাল ৩টার সময় বাজে, পরবর্তিতে কখন পুনরায় একসাথে বাজবে?

সমাধানঃ

১২ ও ৫ এর লসাগুই হবে ঘন্টা দুটি একসাথে বাজার ন্যূনতম সময়।
১২ এর গুণিতকঃ ১২,২৪,৩৬,৪৮,৬০,৭২,৮৪,৯৬,১০৮,১২০,……
৫ এর গুণিতকঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৩৫,৪০,৪৫,৫০,৫৫,৬০,৬৫,৭০,৭৫,৮০,৮৫,৯০,৯৫,১০০,১০৫,১১০,১১৫,১২০,……….
১২ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৬০,১২০,……….
অতএব, লসাগুঃ ৬০
∴ঘন্টা দুটি ৬০ মিনিট বা ১ ঘন্টা পরপর একসাথে বাজবে।
ঘণ্টা দুটি প্রথম একসাথে বাজে ৩ টায়
∴পুনরায় একসাথে বাজবে (৩+১) টায়=৪টায়।

৩. একটি বাস স্টেশন থেকে ক কোম্পানির বাস ১৫ মিনিট পরপর এবং খ কোম্পানির বাস ২৫ মিনিট পরপর  ছাড়ে। যদি সকাল ৮ঃ৪৫ এ দুইটি কোম্পানির বাস একসাথে ছাড়ে, পর্বর্তীতে কখন পুনরায় একসাথে ছাড়বে?

সমাধানঃ

১৫ এবং ২৫ এর লসাগুই হবে দুই কোম্পানির বাস দুটি পুনরায় একসাথে ছাড়ার সময়।
১৫ এর গুণিতকঃ ১৫,৩০,৪৫,৬০,৭৫,৯০,১০৫,১২০,১৩৫,১৫০,………….
২৫ এর গুণিতকঃ ২৫,৫০,৭৫,১০০,১২৫,১৫০,…………….
১৫ ও ২৫ এর সাধারণ গুণিতকঃ ৭৫, ১৫০,………..
এদের লসাগুঃ ৭৫
অতএব, ৭৫ মিনিট পরপর বাস দুটি একসাথে ছাড়ে।
এখন,
৭৫ মিনিট=১ ঘন্টা ১৫ মিনিট
সকাল ৮ঃ৪৫ এ বাস দুটি একসাথে ছাড়ার পর আবার একসাথে ছাড়বেঃ ৯ঃ৪৫+১ঃ১৫=১০ টায়।

৫.৪ গুণনীয়ক

১. নিচের টেবিলে গুণনীয়কগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

[টেবিলটি পাঠ্য বইয়ে দ্রষ্টব্য]

সমাধানঃ

[প্রকাশের সুবিধার্থে, রঙ্গিন বর্ণ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো]
৯ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯
১২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২
১৭ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫,১৬,১৭
২০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫,১৬,১৭,১৮,১৯,২০
২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫,১৬,১৭,১৮,১৯,২০,২১,২২,২৩,২৪

১. গুণনীয়কগুলো লেখঃ

  (১) ৭ (২) ১৫  (৩) ১৮  (৪) ২৩  (৫) ৩৬
  (৬) ৩৯  (৭) ৪২  (৮) ৪৭  (৯) ৫৬

সমাধানঃ

(১) ৭

৭÷১=৭
৭÷৭=১
∴৭ এর গুণনীয়কঃ ১,৭

(২) ১৫

 ১৫÷১=১৫
১৫÷৩=৫
১৫÷৫=৩
১৫÷১৫=১
∴১৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,৫,১৫

(৩) ১৮ 

১৮÷১=১৮
১৮÷২=৯
১৮÷৩=৬
১৮÷৬=৩
১৮÷৯=২
১৮÷১৮=১
∴১৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬,৯,১৮

(৪) ২৩ 

২৩÷১=২৩
২৩÷২৩=১
২৩ এর গুণনীয়কঃ ১,২৩

(৫) ৩৬

৩৬÷১=৩৬
৩৬÷২=১৮
৩৬÷৩=১২
৩৬÷৬=৬
৩৬÷৯=৪
৩৬÷১৮=২
৩৬÷৩৬=১
∴৩৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬

(৬) ৩৯ 

৩৯÷১=৩৯
৩৯÷৩=১৩
৩৯÷১৩=৩
৩৯÷৩৯=১
∴৩৯ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,১৩,৩৯

(৭) ৪২

৪২÷১=৪২
৪২÷২=২৪
৪২÷৩=১৪
৪২÷৬=১৪
৪২÷৭=৬
৪২÷১৪=৩
৪২÷২১=২
৪২÷৪২=১
∴৪২ এর গুণনীয়কঃ  ১,২,৩,৬,৭,১৪,২১,৪২

(৮) ৪৭ 

৪৭÷১=৪৭
৪৭÷৪৭=১
৪৭ এর গুণনীয়কঃ ১,৪৭

(৯) ৫৬

৫৬÷১=৫৬
৫৬÷২=২৮
৫৬÷৪=১৪
৫৬÷৭=৮
৫৬÷৮=৭
৫৬÷১৪=৪
৫৬÷২৮=২
৫৬÷৫৬=১
∴৫৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৭,৮,১৪,২৮,৫৬

৫.৫ গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গসাগু)

৩. নিচের তথ্যটি ব্যবহার করে ১৮ এবং ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো এবং গসাগু নির্ণয় করি।

১৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬,৯,১৮

২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্য হতে,
১৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬,৯,১৮
২৪ এর গুণনীয়ক ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
১৮ ও ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬
আমরা জানি, সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে গসাগু বলে।
গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি ৬।
সুতরাং গসাগু ৬।

২. সাধারণ গুণনীয়ক এবং গসাগু নির্ণয় করঃ

(১) ১২ এবং ১৫ (২) ১৮ এবং ৪৫ (৩) ২৮ এবং ৫৬

(৪) ৩৬ এবং ৪৮ (৫) ৫৪ এবং ৩২ (৬) ৫২ এবং ৩৯

সমাধানঃ

(১) ১২ এবং ১৫
১২=১x১২=২x৬=৩x৪
১৫=১x১৫=৩x৫
১২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
১৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,৫,১৫
১২ ও ১৫ এর সাধারন গুণনীয়কঃ ১,৩
সুতরাং গসাগুঃ ৩

(২) ১৮ এবং ৪৫

১৮=১x১৮=২x৯=৩x৬
৪৫=১x৪৫=৩x১৫=৫x৯
১৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬,৯,১৮
৪৫ এর গুণনীয়কঃ ১.৩.৫.৯.১৫.৪৫
১৮ ও ৪৫ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,৩,৯
সুতরাং, গসাগুঃ ৯

(৩) ২৮ এবং ৫৬

২৮=১x২৮=২x১৪=৪x৭
৫৬=১x৫৬=২x২৮=৪x১৪=৭x৮
২৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৭,১৪,২৮
৫৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৭,৮,১৪,২৮,৫৬
২৫ ও ৫৬ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৭,১৪,২৮
সুতরাবগ গসাগুঃ ২৮

(৪) ৩৬ এবং ৪৮

৩৬=১x৩৬=২x১৮=৩x১২=৪x৯=৬x৬
৪৮=১x৪৮=২x২৪=৩x১৬=৪x১২=৬x৮
৩৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬
৪৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,১৬,২৪,৪৮
৩৬ ও ৪৮ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
সুতরাং, গসাগুঃ ১২

(৫) ৫৪ এবং ৩২

৫৪=১x৫৪=২x২৭=৩x১৮=৬x৯
৩২=১x৩২=২x১৬=৪x৮
৫৪ এর গুণনীয়কঃ  ১,২,৩,৬,৯,১৮,২৭,৫৪
৩২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৮,১৬,৩২
৫৪ ও ৩২ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২
অতএব, গাসগুঃ ২

(৬) ৫২ এবং ৩৯

৫২=১x৫২=২x২৬=৪x১৩
৩৯=১x৩৯=৩x১৩
৫২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,১৩,২৬,৫২
৩৯ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,১৩,৩৯
৫২  ও ৩৯ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,১৩
অতএব, গসাগুঃ ১৩

২. ১৫ এবং ১৬ এর গসাগু নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

১৫=১x১৫=৩x৫
১৬=১x১৬=২x৮=৪x৪
১৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,৫,১৫
১৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৮,১৬
১৫ ও ১৬ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১
সুতরাং, গসাগুঃ ১

৩. সাধারণ গুণনীয়ক এবং গাসাগু এর মধ্যে আমরা কী সম্পপর্ক দেখতে পাই?

সমাধানঃ

যেসকল সংখ্যা দুই বা ততোধিক সংখ্যার প্রত্যেকের গুণনীয়কের মধ্যে থাকে তাদেরকে সাধারন গুণনীয়ক বলে এবং সাধারণ গুণনীয়কগুলর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হল গসাগু।

৪. ৪০,২৪ এবং ৫৬ এর গসাগু কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করি।

সমাধানঃ

৪০=১x৪০=২x২০=৪x১০=৫x৮
২৪=১x২৪=২x১২=৩x৮=৪x৬
৫৬=১x৫৬=২xx২৮=৪x১৪=৭x৮
৪০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৫,৬,৮,১০,২০,৪০
২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
৫৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৭,৮,১৪,২৮,৫৬
৪০,২৪ এবং ৫৬ এর সাধারন গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৮ যেখানে ৮ সবচেয়ে বড়।
সুতরাং ৪০,২৪,৫৬ এর গসাগুঃ ৮।

৩. গসাগু নির্ণয় করঃ

(১) ১২,৩৩,২৪  (২)৩৯,২৬,৫২  (৩) ১২,২৪,৩৬

সমাধানঃ

 (১) ১২,৩৩,২৪
১২=১x১২=২x৬=৩x৪
৩৩=১x৩৩=৩x১১
২৪=১x২৪৫=২x১২=৩x৮=৪x৬
১২ এর গুণনীয়কঃ  ১,২,৩,৪,৬,১২
৩৩ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,১১,৩৩
২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
১২,২৪,৩৩ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,৩
অতএব, গসাগুঃ ৩

(২)৩৯,২৬,৫২ 

৩৯=১x৩৯=৩x১৩
২৬=১x২৬=২x১৩
৫২=১x৫২=২x২৬=৪x১৩
৩৯ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,১৩,৩৯
২৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,১৩,২৬
৫২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,১৩,২৬,৫২
৩৯,২৬,৫২ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,১৩
অতএব, গসাগুঃ ১৩

(৩) ১২,২৪,৩৬

১২=১x১২=২x৬=৩x৪
২৪=১x২৪=২x১২=৩x৮=৪x৬
৩৬=১x৩৬=২÷১৮=৩x১২=৪x৯=৬x৬
১২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬
৩৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬
১২,২৪,৩৬ এর সাধারন গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
অতএব, গসাগুঃ ১২

৫.৬ গসাগু এর ব্যবহার

১. ১২ সেমি প্রস্থ এবং ১৮ সেমি দৈর্ঘ্যের একটি ছক কাগজ আছে। এটিকে কয়েকটি কয়েকটি সমান বর্গাকৃতির টুকরা করি যেন কোন অবশিষ্ট অংশ না থাকে। সবচেয়ে বড় বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য নির্নয় করি।

সমাধানঃ

১২=১x১২=২x৬=৩x৪
১৮=১x১৮=২x৯=৩x৬
১২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
১৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬,৯,১৮
১২ ও ১৮ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৬
অতএব, গসাগু=৬
সুতরাং, সবচেয়ে বড় বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি।

১.  উক্ত ছক কাগজ থেকে বৃহত্তম আকৃতির কয়টি বর্গ বানানো যাবে?

সমাধানঃ

সবচেয়ে বড় বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি
অতএব, এর ক্ষেত্রফল=(৬x৬) বর্গসেমি=৩৬ বর্গসেমি
দেওয়া আছে কাগজের দৈর্ঘ্য=১৮ সেমি, প্রস্থ=১২ সেমি
তাহলে, ক্ষেত্রেফল=(১৮x১২) বর্গসেমি=২১৬ বর্গসেমি
অতএব, ছক কাগজ থেকে বৃহত্তম আকৃতির বর্গ বানানো যাবে=২১৬÷৩৬ টি=৬ টি।

২. একজন শিক্ষক ৪০ জন ছাত্র এবং ২৪ জন ছাত্রীকে কতগুলো দলে ভাহ করে দিলেন যেন প্রত্যেক দলে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা সমান থাকে এবং কোনো শিক্ষার্থী অবশিষ্ট না থাকে। সর্বোচ্চ কয়টি দলে ভাগ করা যাবে এবং প্রতি দলে কতজন ছাত্র এবং ছাত্রী থাকবে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

৪০ এবং ২৪ এর গসাগুই হবে সর্বোচ্চ দলের সংখ্যা।
৪০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৫,৮,১০,২০,৪০
২৪ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
৪০,২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৮
গসাগু=৮
সুতরাং, সর্বোচ্চ দলের সংখ্যা=৮টি
প্রত্যেক দলে ছাত্র থাকবে=৪০÷৮=৫ জন
এবং ছাত্রী থাকবে =২৪÷৮=৩ জন।

৩. একজন শিক্ষক ৬০টি পেন্সিল এবং ৩৬টি খাতা কিছু সংখ্যক শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো অবশিষ্ট না রেখে সমানভাবে ভাগ করে দিতে চান। সর্বোচ্চ কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে এই দ্রব্যগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধানঃ

৬০ ও ৩৬ এর গসাগুই হবে সর্বোচ্চ শিক্ষার্থীর সংখ্যা।
৬০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৫,৬,১০,১২,১৫,২০,৩০,৬০
৩৬ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬
৬০,৩৬ এর সাধারণ দুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
অতএব, গসাগু=১২
সুতরাং, ১২ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে দ্রব্যগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

৫.৭ মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ

১. নিচের কোন সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়? কেন?

৪,৯,২১,৩৩,৩৭,৪৩,৪৯,৫৭,৬৩,৬৭

সমাধানঃ

কোন সংখ্যার গুণনীয়ক যদি ১ ও ঐ সংখ্যা হয়, তাহলে সংখ্যাটিকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
এখন, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গুণনীয়ক নির্ণয় করিঃ
৪=১x৪=২x২
৩৩=১x৩৩=৩x১১
৪৯=১x৪৯=৭x৭
৬৩=১x৬৩=৩x২১=৭x৯
৯=১x৯=৩x৩
৩৭=১x৩৭
৫৭=১x৫৭=৩x১৯
৬৭=১x৬৭
২১=১x২১=৩x৭
৪৩=১x৪৩
৫৯=১x৫৯
তাহলে এখান থেকে পাই, ৪,৯,২১,৩৩,৪৯,৫৭ ও ৬৩ মৌলিক সংখ্যা নয়।

২. নিচের সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করি।

(১) ১২  (২) ২৪  (৩) ৩৫  (৪) ৪৫  (৫) ২৬

সমাধানঃ

(১)                    (২)

২)১২                ২)২৪
২)৬                 ২)১২
    ৩                 ২)৬
∴১২=২x২x৩         ৩
                        ∴২৪=২x২x২x৩

(৩)                   (৪)                   (৫)

৫)৩৫               ৩)৪৫               ২)২৬
     ৭                 ৩)১৫                   ১৩
 ৩৫=৫x৭            ৫                 ২৬=২x১৩
                        ৪৫=৩x৩x১৫

৪. ১৫ এবং ১৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি।

>>>যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে তাহলে তাদের লসাগু হবে দুইটি সংখ্যার…………………………..।

সমাধানঃ

সমাধানঃ

১৫=৩x৫
১৬=২x২x২x২
১৫ ও ১৬ এর কোনো মৌলিক উতপাদক নেই।
সুতরাং, লসাগু=১৫x১৬=২৪০
>>>যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে তাহলে তাদের লসাগু হবে দুইটি সংখ্যার গুণফল।

৫. ১৮,১২ এবং ১৪ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।
২)১৮,১২,১৪
৩)৯,৬,৭
    ৩,২,৭
নির্ণেয় লসাগু=২x৩x৩x২x৭=২৫২

১. লসাগু নির্ণয় করঃ

(১) ৪,৬  (২) ৮,১০  (৩) ৩,৫  (৪) ১২,১৫

(৫) ২৪,৩৬  (৬) ৩৫,৩২  (৭) ১২,৮,১০  (৮) ৬,৯,১২
(৯) ১৪,২১,১৮  (১০) ১৬,২৪,১৫,২৮  (১১) ৭,১০,১২,১৪

সমাধানঃ

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।

(১)

২)৪,৬
    ২,৩
 নির্ণেয় লসাগু=২x২x৩=১২

(২)

২)৮,১০
    ৪,৫ 
নির্ণেয় লসাগু=২x৪x৫=৪০

(৩)

১) ৩,৫
    ৩,৫ 
নির্ণেয় লসাগু=৩x৫=১৫

(৪)

৩)১২,১৫
     ৪,৫
নির্ণেয় লসাগু=৩x৪x৫=৬০

(৫)

২)২৪,৩৬
২)১২,১৮
৩)৬,৯
    ২,৩
নির্ণেয় লসাগু=২x২x৩x২x৩=৭২   

(৬)

১)৩৫,৩২
    ৩৫,৩২
নির্ণেয় লসাগু= ৩২x৩৫=১১২০

(৭)

২)১২,৮,১০
২)৬,৪,৫
     ৩,২,৫
নির্ণেয় লসাগু=২x২x৩x২x৫=১২০   

(৮)

২)৬,৯,১২
৩)৩,৯,৬
     ১,৩,২
নির্ণেয় লসাগু=২x৩x৩x২=৩৬

(৯)

২)১৪,২১,১৮
৩)৭,২১,৯
৭)৭,৭,৩
    ১,১,৩
নির্ণেয় লসাগু=২x৩x৭x৩=১২৬  

(১০)

২)১৬,২৪,১৫,২৮
২)৮,১২,১৫,১৪
২)৪,৬,১৫,৭
৩)২,৩,১৫,৭
     ২,১,৫,৭
নির্ণেয় লসাগু= ২x২x২x৩x২x৫x৭=১৬৮০ 

(১১)

২)৭,১০,১২,১৪
৭)৭,৫,৬,৭
    ১,৫,৬,১
নির্ণেয় লসাগু২x৭x৫x৬=৪২০

৭. ১৫ এবং ১৬ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি।

>>>>যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে, তাহলে তাদের গসাগু হবে………….।

সমাধানঃ

১৫ ও ১৬ এর কোনো সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই।
সুতরাং, ১৬ ও ১৫ এর গসাগু=১।
>>>>যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে, তাহলে তাদের গসাগু হবে ১।

১. গসাগু নির্ণয় করঃ

(১) ৮,৬  (২) ১২,১০  (৩) ৯,১৬

(৪) ৩২,২৪  (৫) ৩৬,৪৫  (৬) ১০৫,১৪০
(৭) ১৮,৩০,২৪  (৮) ৩২,৬৪,৪০  (৯) ৩৫,২১,২৮
(১০) ৩৯,২৬,৫২,২৪  (১১) ২৫,২৬,২৭,৩০

সমাধানঃ

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।

(১)

২)৮,৬
    ৪,৩
নির্ণেয় গসাগু=২

(২)

২)১২,১০
    ৬,৫
নির্ণেয় গসাগু= ২

 (৩)

১) ৯,১৬
    ৯,১৬
নির্ণেয় গসাগু= ১

(৪)

২)৩২,২৪
২)১৬,১২
২)৮,৬
    ৪,৩
নির্ণেয় গসাগু=২x২x২=৮ 

(৫)

৩)৩৬,৪৫
৩)১২,১৫
    ৪,৫
নির্ণেয় গসাগু=৩x৩=৯ 

(৬)

৫)১০৫,১৪০
৭)১২,১৫
    ৪,৫
নির্ণেয় গসাগু=৫x৭=৩৫

(৭)

২)১৮,৩০,২৪
৩)৯,১৫,১২
    ৩,৫,৪ 
নির্ণেয় গসাগু=২৯৩=৬

(৮)

২)৩২,৬৪,৪০
২)১৬,৩২,২০
২)৮,১৬,১০
   ৪,৮,৫
নির্ণেয় গসাগু=২x২x২=৮ 

(৯)

৭)৩৫,২১,২৮
    ৫,৩,৪
নির্ণেয় গসাগু=৭

(১০)

১)৩৯,২৬,৫২,২৪
    ৩৯,২৬,৫২,২৪
নির্ণেয় গসাগু=১

(১১)

১)২৫,২৬,২৭,৩০
   ২৫,২৬,২৭,৩০
নির্ণেয় গসাগু=১

অনুশীলনী ৫

১. লসাগু নির্ণয় করঃ

(১) ১৫,২১  (২) ৩৫,২১  (৩) ২০,১২,২৫
(৪) ৯,১৬,১৮  (৫) ২০,১২,২৫,৩২

সমাধানঃ

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।

(১)

৩)১৫,২১
    ৫,৭
নির্ণেয় লসাগু=৩x৫x৭=১০৫ 

(২)

৭)৩৫,২১
    ৫,৩ 
নির্ণেয় লসাগু=৭x৫x৩=১০৫

(৩)

২)২০,১২,২৫
২)১০,৬,২৫
৫)৫,৩,২৫
    ১,৩,৫
নির্ণেয় লসাগু=২x২x৫x৩x৫=৩০০

(৪)

২)৯,১৬,১৮
৩)৯,৮,৯
৩)৩,৮,৩
     ১,৮,১
নির্ণেয় লসাগু=২x৩x৩x৮=১৪৪ 

(৫)

২)২০,১২,২৫,৩২
২)১০,৬,২৫,১৬
৫)৫,৩,২৫,৮
    ১,৩,৫,৮
নির্ণেয় লসাগু=২x২x৫x৩x৫x৮=২৪০০

২. গসাগু ণির্নয় করঃ

(১) ১২,১৮  (২) ২৪,২৮  (৩) ৩৯,৫২

(৪) ৫৪,৩৬,৭২  (৫) ২০,৩০,৩৬,৪৫

সমাধানঃ

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।

(১)

২)১২,১৮
৩)৬,৯
     ২,৩
নির্ণেয় গসাগু=২x৩=৬ 

(২)

২)২৪,২৮
২)১২,১৪
      ৬,৭
নির্ণেয় গসাগু=২x২=৪

(৩)

১৩)৩৯,৫২
          ৩,৪
নির্ণেয় গসাগু=১৩

(৪)

২)৫৪,৩৬,৭২
৩)২৭,১৮,৩৬
৩)৯,৬,১২
     ৩,২,৪
নির্ণেয় গসাগু=২x৩x৩=১৮ 

(৫)

১)২০,৩০,৩৬,৪৫
   ২০,৩০,৩৬,৪৫
নির্ণেয় গসাগু=১

৩. একটি রাস্তায় কিছু গাছ এবং ল্যাম্পপোস্ট আছে। ২৫ মিটার পরপর গাছ এবং ২০ মিটার পরপর ল্যাম্পপোস্ট আছে। রাস্তার সগুরুতে গাছ ও ল্যাম্পপোস্ট একত্রে থাকলে কত মিটার পরপর গাছ ও ল্যাম্পপোস্ট পুনরায় একসাথে থাকবে?

সমাধানঃ

২৫ এবং ২০ এর লসাগুই হবে গাছ ও ল্যাম্পপোস্ট পুনরায় একসাথে থাকার দুরত্ত্ব।
৫)২৫,২০
    ৫,৪
লসাগু=৫x৫x৪=১০০
সুত্রাং নির্ণেয় দুরত্ব=১০০ মিটার।

৪. তিনটি ভিন্ন রঙ এর ঘণ্টা আছে। লাল রঙ এর ঘণ্টা ১৮ মিনিট পরপর, হলুদ রঙ এর ঘণ্টা ১৫ মিনিট পরপর এবং সবুজ রঙ এর ঘণ্টা ১২ মিনিট পরপর বাজে। ঘণ্টাগুলো সন্ধ্যা ৬টায় একসাথে বাজলে, পুনরায় কখন একসাথে বাজবে।

সমাধানঃ

১৮,১৫,১২ এর লসাগুই হবে পুনরায় ঘণ্টাগুলো একসাথে বাজার সময়।
২)১৮,১৫,১২
৩)৯,১৫,৬
     ৩,৫,২
লসাগু=২x৩x৩x৫x২=১৮০
১৮০ মিনিট=(১৮০÷৬০) ঘণ্টা=৩ ঘণ্টা
অর্থাৎ সন্ধ্যা ৬টা+৩ ঘণ্টা=রাত ৯ টায় ঘন্টাগুলো পুনরায় একসাথে বাজবে।

৫. চিত্রে একটি আয়তকার মেঝের ছবি দেওয়া আছে। কোনো খালি জায়গা না রেখে আমরা ঘরের মেঝেতে বর্গাকার কার্পেট বসাতে চাই।

(১)মেঝেতে বিছানো যাবে এমন বর্গাকার কার্পেটের বৃহত্তমটির একবাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
(২) সম্পূর্ণ মেঝে কার্পেট বিছানোর জন্য এরুপ কয়টি কার্পেট লাগবে?

সমাধানঃ

(১)

মেঝেতে বিছানো যাবে এমন বর্গাকার কার্পেটের বৃহত্তমটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ৪২ এবং ৩৬ এর গসাগু।
২)৪২,৩৬
৩)২১,১৮
    ৭,৬
গসাগু=২x৩=৬
নির্ণেয় দৈর্ঘ্য=৬ মিটার।

(২)

“১” হতে প্রাপ্ত, বৃহত্তম বর্গাকার কার্পেটের এক বাহুর দৈর্ঘ্য=৬ মিটার
অতএব, এর ক্ষেত্রফল=(৬x৬) বর্গমিটার=৩৬ বর্গমিটার
আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল=(৪২x৩৬) বর্গমিটার=১৫১২ বর্গমিটার
অতএব, সম্পুর্ণ মেঝে কার্পেট বিছানোর জন্য কার্পেট লাগবে=১৫১২÷৩৬টি=৪২টি।

৬. কোনো স্থানে ১০ জনের বেশি শিক্ষার্থী আছে। একজন শিক্ষক ৪২ টি কলা, ৮৪টি বিস্কুট এবং ১০৫টি চকলেট কোনো অবশিষ্ট না রেখে শিক্ষার্থীদের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিতে চান। কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে শিক্ষক কলা, বিস্কুট এবং চকলেট ভাগ করে দিতে পারবেন?

সমাধানঃ

৪২,৮৪,১০৫ এর গসাগুই হবে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা।
৩)৪২,৮৪,১০৫
৭)১৪,২৮,৩৫
      ২,৪,৫
গসাগু=৩x৭=২১
সুতরাং, শিক্ষার্থী সংখ্যা=২১ জন।