JSC/Class 8 Math BD-অধ্যায়ঃ ৪.১ অষ্টম শ্রেণি- বীজগনিতীয় সুত্রাবলি ও প্রয়োগ

Class 8/JSC math BD, Class eight math solution bd, class 8 math pdf download, অষ্টম শ্রেণির গণিত সমাধানঃ অধ্যায়ঃ ৪.১ বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ।
Admin
Admin
11 November

বীজগনিতীয় সুত্রাবলি ও প্রয়োগঃ 

প্রশ্ন ১ঃ সুত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর বর্গ নির্নয় করঃ

(ক) 5a + 7b    (খ) 6x + 3       (গ) 7 p + 2q

(ঘ) ax - by      (ঙ) x + xy 3    (চ) 11a -12b

(ছ) 6x2 y -5xy 2         (জ) - x - y       (ঝ) - xyz - abc

(ঞ) a2x3 - b2 y4       (ট) 108           (ঠ) 606

(ড) 597           (ঢ) a - b + c    (ণ) ax + b + 2

(ত) xy + yz -zx           (থ) 3 p + 2q - 5r        (দ) x2 - y2 - z2

(ক) 5a + 7b

সমাধান :

5a + 7b এর বর্গ

=(5a+7b)2

=(5a)2+2*(5a)*(7b)+(7b)2

=25a2+70ab+49b2

 

(খ) 6x + 3

সমাধান :

6x + 3 এর বর্গ

= (6x + 3)2

= (6x)2 + 2 * (6x) * (3) + (3)2

= 36 x 2 + 36 x + 9

 

(গ) 7 p + 2q

সমাধান :

7p + 2q এর বর্গ

= (7p + 2q)2

= (7p)2 + 2 * (7 p) * (2q) + (2q)2

= 49p2 + 28pq + 4q2


(ঘ) ax - by

সমাধান :

ax + by এর বর্গ

= (ax -by)2

= (ax)2 -2 * (ax) * (by) + (by)2

= a2 x2 -2abxy + b2 y 2

 

(ঙ) x3 + xy

সমাধান :

x3 + xy এর বর্গ

= (x3 + xy)2

= (x3 )2 + 2 * (x3 ) * (xy) + (xy)2

= x 6 + 2x4 y + x 2 y 2


(চ) 11a -12b

সমাধান :

11a -12b এর বর্গ

= (11a -12b)2

= (11a)2- 2* (11a) * (12b) + (12b)2

= 121a2 + 264 ab + 144 b2

 

(ছ) 6x2 y - 5xy2

সমাধান :

6x2 y - 5xy2 এর বর্গ

= (6x2 y - 5xy 2 )2

= (6x2 y)2- 2*(6x2 y)*(5xy2 ) + (5xy2 )2

= 36 x 4 y 2 - 60 x3 y 3 + 25 x 2 y 4


(জ) - x - y

সমাধান :

-x - y এর বর্গ

= (-x - y)2

= {-(x + y)}2

= (x + y)2

= y2 + 2xy + y2

 

(ঝ) –xyz- acb

সমাধান :

-xyz- abc এর বর্গ

= (-xyz - abc)2

= {-(xyz + abc)}2

= (xyz + abc)2

= (xyz)2 + 2* (xyz)* (abc) + (abc)2

= x2 y 2 z2 + 2xyzabc + a2b2c2


 (ঞ) a2x3 - b2 y4

সমাধান :

a2x3 - b2 y4 এর বর্গ

= (a2 x3 - b2 y4 )2

= (a2x3)2 -2*(a2x3)*(b2 y4 ) +(b2 y4 )2

= a4 x6 - 2a2b2 x3 y4 + b4 y8


(ট) 108

সমাধান :

108 এর বর্গ

= (108)2

= (100 + 8)2

= (100)2 + 2  (100)  (8)  (8)2

= 10000 +1600 + 64

= 11664


(ঠ) 606

সমাধান :

606 এর বর্গ

= (606)2

= (600 + 6)2

= (600)2 + 2*(600)* (6) + (6)2

= 360000 +7200 + 36

= 367236


(ড) 597

সমাধান :

597 এর বর্গ

= (597)2

= (600 -3)2

= (600)2 - 2* (600) * (3) + (3)2

= 360000 - 36000 + 9

= 360009 - 3600

= 356409


(ঢ) a - b + c

সমাধান :

a - b +c এর বর্গ

= (a - b + c)2

= {(a - b) + c}2

= (a -b)2 + 2*(a - b)* (c) + (c)2

= a2 - 2ab + b2 + 2ac - 2bc +c2

= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac


(ণ) ax + b + 2

সমাধান :

ax + b + 2 এর বর্গ

= (ax + b + 2)2

= {(ax + b) + 2}2

= (ax + b)2 + 2* (ax + b)* (2) + (2)2

= a2x2 + 2abx + b2 + 4ax + 4b + 4

= a2 x2 + b2 + 2abx + 4b + 4ax + 4


(ত) xy + yz + zx

সমাধান :

xy + yz - zx এর বর্গ

= (xy + yz + zx)2

= {xy + ( yz - zx)}2

=(xy)2 +2*(xy)*(yz-zx)+(yz-zx)2

= x2 y2 + 2xy2 z - 2x2 yz + ( yz)2 - 2( yz)(zx) - (zx)2

= x2y2 + y2z2 +z2x2 -2x2yz+2xy2z-2xyz2


(থ) 3 p + 2q - 5r

সমাধান :

3p + 2q - 5r এর বর্গ

= (3 p + 2q - 5r)2

= {3 p + (2q - 5r)}2

=(3p)2 +2*(3p)*(2q-5r)+(2q5r)2

=9p2 +12pq-30qr+(2q)2 -2(2q)(5r)+(5r)2

= 9p2 +12pq-30qr + 4q2 -20qr +5r2

= 9p2 +4q2 +5r2 +12pq-30qr -20qr


(দ) x2 - y2 - z2

সমাধান :

x2 -y2 -z2 এর বর্গ

= ( x2 - y2 - z2 )2

= {( x2 - y2 ) - z2}2

= (x2 - y2 )2 – 2*(x2 - y2 )*(z2 ) + (z2 )2

= x4 - 2x2 y2 + y4 - 2x2 z2 + 2x2 z2 + z4

= x4 + y4 + z4 - 2x2 y2 + 2y2z2 - 2x2z2


(ধ) 7a2 + 8b2 - 5c2

সমাধান :

7a2 + 8b2 - 5c2 এর বগ􀇭

= (7a2 + 8b2 - 5c2 )2

= {7a2 + (8b2 - 5c2 )}2

= (7a2)2 +2(7a2)(8b2 -5c2)+(8b2 -5c2)2

= 49a 4 +112a 2b 2 - 70a 2c 2 + (8b 2 ) 2 - 2(8b 2 )(5c 2 ) - (5c 2 ) 2

= 49a4 +112a2b2 - 70a2c2 + 64b4 -80b2c2 + 25c4

= 49a4 + 64b4 +25c4 +112a2b2 -80b2c2 - 70a2c2


প্রশ্ন ২ঃ সরল করঃ

ক. (x+y)2+2(x+y)(x-y)+(x-y)2

(খ) (2a+3b)2 -2(2a +3b)(3b-a) +(3b-a)2

(গ) (3x2 +7y2)2 +2(3x2 +7y2)(3x2 -7y2)+(3x2 -7y2)2

(ঘ) (8x + y)2 -(16x +2y)(5x + y)+(5x+ y)2

(ঙ) (5x2 -3x -2)2 +(2+5x2 -3x)2 -2(5x2 -3x+ 2)(2+5x2 -3x)


ক. (x+y)2+2(x+y)(x-y)+(x-y)2

সমাধান :

ধরি, x + y = a

এবং x - y = b

∴ প্রদত্ত রাশি= a2+2ab+b2

                        =(a+b)2

                        =(x+y+x-y)2 [a ও b এর মান বসিয়ে পাই]

                        =(2x)2

                        =4x2


(খ) (2a+3b)2 -2(2a +3b)(3b-a) +(3b-a)2

সমাধানঃ

ধরি, 2a+3b=x

এবং, 3b-a=y

∴ প্রদত্ত রাশি=x2-2xy+y2

                         =(x-y)2

                         ={(2a+3b)-(3b-a)}2  [ x,y এর মান বসাই]

                        =(2a+3b-3b+a)2

                         =(3a)2

                        =9a2

 

(গ) (3x2 +7y2)2 +2(3x2 +7y2)(3x2 -7y2)+(3x2 +7y2)2

সমাধানঃ

(3x2 +7y2)2 +2(3x2 +7y2)(3x2 -7y2)+(3x2 -7y2)2

={(3x2 +7y2)+ (3x2 -7y2)}2

=(3x2 +7y2+ 3x2 -7y2)2

=(6x2)2

=36x4

 

(ঘ) (8x + y)2 -(16x +2y)(5x + y)+(5x+ y)2

সমাধানঃ

(8x + y)2 -(16x +2y)(5x + y)+(5x+ y)2

=(8x + y)2 -2(8x +y)(5x + y)+(5x+ y)2

={(8x+y)-(5x+y)}2

=(8x+y-5x-y)2

=(3x)2

=9x2

 

(ঙ) (5x2 -3x -2)2 +(2+5x2 -3x)2 -2(5x2 -3x+ 2)(2+5x2 -3x)

সমাধানঃ

(5x2 -3x -2)2 +(2+5x2 -3x)2 -2(5x2 -3x+ 2)(2+5x2 -3x)

={(5x2 -3x -2) -(2+5x2 -3x)}2

=(5x2 -3x -2 -2-5x2 +3x)2

=(-4)2

=16

 

প্রশ্ন ৩ঃ সুত্র প্রয়োগ করে গুনফল নির্নয় করঃ

(ক) (x + 7)(x - 7)                    (খ) (5x +13)(5x -13)

(গ) (xy + yz)(xy - yz)             (ঘ) (ax + b)(ax - b)

(ঙ) (a + 3)(a + 4)                  (চ) (ax + 3)(ax + 4)

(ছ) (6x +17)(6x -13)              (জ) (a2 + b2 )(a2 - b2 )(a4 + b4 )

(ঝ) (ax - by + cz)(ax + by - cz)         (ঞ) (3a -10)(3a - 5)

(ট) (5a + 2b - 3c)(5a + 2b +3c)       (ঠ) (ax + by + 5)(ax + by + 3)

 

(ক) (x + 7)(x - 7)       

সমাধানঃ

(x + 7)(x - 7)

=x2-72

=x2-49

 

 (খ) (5x +13)(5x -13)

সমাধানঃ

(5x +13)(5x -13)

=(5x)2 –(13)2

=25x2-169

 

(গ) (xy + yz)(xy - yz)

সমাধানঃ

(xy + yz)(xy - yz)

=(xy)2 – (yz)2

=x2 y2-y2 z2

 

(ঘ) (ax + b)(ax - b)

সমাধানঃ

(ax + b)(ax - b)

=(ax)2 –(b)2

=a2 x2-b2

 

(ঙ) (a + 3)(a - 4)

সমাধানঃ

(a + 3)(a +4)

আমরা জানি, (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

∴(a + 3)(a +4)

=a2+(3+4)a+(3)(4)

=a2+7a+12

 

(চ) (ax + 3)(ax + 4)

সমাধানঃ

(ax + 3)(ax + 4)

আমরা জানি, (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

∴(ax + 3)(ax + 4)

=(ax)2+(3+4)ax+(3)(4)

=a2x2+7ax+12

 

(ছ) (6x +17)(6x -13) 

সমাধানঃ

(6x +17)(6x -13)

আমরা জানি,

(x+a)(x-b)=x2+(a-b)x-ab

∴(6x +17)(6x -13)

= (6x)2 + (17 -13)6x - (17)(13)

= 36x2 + 4x -221

 

(জ) (a2 + b2 )(a2 - b2 )(a4 + b4 )

সমাধানঃ

(a2 + b2 )(a2 - b2 )(a4 + b4 )

={(a2 )2- (b2 )2}(a4 + b4 )

=(a4 - b4 ) (a4 + b4 )

=(a4)2 – (b4)2

=a8-b8


(ঝ) (ax - by + cz)(ax + by - cz)

সমাধানঃ

(ax - by + cz)(ax + by - cz)

={(ax – (by - cz)}{(ax) + (by - cz)}

= (ax)2 – (by - cz)2

=a2x2-{(by)2-2(by)(cz)+(cz)2}

=a2x2-b2y2+2bcyz-c2z2

 

 (ঞ) (3a -10)(3a - 5)

সমাধানঃ

(3a -10)(3a - 5)

আমরা জানি,

(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab

∴(3a -10)(3a - 5)

=(3a)2-(10+5)3a+(10)(5)

=9a2-(15)3a+50

=9a2-45a+50

 

(ট) (5a + 2b - 3c)(5a + 2b +3c)

সমাধানঃ

(5a + 2b - 3c)(5a + 2b +3c)

={(5a + 2b) - (3c)}{(5a + 2b) + (3c)}

=(5a + 2b)2 - (3c)2

= (5a)2 + 2(5a)(2b) + (2b)2 - (3c)2

=25a2 + 20ab + 4b2 - 9c2

 

(ঠ) (ax + by + 5)(ax + by + 3)

সমাধানঃ

(ax + by + 5)(ax + by + 3)

আমরা জানি,

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

∴(ax + by + 5)(ax + by + 3)

=(ax + by)2 + (5 + 3)(ax + by) + (5)(3)

=(ax)2 + 2(ax)(by) + (by)2 + 8(ax + by) +15

=a2 x2 + 2abxy + b2 y 2 + 8ax + 8by) +15

 

প্রশ্ন ৪ঃ a=4, b=6 এবং c=3 হলে 4a2b2-16ab2c+16b2c2 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a=4, b=6 এবং c=3

প্রদত্ত রাশি=4a2b2-16ab2c+16b2c2

            = (2ab)2 – 2* 2ab * 4bc + (4bc)2

=(2ab - 4bc)2

= (2 * 4* 6 - 4 * 6* 3)2          [a, b ও c এর মান বসিয়ে]

=(48 - 72)2

= (-24)2

=576

নির্নেয় মান 576

 

প্রশ্ন ৫ঃ x-1/x=3 হলে, x2+1/x2 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x-1/x=3

প্রদত্ত রাশি= x2+1/x2

            =(x-1/x)2+2*x*1/x

            =32+2 (মান বসিয়ে)

            =9+2

            =11

নির্নেয় মান 11

 

প্রশ্ন ৬ঃ a+1/a=4 হলে, a4+1/a4 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+1/a=4

প্রদত্ত রাশি= a4+1/a4

            =(a2)2+(1/a2)2

                =(a2+1/a2)2-2*a2*1/a2

            ={(a+1/a)2-2*a*1/a}-2

            ={(4)2-2}2-2    [মান বসিয়ে]

            =(16-2)2-2

            =(14)2-2

=196-2

=194

 

প্রশ্ন ৭ঃ  m = 6, n = 7 হলে, 16(m2 + n 2 )2 + 56(m2 + n 2)(3m2 - 2n 2) + 49(3m2 - 2n 2)2 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, m2+n2=a

এবং 3m2-2n2=b

প্রদত্ত রাশি=16(m2 + n2)2 + 56(m2 + n2)(3m2 - 2n2) + 49(3m2 - 2n2)2

                  = 16(a) 2 +56(a)(b) + 49(b) 2

= (4a)2 + 2(4a)(7b) + (7b)2

= (4a + 7b)2

= {4(m2 + n2 ) + 7(3m2 - 2n2 )}2   [মান বিসেয়]

= {4m2 + 4n2 + 21m2 - 14 n2}2

= {25m2 - 10 n2}2

= {25 * (6)2 - 10 * (7)2 )}2  [ m ও n এর মান বসিয়ে]

= {25 * 36 - 10 * 49}2

= {900 - 490}2

= {410}2

= 168100

 

প্রশ্ন ৮ঃ  a-1/a=mহলে, দেখাও যে, a4+1/a4=m4+4m2+2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-1/a=m

দেখাতে হবে যে, a4+1/a4=m4+4m2+2

বাম্পক্ষ= a4+1/a4

                =(a2)2+(1/a2)2

            =(a2+1/a2)2-2*a2*1/a2

            ={(a-1/a)2+2*a*1/a}2-2

            ={(m)2+2}2-2              [মান বসিয়ে]

            =(m2)2+2*m2*2+22-2

            =m4+4m2+4-2

            =m4+4m2+2

=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

 

প্রশ্ন ৯ঃ x-1/x=4 হলে, প্রমান কর যে, x2+(1/x)2=18

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,  x-1/x=4

প্রমান করতে হবে যে, x2+(1/x)2=18

বামপক্ষ= x2+(1/x)2

                =(x-1/x)2+2*x*1/x

            =(4)2+2          [মান বসিয়ে]

            =16+2

            =18

=ডানপক্ষ (প্রমানিত)।


প্রশ্ন ১০ঃ m+1/m=2 হলে, প্রমান কর যে, m4+1/m4=2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, m+1/m=2

প্রমান করতে হবে যে, m4+1/m4=2

বামপক্ষ= m4+1/m4

=(m2)2+(1/m2)

=(m2+1/m2)2-2*m2*1/m2

={(m+1/m)2-2*m*1/m}2-2

={(2)2-2)}2-2   [মান বসিয়ে]

=22-2

=4-2

=2

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত] 

 

প্রশ্ন ১১ঃ x+y=12 এবং xy=27 হলে, (x-y)2 ও x2+y2 এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x+y=12 এবং xy=27

প্রথম রাশি=(x-y)2

                        =(x+y)2-4xy

                        =(12)2-4*27

                        =144-108

                        =36

এবং দ্বিতীয় রাশি= x2+y2          

                        =(x+y)2-2xy

                        =(12)2-2*27

                        =144-54

                        =90

 

প্রশ্ন ১২ঃ a+b=13 এবং a-b=3 হলে, 2a2+2b2 ও ab এর মান নির্নয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=13 এবং a-b=3

প্রথম রাশি=2a2+2b2

            =2(a2+b2)

            =(a+b)2+(a-b)2

            =(13)2+32

                =169+9         

            =178

দ্বিতীয় রাশি= ab

            ={(a+b)/2}2-{(a-b)/2}2

            =(13/2)2-(3/2)2

            =169/4-9/4

            =160/4

            =40

 

প্রশ্ন ১৩ঃ দুইটি রাশির বর্গের অন্তর রুপে প্রকাশ করঃ

(ক) (5 p - 3q)( p + 7q)          (খ) (6a + 9b)(7b - 8a)

(গ) (3x +5 y)(7x - 5 y)           (ঘ) (5x +13)(5x -13)

 

(ক) (5 p - 3q)( p + 7q)

সমাধানঃ

আমরা জানি, ab={(a+b)/2}2-{(a-b)/2}2

∴(5 p - 3q)( p + 7q) =[{(5 p - 3q)+( p + 7q)}/2]2- [{(5 p - 3q)-( p + 7q)}/2]2

                                    =[{5 p - 3+ p + 7q}/2]2- [{5 p - 3q-p - 7q}/2]2

                                    =[{6p + 4q}/2]2- [{4p - 10q}/2]2

                                    =[2{3p + 2q}/2]2- [2{2p - 5q}/2]2

                                     ={3p + 2q}2- {2p - 5q}2

(খ) (6a + 9b)(7b - 8a)

আমরা জানি, ab={(a+b)/2}2-{(a-b)/2}2

∴(6a + 9b)(7b - 8a)= =[{(6a +9b)+( 7b – 8a)}/2]2- [{(6a +9b)-( 7b -8a)}/2]2

=[{6a +9b+7b – 8a}/2]2- [{6a +9b- 7b +8a}/2]2

=[{16a  – 2a}/2]2- [{14a +2b}/2]2

=[2{8a  – a}/2]2- [2{7a +b}/2]2

={8a  – a}2- {7a +b}2

 

(গ) (3x +5 y)(7x - 5 y)

আমরা জানি, ab={(a+b)/2}2-{(a-b)/2}2

∴(3x +5 y)(7x - 5 y) =[{(3x +5y)+( 7x – 5y)}/2]2- [{(3x +5y)-( 7x -5y)}/2]2

                          =[{3x +5y+7x – 5y}/2]2- [{3x +5y- 7x +5y}/2]2

=[{10x}/2]2- [{-4x +10y}/2]2

={5x}2- [-2{2x -5y}/2]2

={5x}2- {2x -5y}2

 

(ঘ) (5x +13)(5x -13)

সমাধানঃ

আমরা জানি, ab={(a+b)/2}2-{(a-b)/2}2

∴(5x +13)(5x -13) =[{(5x +13)+( 5x – 13)}/2]2- [{(5x +13)-( 5x -13)}/2]2

=[{5x +13+5x – 13}/2]2- [{5x +13- 5x +13}/2]2

=[{10x}/2]2-(26/2)2

=(5x)2-(13)2

Tags: Class 8 Math, JSC Math, অষ্টম শ্রেণি গণিত
Make CommentWrite Comment