প্যাটার্ন – Class 8 Math BD 2026 – ১ম অধ্যায় [ঐঃ ক্রমিক সংখ্যা, বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ, ম্যাজিক বর্গ, কতম পদ ]

প্যাটার্ন

বন্ধুরা, এটি নতুন বইয়ের (২০২৬) অনুসারে সমাধান যুক্ত করা হলো। তোমরা প্যাটার্ন বিষয়ক ৮ম শ্রেণির সকল প্রশ্নের সমাধান এখানে পাবে।

অধ্যায়-১: প্যাটার্ন

১. নিচের কোন ফলাফলটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা?

(ক) ৫২ + ২৫  

(খ) ২৭৭ + ৭২৫ 

(গ) ৪১২ + ২৩৪

(ঘ) ৭৫ – ৫৭

উত্তরঃ ঘ

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট যেকোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করা হলে প্রাপ্ত বিয়োগফল ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। শর্তানুসারে, ৭৫ – ৫৭ = ১৮; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

২. ‘ক’ সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

(ক) ক

(খ) ২ক – ১

(গ) ক^২ 

(ঘ) ২ক + ১    

উত্তরঃ গ

৩. প্রথম তিনটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল একটি—

iii. মৌলিক সংখ্যা  ii. বিজোড় সংখ্যা  i. পূর্ণবর্গ সংখ্যা

নিচের কোনটি সঠিক?

(ঘ) i, ii ও iii  (গ) ii ও iii  (খ) i ও iii  (ক) i ও ii

উত্তরঃ ক

৪. তালিকার পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য বের করা এবং পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করা।

(ক) ৭, ১২, ১৭, ২২, ২৭, ...

(খ) ৬, ১৭, ২৮, ৩৯, ৫০, ...

সমাধান:

(ক) তালিকার সংখ্যাগুলো: ৭, ১২, ১৭, ২২, ২৭, ...

পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য: ২৭−২২=৫  ২২−১৭=৫  ১৭−১২=৫  ১২−৭=৫

প্রত্যেকটেই দেখা যাচ্ছে, তালিকার পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য ৫ (উত্তর)।

∴ তালিকার ৬ষ্ঠ পদ = ২৭ + ৫ = ৩২

এবং ৭ম পদ = ৩২ + ৫ = ৩৭

∴ তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা ৩২ ও ৩৭ (উত্তর)

(খ) প্রদত্ত তালিকার সংখ্যাগুলো: ৬, ১৭, ২৮, ৩৯, ৫০, ...

পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য: ৫০−৩৯=১১  ৩৯−২৮=১১  ২৮−১৭=১১  ১৭−৬=১১

প্রত্যেকটিতেই দেখা যাচ্ছে, তালিকার পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য ১১ (উত্তর)।

∴ তালিকার ৬ষ্ঠ পদ = ৫০ + ১১ = ৬১

এবং ৭ম পদ = ৬১ + ১১ = ৭২

∴ তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা ৬১ ও ৭২ (উত্তর)

৫. নিচের সংখ্যা প্যাটার্নগুলোর মধ্যে কোনো মিল রয়েছে কি? প্রতিটি তালিকার পরবর্তী সংখ্যা নির্ণয় করা।

(ক) ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ... (খ) ৪, ৮, ৫, ৬, ১১, ...

সমাধান:

‘ক’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটি: ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ...

‘খ’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটি: ৪, ৪, ৫, ৬, ৮, ১১, ...

‘খ’ এর প্যাটার্নটির জন্য, ১ম পদ = ৪ = ১ + ৩; ২য় পদ = ৪ = ১ + ৩; ৩য় পদ = ৫ = ২ + ৩; ৪র্থ পদ = ৬ = ৩ + ৩; ৫ম পদ = ৮ = ৫ + ৩; ৬ষ্ঠ পদ ১১ = ৮ + ৩;

দেখা যাচ্ছে, ‘খ’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রতিটি পদ, ক্রমানুসারে ‘ক’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রতিটি পদ অপেক্ষা ৩ বেশি।

সুতরাং সংখ্যা প্যাটার্নগুলোর মধ্যে মিল বিদ্যমান। (উত্তর)

∴ ‘খ’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির পরবর্তী পদ অর্থাৎ, ৭ম পদ = ‘ক’ এর বর্ণিত প্যাটার্নটির ৭ম পদ + ৩ = ১৩ + ৩ = ১৬ (উত্তর)

আবার, ‘ক’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির ৩য় পদ থেকে প্রতিটি পদের মান, তার পরবর্তী দুইটি পদের সমষ্টির সমান।

∴ ‘ক’ এর বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির পরবর্তী পদ

অর্থাৎ, ৮ম পদ = ৮ + ১৩ = ২১ (উত্তর)

৬. ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ... ... ...

ক. ২৯ ও ৩৭ কে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করো।

খ. তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা নির্ণয় করো।

গ. তালিকার প্রথম ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক. ২৯ ও ৩৭ কে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা হয়েছে:

২৯ = ২৫ + ৪ = ৫² + ২² (উত্তর)

৩৭ = ৩৬ + ১ = ৬² + ১² (উত্তর)

খ. দেওয়া আছে,

তালিকার সংখ্যাগুলো: ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ...

পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য: ৮, ৮, ৮, ৮ ...

সুতরাং তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হবে —

৩৭ + ৮ = ৪৫

৪৫ + ৮ = ৫৩

৫৩ + ৮ = ৬১

৬১ + ৮ = ৬৯

তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা: ৪৫, ৫৩, ৬১, ৬৯ (উত্তর)

গ. তালিকার প্রথম সংখ্যা = ৫ = (৮ × ১) − ৩

দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৩ = (৮ × ২) − ৩

তৃতীয় সংখ্যা = ২১ = (৮ × ৩) − ৩

দেখা যাচ্ছে, প্রতিবার সংখ্যাগুলো (৮ক − ৩) আকারে পাওয়া যাচ্ছে, যেখানে ক স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ ৫০তম সংখ্যা = (৮ × ৫০) − ৩ = ৪০০ − ৩ = ৩৯৭

এবং পদসংখ্যা = ৫০

সমষ্টি = (প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) × পদ সংখ্যা / ২

= (৫ + ৩৯৭) × ৫০ / ২

= ৪০২ × ২৫ = ১০০৫০ (উত্তর)

অনুশীলনীর নমুনা প্রশ্ন ও সমাধান

#বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. ৯৯৯৯ কোন বিজগণিতীয় রাশির শততম পদ?

(ক) ৯৯ক + ১  (খ) ৯৯ক − ১

(গ) ক² + ১  (ঘ) ক² − ১

উত্তরঃ ঘ

২. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত কতটি সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়?

(ক) ১০টি  (খ) ২০টি  (গ) ৩৫টি  (ঘ) ৫০টি

উত্তরঃ গ

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১০ এর মধ্যে ৪টি (২, ৫, ৮, ১০); ১১ থেকে ২০ এর মধ্যে ৪টি (১৩, ১৭, ১৮, ২০); ২১ থেকে ৩০ এর মধ্যে ৩টি (২৫, ২৬, ২৯); ৩১ থেকে ৪০ এর মধ্যে ৪টি (৩২, ৩৭, ৩৮, ৪০); ৪১ থেকে ৫০ এর মধ্যে ৩টি (৪১, ৪৫, ৫০); ৫১ থেকে ৬০ এর মধ্যে ৩টি (৫২, ৫৩, ৫৭, ৫৮); ৬১ থেকে ৭০ এর মধ্যে ৩টি (৬১, ৬৫, ৬৮); ৭১ থেকে ৮০ এর মধ্যে ৪টি (৭২, ৭৩, ৭৪, ৮০); ৮১ থেকে ৯০ এর মধ্যে ৪টি (৮২, ৮৫, ৮৯, ৯০); ৯১ থেকে ১০০ এর মধ্যে ৩টি (৯৭, ৯৮, ১০০);

১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মোট ৩৫টি।

৩. প্রথম নয়টি স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠনে—

i. ম্যাজিক সংখ্যা হবে ১৫

ii. কেন্দ্রে ছোট বর্গফলকে সংখ্যাটি হবে ৫

iii. ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রগুলোতে ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা বসানো থাকে

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

ব্যাখ্যাঃ ৩ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ:

| ২ | ৯ | ৪ |

| ৭ | ৫ | ৩ |

| ৬ | ১ | ৮ |

ক্ষুদ্র বর্গফলগুলোতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো বসানো আছে। পাশাপাশি, উপর-নিচ ও কোনাকুনি যোগ করলে, প্রতিবার যোগফল ১৫ হয়।

নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:

৪. ম্যাজিক বর্গটির ম্যাজিক সংখ্যা কত?

(ক) ১৫ (খ) ৩৪ (গ) ৩৬ (ঘ) ৪৫

উত্তরঃ ঘ

ব্যাখ্যাঃ ম্যাজিক বর্গে পাশাপাশি, উপর-নিচ ও কোনাকুনি যোগ করলে প্রতিবার যোগফল ৪৫ হয়।

৫. ‘ক’ চিহ্নিত স্থানে উপযুক্ত সংখ্যাটি কত?

(ক) ৪৫ (খ) ২০ (গ) ১৫ (ঘ) ৩

উত্তরঃ গ

ব্যাখ্যাঃ ম্যাজিক বর্গটিতে পাশাপাশি, উপর-নিচ কোনাকুনি যোগ করলে যোগফল সর্বদা ৪৫ হয়।

শর্তমতে, ১৯ + ক + ১১ = ৪৫ যা, ক + ৩০ = ৪৫ ∴ ক = ১৫

সৃজনশীল প্রশ্ন

৬.

□ - ১ম চিত্র

□□□ - ২য় চিত্র 

□□□□□ - ৩য় চিত্র

… … … ক তম চিত্র

সমান দৈর্ঘ্যের কাঠি দ্বারা নির্মিত চিত্র প্যাটার্নটির ১৫তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা ৮৮

ক. প্যাটার্নটির পরবর্তী চিত্রটি একে এর কাঠি সংখ্যা নির্ণয় করো।

খ. প্যাটার্নটির “ক” তম চিত্রে কাঠি সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র গঠন করে ২১তম পদ নির্ণয় করো।

গ. প্রথম ১৫টি চিত্রের শেষ ১২টি চিত্র তৈরি করতে প্রয়োজনীয় কাঠি সংখ্যা নির্ণয় করো।

৬ নং উদ্দীপকের সমাধানঃ

ক. উদ্দীপকের আলোকে পরবর্তী চিত্রটি নিম্নরূপ—

□□□□□□□

প্যাটার্নটির পরবর্তী চিত্রের কাঠি সংখ্যা ২২ (উত্তর)

খ. ১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৪ = ৬ – ২ = ৬ × ১ – ২

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১০ = ১২ – ২ = ৬ × ২ – ২

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১৬ = ১৮ – ২ = ৬ × ৩ – ২

একইভাবে “ক” তম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা = ৬ক – ২

∴ প্যাটার্নটি (৬ক – ২) বীজগণিতিক রাশির দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

∴ ২১ তম পদ = ৬ × ২১ – ২ = ১২৬ – ২ = ১২৪ (উত্তর)

গ. ‘খ হতে পাই,

প্যাটার্নটির বীজগণিতিক রাশি (৬ক − ২)

∴ ১৫তম চিত্র তৈরিতে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = ৬ × ১৫ − ২

= ৯০ − ২ = ৮৮

এখন, প্যাটার্নটির ১ম ১৫টি চিত্রে মোট কাঠির সংখ্যা

= ৪ + ১০ + ১৬ + ২২ + … + ৮৮

এখানে, ১ম পদ = ৪, শেষ পদ = ৮৮ এবং পদ সংখ্যা = ১৫

∴ সমষ্টি = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) × পদসংখ্যা / ২

= (৪ + ৮৮) × ১৫ / ২ = ৪৬ × ১৫ = ৬৯০

আবার,

প্রথম তিনটি চিত্রের মোট কাঠির সংখ্যা = (৪ + ১০ + ১৬)

= ৩০

∴ প্রথম ১৫টি চিত্রের শেষ ১২টি চিত্র তৈরিতে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = ৬৯০ − ৩০ = ৬৬০টি (উত্তর)

৭. ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ ……… সংখ্যা প্যাটার্নের “ক”তম পদ কত।

ক. দেখাও যে, ৬৯ সংখ্যাটি এবং এর অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তার যোগফল ১১ এর গুণিতক।

খ. সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

গ. সংখ্যা প্যাটার্নটির পাশাপাশি দুইটি পদের যোগফল থেকে যে নতুন প্যাটার্নটি পাওয়া যায় তার (ক − ২)তম পদ নির্ণয় করো।

৭ নং প্রশ্নের সমাধানঃ

ক. ৬৯ সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় ৯৬।

এদের যোগফল = ৬৯ + ৯৬ = ১৬৫ = ১১ × ১৫

অতএব, ১৬৫ সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, ৬৯ সংখ্যাটি এবং এর অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তার যোগফল ১১ এর গুণিতক। (দেখানো হলো)

খ. দেওয়া আছে, প্যাটার্নের ‘ক’ তম পদ ৩ক

∴ প্যাটার্নটির ২০তম পদ = ৩ × ২০ = ৬০

প্যাটার্নের সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৩ + ৬ + ৯ + ১২ + ১৫ + … + ৬০

এখানে, ১ম পদ = ৩, শেষ পদ = ৬০ এবং পদসংখ্যা = ২০

∴ সমষ্টি = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) × পদসংখ্যা / ২

= (৩ + ৬০) × ২০ / ২ = ৬৩০

∴ সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি ৬৩০ (উত্তর)

গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো

৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ …

পাশাপাশি দুইটি পদের যোগফল ৯, ১৫, ২১, ২৭, …

সুতরাং নতুন প্যাটার্ন ৯, ১৫, ২১, ২৭, …..

১ম সংখ্যা = ৯ = ৬ + ৩ = ৬ × ১ + ৩

২য় সংখ্যা = ১৫ = ১২ + ৩ = ৬ × ২ + ৩

৩য় সংখ্যা = ২১ = ১৮ + ৩ = ৬ × ৩ + ৩

একইভাবে, ক তম পদ = ৬ × ক + ৩ = ৬ক + ৩

∴ (ক − ২) তম পদ = ৬ × (ক − ২) + ৩ = ৬ক − ১২ + ৩ = ৬ক − ৯ (উত্তর)

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৮. (ক) (৪ক − ১) বীজগণিতীয় রাশির সংখ্যা প্যাটার্ন নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত বীজগণিতীয় রাশি = ৪ক − ১

যেখানে, ক = ১, ২, ৩, ৪, ……

∴ প্যাটার্নটির, প্রথম পদ = ৪ × ১ − ১ = ৩

দ্বিতীয় পদ = ৪ × ২ − ১ = ৭; তৃতীয় পদ = ৪ × ৩ − ১ = ১১

চতুর্থ পদ = ৪ × ৪ − ১ = ১৫; …………………

∴ নির্দেশ সংখ্যা প্যাটার্ন ৩, ৭, ১১, ১৫, ………… (উত্তর)

(খ) ১৩০ কে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করো।

সমাধান:

১৩০ কে দুইটিভাবে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা হলো:

১৩০ = ৯ + ১২১ = ৩² + ১১²

১৩০ = ৪৯ + ৮১ = ৭² + ৯² (উত্তর)

(গ) ১৪, ১৭, ২০, …… প্যাটার্নটির পরবর্তী দুইটি পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো ১৪, ১৭, ২০, …

পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ৩, ৩

লক্ষ করি, প্রতিবার পার্থক্য ৩। অতএব, পরবর্তী দুইটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে ২০ + ৩ = ২৩ ও ২৩ + ৩ = ২৬। (উত্তর)

(ঘ) ৫, ৭, ৯, ১১, …… সংখ্যাগুলোর প্যাটার্নের বীজগণিতীয় রাশি নির্ণয় করো।

সমাধান:

১ম সংখ্যা = ৫ = ২ + ৩ = ২ × ১ + ৩

২য় সংখ্যা = ৭ = ৪ + ৩ = ২ × ২ + ৩

৩য় সংখ্যা = ৯ = ৬ + ৩ = ২ × ৩ + ৩

৪র্থ সংখ্যা = ১১ = ৮ + ৩ = ২ × ৪ + ৩

একইভাবে, ‘ক’ তম সংখ্যা = ২ × ক + ৩ = ২ক + ৩; যেখানে ‘ক’স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ প্যাটার্নগুলো (২ক + ৩) বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়। (উত্তর)

(ঙ) (৩ক + ২) বীজগণিতীয় রাশির সংখ্যা প্যাটার্নের ৫৫তম পদ নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত বীজগণিতীয় রাশি = ৩ক + ২; যেখানে ‘ক’স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ প্যাটার্নের ৫৫তম পদ = ৩ × ৫৫ + ২ = ১৬৫ + ২ = ১৬৭ (উত্তর)