সরলরেখার ঢাল (Gradient or slope of a straight line)-SSC Higher Math BD–Chapter 11.3
সরলরেখার ঢাল ও সমরেখ
১. নিন্মের প্রতিটি ক্ষেত্রে A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল নির্ণয়
কর।
ক) A(5,-2) এবং
B(2,1)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(5,-2) এবং
B(2,1)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল
ওঠা
y2-y1
1-(-2)
3
= - 1 (Ans.)
খ) A(3,5) এবং
B(-1,-1)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(3,5) এবং
B(-1,-1)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
ওঠা
y2-y1
-1-5
-6
= 3/2
(Ans.)
গ) A(t,t) এবং
B(t2,t)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(t,t) এবং
B(t2,t)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
ওঠা
y2-y1
t-t
0
= 0 (Ans.)
ঘ) A(t,t+1) এবং
B(3t,5t+1)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(t,t+1) এবং
B(3t,5t+1)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
ওঠা
y2-y1
5t+1-(t+1)
4t
= 2 (Ans.)
২. A(t,1),
B(2,4) এবং C(1,t) তিনটি ভিন্ন বিন্দু সমরেখ হলে t এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(t,1),
B(2,4) এবং C(1,t)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
y2-y1
4-1
3
এবং,
B ও C বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
y2-y1
t-4
t-4
=4-t
প্রশ্নানুসারে, A,B,C বিন্দু
তিনটি সমরেখ
অতএব, AB রেখার ঢাল = BC
রেখার ঢাল
3
বা, (4-t)(2-t) = 3
বা, 8-2t-4t+t2
= 3
বা, 8-6t+t2-3
= 0
বা, 5-6t+t2
= 0
বা, 5-5t-t+t2
= 0
বা, 5(1-t)-t(1-t) = 0
বা, (5-t)(1-t) = 0
বা, 5-t = 0 অথবা, 1-t = 0
বা, -t = -5 বা, -t = -1
বা, t = 5 বা, t = 1
এখন, t=1 হলে A ও C একই বিন্দু
হবে বিধায় t = 1 হবে না।
অতএব, t = 5 (Ans.)
৩. দেখাও যে,
A(0,-3), B(4,-2) এবং C(16,1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(0,-3),
B(4,-2) এবং C(16,1)
অতএব,
A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
y2-y1
-2+3
= ¼
এবং,
B ও C বিন্দুগামী সরলরেখার
ঢাল
y2-y1
1+2
3
= ¼
দেখা যাচ্ছে, AB রেখার ঢাল
= BC রেখার ঢাল।
অতএব, A, B, C বিন্দু তিনটি
সমরেখ (দেখানো হলো।
৪. A(1,-1),
B(t,2) এবং C(t2,t+3) সমরেখ হলে t এর সম্বাব্য মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(1,-1),
B(t,2) এবং C(t2,t+3)
এখানে, AB এর ঢাল
y2-y1
2+1
3
এবং BC রেখার ঢাল
y2-y1
t+3-2
t+1
প্রশ্নানুসারে, A,B,C বিন্দু
তিনটি সমরেখ
অতএব, AB রেখার ঢাল =
BC রেখার ঢাল
3
t+1
বা, (t-1)(t+1) =
3t(t-1)
বা, (t-1)(t+1) -
3t(t-1) = 0
বা, (t-1)(t+1-3t) = 0
বা, (t-1)(1-2t) = 0
বা, t-1 = 0 অথবা, 1-2t = 0
বা, t = 1 বা, 2t = 1
বা, t = ½
অতএব, সম্ভাব্য মানসমূহ
1, ½ (Ans.)
৫. A(3,3p) এবং
B(4,p2+1) বিন্দুগামী রেখার ঢাল -1 হলে p এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A(3,3p) এবং B(4,p2+1)
বিন্দুগামী রেখার ঢাল
y2-y1
p2+1-3p
= p2-3p+1
প্রশ্নানুসারে,
p2-3p+1 = -1
বা, p2+3p+2
= 0
বা, p2+2p+p+2
= 0
বা, p(p+2)+1(p+2) = 0
বা, (p+1)(p+2) = 0
বা, p+1 = 0 অথবা, p+2 =0
বা, p = -1 বা, p = -2
অতএব p এর মান = 1, 2
(Ans.)
৬. প্রমাণ কর যে,
A(a,0), B(0,b) এবং C(1,1) সমরেখ হবে, যদি 1/a+1/b=1
হয়।
সমাধানঃ
ধরি, A(a,0), B(0,b) এবং
C(1,1) সমরেখ
তাহলে,
AB এর ঢাল = BC এর ঢাল
b-0
1-b
b 1-b
বা, -a(1-b) = b
বা, -a+ab = b
বা, ab = b+a
বা, 1 = 1/a
+ 1/b [উভয়পক্ষকে ab দ্বারা ভাগ করে]
বা, 1/a
+ 1/b = 1
অর্থাৎ A(a,0), B(0,b) এবং
C(1,1) সমরেখ হলে 1/a + 1/b = 1 হয় বিধায়
1/a + 1/b
= 1 হলে A(a,0), B(0,b) এবং C(1,1) সমরেখ হবে (প্রমাণিত)
৭. A(a,b) B(b,a) এবং C(1/a,1/b)
সমরেখ হলে প্রমাণ কর যে, a+b=0।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(a,b)
B(b,a) এবং C(1/a,1/b) সমরেখ
এখন,
AB এর ঢাল
a-b
a-b
= - 1
BC এর ঢাল
1/b-a
1-ab
1-ab
a
=a/b
এখন, A,B,C সমরেখ হলে,
AB এর ঢাল = BC এর ঢাল
বা, -1 = a/b
বা, a = -b
বা, a+b = 0 (প্রমাণিত)