ত্রিকোণমিতিক অনুপাতঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ প্রমাণ-SSC Higher Math BD-Chapter 8.2

SSC higher math solution pdf, ssc higher math note book, এসএসসি উচ্চতর গণিত, ত্রিকোণমিতিক অনুপাতঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ প্রমাণ, chapter 8.2 ssc higher,
Admin
Admin
02 August

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ প্রমাণ

১. ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে মান নির্ণয় করঃ

           cos π/4

ক) --------------------
       cos π/6+sin π/3

সমাধানঃ

      cos π/4

--------------------
  cos π/6+sin π/3

        1/√2

=------------------
     √3/2 + √3/2

         1/√2

=---------------
        2.√3/2

         1/√2

=---------------
          √3

=1/√2✕1/√3

=1/√6

খ) tan π/4+tan π/6.tan π/3

সমাধানঃ

tan π/4+tan π/6-tan π/3

=1+1/√3✕√3

=1+1

=2

২. cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2 হলে tanθ এবং sinθ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2

এখন,

cosθ = -4/5

বা, cos2θ = (-4/5)2

বা, cos2θ = 16/25

বা, 1-sin2θ = 16/25

বা, 1-16/25 = sin2θ

        25-16

বা, ---------- = sin2θ
         25

বা, 9/25 = sin2θ

বা, sinθ = ±3/5

যেহেতু π < θ < 3π/2,সেহেতু θ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে sin ঋণাত্মক

সেহেতু  sinθ = -3/5

আবার,

tanθ

     sinθ

=--------
     cosθ

     -3/2

=--------
     -4/5

= 3/4

৩. sinA = 2/√5 এবং  π/2 < A < π  এর ক্ষেত্রে cosA এবং tanA এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

sinA = 2/√5

বা, sin2A=4/5 [বর্গ করে]

বা, 1-cos2A=4/5

বা, 1-4/5=cos2A

বা, 1/5 = cos2A

বা, cosA = ±√1/5

বা, cosA = ± 1/√5

যেহেতু π/2 < A < π  তাই, A দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos ঋণাত্মক।

∴ cosA = - 1/√5

এবং

tanA

   sinA

=--------
   cosA

       2/√5

=----------
   - 1/√5

= - 2

৪. দেওয়া আছে, cosA = ½ এবং ও একই চিহ্নবিশিষ্ট । sinA এবং tanA এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

cosA = ½

বা, cos2A= ¼ [বর্গ করে]

বা, 1-sin2A = ¼

বা, 1- ¼ = sin2A

বা, sin2A=3/4

বা, sinA = ± √3/2

যেহেতু cosA ধণাত্মক সেহেতু sinA = √3/2

এবং,

tanA

    sinA

=---------
    cosA

    √3/2

=----------
      ½

= √3

৫. দেওয়া আছে, tanA=-5/12 এবং tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। sinA ও cosA এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

tanA=-5/12

বা, tan2A=25/144 [বর্গ করে]

বা, sec2A-1=25/144

বা, sec2A=25/144+1

বা, sec2A=169/144

বা, secA=±13/12 [বর্গমূল করে]

বা, cos=±12/13

যেহেতু, tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট

সেহেতু, cosA=12/13

আবার,

tanA

    sinA

=-----------
    cosA

∴ sinA=tanA.cosA

        =-5/12.12/13

        =-5/13  

৬. নিন্মলিখিত অভেদসমূহ প্রমাণ করঃ

ক) tanA+cotA=secAcosecA

সমাধানঃ

বামপক্ষ

tanA+cotA

=sinA/cosA+cosA/sinA

     sin2A+cos2A

=--------------------
       cosAsinA

           1

=---------------   [sin2A+cos2A=1]
       cosAsinA

=1/cosA+1/sinA

=secA.cosecA

=ডানপক্ষ

∴ tanA+cotA=secAcosecA

খ) এর সমাধানঃ




গ) এর সমাধানঃ


ঘ) sec4θ-sec2θ = tan4θ+tan2θ

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=sec4θ-sec2θ

=sec2θ(sec2θ-1)

=(1+tan2θ)(1+tan2θ-1) [sec2θ=1+tan2θ]

=(1+tan2θ)tan2θ

=tan4θ+tan2θ

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

ঙ) (secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ) = 1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ)

=(1/cosθ-cosθ)(1/sinθ-sinθ)(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)

   1-cos2θ  1-sin2θ  sin2θ+cos2θ

=---------.---------.--------------
   cosθ      sinθ      cosθsinθ

      sin2θ.cos2θ.1

=------------------------
   cosθ.sinθ.cosθsinθ

    sin2θ.cos2θ

=----------------
   cos2θsin2θ

= 1

= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

      tanθ+secθ-1

চ)------------------- = tanθ+secθ
      tanθ-secθ+1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

    tanθ+secθ-1

=---------------------
    tanθ-secθ+1

   (secθ+tanθ)-(sec2θ-tan2θ)

=--------------------------------
        tanθ-secθ+1

   (secθ+tanθ)-(secθ-tanθ)(secθ+tanθ)

=------------------------------------------
           tanθ-secθ+1

   (secθ+tanθ)(1-secθ+tanθ)

=---------------------------------
           1-secθ+tanθ

=secθ+tanθ

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

৭. যদি cosecA = a/b হয়, যেখানে a > b > 0, তবে প্রমাণ কর যে,

               ±b

tanA = -----------
            √(a2-b2)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosecA = a/b

বা, cosec2A=a2/b2 [বর্গ করে]

বা, 1+cot2A= a2/b2 [cosec2A-cot2A=1]

বা, cot2A= (a2/b2)-1

       1           a2-b2

বা, ------- = ---------
     tan2A         b2

                       b2

বা, tan2A = ------------
                      a2-b2

                     ±b

বা, tanA = -----------
               √(a2-b2)

                  ±b

∴tanA = ----------- [প্রমাণিত]
             √(a2-b2)

৮. যদি cosθ-sinθ = √2.sinθ হয়, তবে দেখাও যে, cosθ+sinθ=√2.cosθ

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosθ-sinθ = √2.sinθ

বা, cosθ=√2.sinθ+sinθ

বা, cosθ=sinθ(√2+1)

বা, (√2-1)cosθ=sinθ(√2+1)(√2-1)  [(√2-1) দ্বারা উভয়পক্ষে গুণ করে]

বা, √2cosθ-cosθ=(2-1)sinθ

বা, √2cosθ-cosθ=sinθ

বা, cosθ+sinθ=√2cosθ [দেখানো হলো]

৯. tanθ=x/y, x≠y হলে,

xsinθ+ycosθ

----------------
xsinθ-ycosθ

এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

tanθ=x/y

       sinθ        x

বা, ------- = -----
      cosθ        y

      x.sinθ          x.x

বা, ---------- = ------
      y.cosθ        y.y

[উভয়পক্ষকে x/y দ্বারা গুণ করে]

       x.sinθ        x2

বা, ---------- = ------
      y.cosθ        y2

      xsinθ+ycosθ       x2+y2

বা, ---------------- =--------
     xsinθ-ycosθ        x2-y2

[যোজন-বিয়োজন করে]

১০. tanθ+secθ=x হলে,

দেখাও যে,

               x2-1

sinθ = ---------
             x2+1  

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

tanθ+secθ=x

বা, sinθ/cosθ+1/cosθ=x

       1+sinθ

বা, ----------- =x
        cosθ

       (1+sinθ)2

বা, ------------- =x2
        cos2θ

[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

        (1+sinθ)2

বা, ------------- =x2
        1-sin2θ

[যেহেতু cos2θ=1-sin2θ]

       (1+sinθ)(1+sinθ)

বা, ----------------------- =x2
       (1-sinθ)(1+sinθ)

       (1+sinθ)

বা, ------------=x2
      (1-sinθ)

         1+sinθ+1-sinθ       x2+1

বা, ---------------------=----------
      1+sinθ-1+sinθ         x2-1

[যোজন-বিয়োজন করে]

           2           x2+1

বা, ---------=----------
       2sinθ        x2-1

                   x2-1

বা, sinθ =----------
                 x2+1

[দেখানো হলো]

১১. acosθ-bsinθ = c হলে, প্রামাণ কর যে, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

acosθ-bsinθ = c……..(i)

ধরি,

acosθ+bsinθ = x ………(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) বর্গ করে যোগ করে পাই,

a2cos2θ+b2sin2θ-2ab sinθ cosθ+a2sin2θ+b2cos2θ+2ab sinθ cosθ =c2+x2

বা, a2(sin2θ+cos2θ)+b2(sin2θ+cos2θ)=c2+x2

বা, a2.1+b2.1=c2+x2

বা, a2+b2=c2+x2

বা, x2=a2+b2-c2

বা, x=±√(a2+b2-c2)

বা, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2) [প্রমাণিত]

১২. মান নির্ণয় করঃ

ক) sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6

সমাধানঃ

sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6

= (½)2+(1/√2)2+(√3)2+(√3)2

= ¼+ ½ + 3 + 3

     1+2+12+12

=-------------------
           4

= 27/4

খ) 3tan2 π/4 - sin2 π/3 - ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4

সমাধানঃ

3tan2 π/4 - sin2 π/3 - ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4

=3.(1)2-(√3/2)2- ½(√3)2+ 1/3(√2)2

=3-3/4-3/2+2/3

    36-9-18+8

=-----------------
           12

=17/12

গ) tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6

সমাধানঃ

tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6

=(1)2-(√3/2)2.(1/√3)2.(√3)2.(1/√2)2

=1-3/4.1/3.3.1/2

=1-3/8

     8-3

=--------
      8

=5/8

       tan π/3 -tan π/6

ঘ)  --------------------
       1+tan π/3 tan π/6

+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6

সমাধানঃ

tan π/3 -tan π/6

--------------------
1+tan π/3 tan π/6

+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6

    √3-1/√3

=----------------
    1+√3.1/√3

    + ½.√3/2+√3/2.½

   3-1

   ------
   √3
=------+√3/4+√3/4
   1+1

   2/√3

=------+√3/4+√3/4
      2

=1/√3+√3/4+√3/4

=1/√3+2.√3/4

=1/√3+√3/2

   2+√3. √3

=-------------
    2. √3

     2+3

=----------
    2.√3

        5

=----------
    2.√3

     5.√3

=-------------
   2.√3. √3

     5.√3

=---------
     2.3 

     5.√3

=---------
      6

১৩. সরল করঃ

1-sin2 π/6           cos2 π/3+cos2 π/6

------------- ✕ -----------------------
1+sin2 π/4         cosec2 π/2-cot2 π/2

÷ (sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)

সমাধানঃ

[বিশেষ কারনে এখানে ভেঙ্গে ভেঙ্গে দেখানো হলো, ছাত্র-ছাত্রীরা একত্রে করবে]

1-sin2 π/6        

-------------
1+sin2 π/4        

  1 – (½)2       

=-------------
  1 + (1/√2)2       

   1 – ¼

=----------
   1 + ½

    ¾

=-------
    3/2

 =3/4✕2/3

= ½

আবার,

cos2 π/3+cos2 π/6

-----------------------
cosec2 π/2-cot2 π/2

   (½)2+(√3/2)2

=-------------------
        1-0       

= ¼ + 3/4

= 4/4

= 1

এবং,

(sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)

=(√3/2.1/√3)+{(2/√3)2-(1/√3)2}

= ½ + (4/3 -1/3)

= ½ + 3/3

= ½ + 1

অতএব, প্রদত্ত রাশি

= ½ ✕ 1 ÷ ½ + 1

= ½ ✕ 1 ✕ 2 + 1

= 1 + 1

= 2

Stay with us and help us to improve, thanks.

Tags: SSC Higher Math, উচ্চতর গণিত (SSC)
Make CommentWrite Comment