ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ SSC Higher Math BD-Chapter 4 (13-18) Part 2

ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ ব্যাসার্ধ, স্পর্শক, বহিঃস্পর্শ, বৃত্ত অঙ্কন

এই অনুশীলনীর পূর্বের অংশঃ

ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ SSC Higher Math BD-Chapter 4 (1-12) Part 1

১৩. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট বৃত্তকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে এবং অপর একটি বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার পরিধিতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু B এবং R কেন্দ্রবিশিষ্ট অপর একটি বৃত্ত। এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা B বিন্দু ও R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো বিন্দুকে স্পর্শ করে যায়।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) O, B যোগ করে F পর্যন্ত করি।

(b) B বিন্দু দিয়ে BD স্পর্শক আঁকি।

(c) BD এর উপর RP লম্ব আঁকি।

(d) PR কে এমন ভাবে বৃদ্ধি করি যেন R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

(e) E, B যোগ করি যা R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

(f) R, C যোগ করে বর্ধিত করি যেন OF কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।

(g) Q কে কেন্দ্র করে QC বা QB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

প্রমাণঃ

QB ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে অঙ্কিত বৃত্ত B বিন্দু স্পর্শ করে যাবে। এখন যদি QB=QC হয় তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত C বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।

△CER-এ CR=RE [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠RCE=∠REC…..(i)

আবার অঙ্কনানুসারে, BF।।DE এবং BE তাদের ছেদক বলে,

∠QBC=∠REC…..(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

∠RCE=∠QBC……(iii)

আবার অঙ্কনানুসারে, ∠BCQ=∠RCE…..(iv) [বিপ্রতীপ কোণ]

(iii) ও (iv) হতে পাই,

∠BCQ=∠QBC

বা, QB=QC

তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত C বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।

∴ ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

১৪. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাকে কোনো বিন্দুতে এবং একটি বৃত্তকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শ করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, PQ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে C একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা C বিন্দু ও PQ এর যেকোনো বিন্দুকে স্পর্শ করে যায়।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) O, C যোগ করি।

(b) C বিন্দুর স্পর্শক EM আঁকি যা PQ কে E বিন্দুতে ছেদ করে।

(c) ∠MEQ এর সমদ্বিখন্ডক রেখা EN আঁকি।

(d) OC কে R পর্যন্ত করি যা EN কে R বিন্দুতে ছেদ করে।

(e) R থেকে PQ এর উপর PA লম্ব আঁকি।

(f) R কে কেন্দ্র করে RA বা RC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।

প্রমাণঃ

R কেন্দ্র ও RC ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত C কে স্পর্শ করে যাবে এবং RC=RA হলে বৃত্তটি A বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।

এখন,

△ECR ও △EAR এ

∠ECR=∠EAR=90⁰ [RA⊥PQ ও OC⊥EM]

∠CER=∠AER [EN সমদ্বিখন্ডক রেখা]

ER সাধারণ বাহু

∴ △ECR ≅ △EAR

তাহলে, RC=RA

অর্থাৎ R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত C ও A কে স্পপর্শ করে যাবে।

তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।

১৫. ভিন্ন ভিন্ন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট এরুপ তিনটি বৃত্ত আঁক যেন তারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, তিনটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a, b ও c. এই ব্যাসার্ধগুলি দিয়ে তিনটি বৃত্ত আঁকতে হবে যেন এরা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) যেকোনো রেখা AD থেকে AB=a+b অংশ কেটে নিই।

(b) B কে কেন্দ্র করে b+c এবং A কে কেন্দ্র করে a+c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে  C বিন্দুতে ছেদ করে।

(c) A, C; B, C যোগ করি।

(d) A কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে; B কে কেন্দ্র করে b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং C কে কেন্দ্র করে  c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। তাহলে A, B ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।

প্রমানঃ

AB=a+b

তাহলে, A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।

BC=b+c

তাহলে, B ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।

AC=a+c

তাহলে, A ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।

অতএব, A, B, C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত তিনটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।

১৬. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের AB জ্যা এর P যেকোনো বিন্দু। P বিন্দু দিয়ে অপর একটি জ্যা CD অঙ্কন করতে হবে যেন CP²=AP.PB হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের AB জ্যা এর P যেকোনো বিন্দু দেওয়া আছে। P বিন্দু দিয়ে অপর একটি জ্যা CD অঙ্কন করতে হবে যেন CP²=AP.PB হয়।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) O, P যোগ করি।

(b) P বিন্দুতে OP এর উপর PC লম্ব আঁকি যা বৃত্তের পরিধিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

(c)  CP কে D পর্যন্ত বর্ধিত করে CD জ্যা আঁকি। তাহলে CD-ই নির্ণেয় জ্যা।

প্রমাণঃ

প্রমাণের জন্য C, A; B, D যোগ করি।

এখন, △CAP ও △BDP এর মধ্যে,

∠CAP=∠BDP [বৃত্তের একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ]

∠ACP=∠ABD [বৃত্তের একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ]

∠APC=∠BPD [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ △CAP ও △BDP সদৃশকোণী তথা সদৃশ

তাহলে,

CP          AP

------ = --------

PB          DP

বা, CP.DP=AP.PB

বা, CP.CP=AP.PB [OP⊥CD বলে CP=DP; জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

বা, CP²=AP.PB

তাহলে, CD-ই নির্ণেয় জ্যা।

১৭. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 5 সেমি এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

অঙ্কিত চিত্র নিন্মরুপঃ

খ) ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করে ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে অর্থাৎ এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ A, B ও C দিয়ে যায়। এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) AB ও AC এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EM ও FN আঁকি। লম্ব সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

(b) O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত-ই হলো ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত।

পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়ঃ

ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি।

তাহলে,

△ABD-এ

AB²=BD²+AD²

বা, b²=(a/2)²+AD²

বা, 6²=(5/2)²+AD²

বা, AD²=6²-(2.5)²

বা, AD²=36-6.25

বা, AD²=29.75

বা, AD=5.45 সেমি।

আবার, △ABC-এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে,

AB.AC=2R.AD [ব্রক্ষ্ম গুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, 2R✕5.45=6✕6

বা, R=36/10.9

বা, R=3.3 সেমি

∴ ত্রিভুজটির ব্যাসার্ধ= 3.3 সেমি।

গ) এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা পূর্বে অঙ্কিত পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান একটি বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু Q দিয়ে যায়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

পূর্বে অঙ্কিত পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3.3 সেমি এর সমান একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র C ও পরিধিতে নির্দিষ্ট একটি বিন্দু P এবং বৃত্তের বহিস্থ একটি বিন্দু Q। একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা P ও Q কে স্পর্শ করে যাবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) P, Q যো গ করি।

(b) PQ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক রেখা AB আঁকি।

(c) C, P যোগ করে বর্ধিত করি যা AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে।

(d) O কে কেন্দ্র করে OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।

প্রমাণঃ

O, Q যোগ করি।

AB রেখা PQ এর লম্বসমদ্বিখন্ডক বলে, △POR ও △QOR উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে

PR=QR [AB লম্ব সমদ্বিখন্ডক বলে]

OR সাধারণ বাহু।

∠ORP=∠ORQ=90⁰ [অঙ্কনানুসারে]

∴ △POR ≅ △QOR

তাহলে, OP=OQ

অর্থাৎ, OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত যেমন P বিন্দুকে স্পর্শ করে তেমনি Q কে ও স্পর্শ করবে।

তাহলে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।

১৮. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং O হতে 5 সেমি দূরে T বিন্দু অবস্থিত।

ক) তথ্যানুসারে চিত্র আঁক।

সমাধানঃ

তথ্যানুসারে অঙ্কিত বৃত্ত নিন্মরুপঃ

খ) T হতে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে ও বহিস্থ T একটি বিন্দু। T হতে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(a) O, T যোগ করি।

(b) OT এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক AB আঁকি যা OT কে M বিন্দুতে ছেদ করে।

(c) M কে কেন্দ্র করে OM বা MT এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি যা O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

(d) P, T; Q, T যোগ করি। তাহলে PT ও QT নির্ণেয় স্পর্শক।

প্রমাণঃ

P, O; Q, O যোগ করি। এখন বৃত্তের স্পর্শকের শর্তানুসারে, OP⊥PT ও OQ⊥QT হলে PT ও QT স্পর্শক হবে।

অঙ্কন অনুসারে, ∠OPT=∠OQT=90⁰ [কারণ M কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠OPT ও ∠OQT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ]

তাহলে PT ও QT নির্ণেয় স্পর্শক।

গ) পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রশ্নানুসারে, OT=5 সেমি; OP=OQ=3 সেমি।

∠OPT=∠OQT=90⁰ [কারণ M কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠OPT ও ∠OQT অর্ধবৃত্তস্থঃ কোণ ]

△OPT-এ

OT²=OP²+PT²

বা, 5²=3²+PT²

বা, PT²=5²-3²

বা, PT²=25-9

বা, PT²=16

বা, PT=4 সেমি।

একইভাবে, △OQT-হতে পাই, QT=4 সেমি।

∴ PT+QT=4+4 সেমি =8 সেমি।

∴ স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 8 সেমি।