SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৫ ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যা (13-18) Part 2
ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যা:
এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ
১৩.
ABC ত্রিভুজের ∠A=এক
সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC2+AD2=BD2+AC2.
সমাধানঃ
মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠A=এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, BC2+AD2=BD2+AC2.
প্রমাণঃ
△ABC
এর ∠A=এক
সমকোণ।।
∴ BC
অতিভুজ।
তাহলে, AC2+AB2=BC2……………..(i)
আবার, সমকোণী
△ADC এর
অতিভুজ BD
তাহলে, AB2+AD2=BD2
বা, AB2=BD2-AD2
AB2
এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
AC2+BD2-AD2=BC2
বা, AC2+BD2=BC2+AD2
বা, BC2+AD2=BD2+AC2
(প্রমাণিত)
১৪.
ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। BC এর অতিভুজ এবং P, BC এর উপর যেকোনো বিন্দু।
প্রমাণ কর যে, PB2+PC2=2PA2.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। এর AB-AC.
BC এর অতিভুজ এবং P, BC এর উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, PB2+PC2=2PA2.
অঙ্কনঃ
P থেকে AB এর
উপর PE ও AC এর উপর PD লম্ব টানি।
প্রমাণঃ
△BEP এ
∠BEP=900 [PE ⊥ AB]
PB2=BE2+EP2
=
△PDC এ
∠PDC=900 [PD ⊥ AC]
PC2=PD2+DC2
∴PB2+PC2=
BE2+EP2+ PD2+DC2
বা, PB2+PC2=(EP2+PD2)+(BE2+DC2)…………….(i)
এখন,
△ABC-এ
AB=AC এবং ∠BAC=900
∴∠ABC=∠ACB=450
△PDC-এ
∠DCP=450; ∠PDC=900 [PD ⊥ AC]
∴∠DPC=450
অর্থাৎ, DC=DP
বা, DC2=DP2……………(ii))
আবার,
AB=AC
বা, BE+AE=AD+DC
বা, BE+AE=AD+PD [DC=DP]
বা, BE+AE=AD+AE [যেহেতু, PE
⊥ AB; PD ⊥ AC সেহেতু
ADPE আয়তক্ষেত্রে AE=PD]
বা, BE=AD
বা, BE2=AD2……………(iii)
যেহেতু, PE
⊥ AB; PD ⊥ AC
সেহেতু ADPE আয়তক্ষেত্রে
AE=PD
বা, PD2=AE2…………….(iv)
(ii), (iii),
(iv) থেকে মান নিয়ে (i) নং এ বসিয়ে পাই,
PB2+PC2=(EP2+AE2)+(AD2+DP2)
=AP2+AP2
=2AP2
∴ PB2+PC2=2PA2
(প্রমাণিত)
১৫.
△ABC
এর ∠C
স্থূলকোণ। AD, BC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2+2BC.CD.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ABC এর ∠C
স্থূলকোণ। AD, BC এর বর্ধিতাংশ এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, AB2=AC2+BC2+2BC.CD.
প্রমাণঃ
△ACD-এ
∠ADC=900
∴ AC2=AD2+DC2
বা, AD2=AC2-DC2…………(i)
আবার,
△ABC-এ
∠ADC=900
AB2=AD2+BD2
=AC2-DC2+BD2
[(i) থেকে মান বসিয়ে]
=AC2-(BD-BC)2+BD2
=AC2-{BD2-2.BD.BC+BC2+BD2
=AC2-BD2+2BD.BC-BC2+BD2
=AC2-BC2+2BD.BC
=AC2-BC2+2(CD+BC)BC
=AC2-BC2+2.BC.CD+2.BC2
=AC2+BC2+2.BC.CD
∴AB2=AC2+BC2+2BC.CD
(প্রমাণিত)
১৬. △ABC এর ∠C সূক্ষ্মকোণ।
AD, BC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2-2BC.CD।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
△ABC
এর ∠C
সূক্ষ্মকোণ। AD, BC এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, AB2=AC2+BC2-2BC.CD
প্রমাণঃ
AD, BC এর উপর
লম্ব।
∴ △ABD এর ক্ষেত্রে পাই,
AB2=AD2+BD2…………(i)
এবং, △ADC এর ক্ষেত্রে পাই,
AC2=AD2+DC2
বা, AD2=AC2-DC2
এই মান (i)
নং এ বসিয়ে পাই,
AB2=AC2-DC2+BD2
=AC2-(AC2-AD2)+(BC-CD)2
=AC2-AC2+AD2+BC2-2BC.CD+CD2
=AC2+BC2-2BC.CD+(AD2+CD2)-AC2
= AC2+BC2-2BC.CD+AC2-AC2
= AC2+BC2-2BC.CD
∴AB2=AC2+BC2-2BC.CD
(প্রমাণিত)
১৭.
△PQR এ QD একটি মধ্যমা।
ক) উদ্দীপকের
আলোকে আনুপাতিক চিত্র আঁক।
সমাধানঃ
উদ্দীপকের আলোকে আনুপাতিক
চিত্র নিচে আঁকা হলোঃ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, △PQR
এ QD মধ্যমা
PR কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ2+QR2=2(PD2+QD2).
অঙ্কনঃ
PR এর উপর QM লম্ব
আঁকি।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, △PQM হতে পাই,
PQ2=PM2+QM2
বা, PQ2=(PD+DM)2+QD2-DM2
বা, PQ2=PD2+DM2+2.PD.DM+QD2-DM2
বা, PQ2=PD2 +QD2+2.PD.DM…………….(i)
এবং △QRM
হতে পাই,
QR2=QM2+MR2
বা, QR2=QD2-DM2+(DR-DM)2
বা, QR2=QD2-DM2+(PD-DM)2
[D, PR এর মধ্যবিন্দু কারন QD মধ্যমা]
বা, QR2=QD2-DM2+(PD-DM)2
বা, QR2=QD2-DM2+PD2+DM2-2.PD.DM
বা, QR2=QD2+PD2-2PD.DM…………(ii)
(i)+(ii) করে
পাই,
PQ2+QR2=PD2
+QD2+2.PD.DM+ QD2+PD2-2PD.DM
বা, PQ2+QR2=2PD2+2QD2
বা, PQ2+QR2=2(PD2+QD2)
[প্রমাণিত]
গ) যদি
PQ=QR=PR হয়, তাহলে প্রমাণ কর, 4PD2=3PQ2.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, △PQR
এ PQ=QR=PR এবং QD মধ্যমা PR কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, 4QD2=3PQ2
প্রমাণঃ
△PQR এ PQ=QR=PR এবং QD মধ্যমা ।
∴ QD ⊥ PR এবং PD=DR
এখন,
△PDQ-এ
PQ2=PD2+QD2
বা, QD2=PQ2-PD2
বা, QD2=PQ2- (½PR)2 [PD=DR]
বা, QD2=PQ2-
(½PQ)2 [PQ=QR=PR]
বা, 4QD2=4PQ2-4.¼.PQ2
[4 দ্বারা গুণ করে]
বা, 4QD2=4PQ2-.PQ2
বা, 4QD2=3PQ2 (প্রমাণিত)
১৮. ABCD
সামন্তরিকের AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=750। অপর একটি সামন্তরিক APML এর ∠LAP=600। △AED এর ক্ষেত্রফল ও
APML সামন্তরিকের
ক্ষেত্রফল, ABCD
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।
ক)
পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।
সমাধানঃ
পেন্সিল, কম্পাস
ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁকা
হলোঃ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ABCD সামন্তরিকের
AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=750। এমন একটি ত্রিভুজ AED আঁকতে হবে যেন তার ক্ষেত্রফল
সামন্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল এর সমান হয়।
অঙ্কনের
বিবরণঃ
1. B, D যোগ করি।
2. C বিন্দু দিয়ে
CE ।। BD আঁকি যা AB এর বর্ধিতাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
3. D, E যোগ করি।
তাহলে, △AED-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
গ)
APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD সামন্তরিকের AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=750। এমন একটি সামন্তরিক APML আঁকতে হবে যার ∠LAP=600 এবং ক্ষেত্রফল ABCD সামন্তরিকের সমান হয়।
অঙ্কনের বিবরণঃ
1. B, D যোগ করি।
2. C বিন্দু দিয়ে
CE ।। DB আঁকি যা AB এর বর্ধিতাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
3. AE এর মধ্যবিন্দু
P নির্ণয় করি যা B বিন্দুর সাথে মিলেযায় অর্থাৎ P বিন্দু B বিন্দুতে সমাপতিত হয়।
4. AB এর A বিন্দুতে
∠LAP=600 আঁকি
। AL, CD কে L
বিন্দুতে ছেদ করে।
5. AL ।।
PM আঁকি
যা CD এর
বর্ধিতাংশকে M বিন্দুতে
ছেদ করে।
তাহলে APML-ই নির্ণেয় সামন্তরিক।
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।