SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (11-16) Part 2
চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল:
এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ
১১. একটি ট্রাপিজিয়ামের
সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 8 সেমি এবং এদের লম্ব দূরত্ব 24 সেমি। যদি ট্রাপিজিয়ামের
ক্ষেত্রফল 312 বর্গ সেমি হয় তবে বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল
একটি বাহু x সেমি
∴ ট্রাপিজিয়ামের
সমান্তরাল অপর বাহু = x+8 সেমি
সমান্তরাল বাহু দুইটির
লম্ব দূরত্ব h= 24 সেমি।
এর ক্ষেত্রফল = 312 সেমি
প্রশ্নমতে,
½.24(x+x+8)=312
বা, 12(2x+8)=312
বা, 24x+96=312
বা, 24x=312-96
বা, 24x=216
বা, x=216/24
বা, x=9
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু
9 সেমি
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু 9+8=17 সেমি
১২. একটি ট্রাপিজিয়ামের
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সেমি ও 11 সেমি এবং অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য
যথাক্রমে 10 সেমি ও 12 সেমি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল
বাহু AB ও CD এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সেমি ও 11 সেমি এবং অপর দুই বাহুর AD=10 সেমি;
BC=12 সেমি। AB থেকে DC এর সমান করে AE অংশ কেটে নিই।
তাহলে, AE=CD=11 সেমি,
AD=CE=10 সেমি।
∴ BE=AB-AE=31-11=20
সেমি।
এখন, △BCE
এ
EB+BC+CE
=20+10+12
=42 সেমি
∴△BCE এর অর্ধ পরিসীমা s=42/2=21 সেমি
∴△BCE এর ক্ষেত্ররফল
=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} [a,b,c ত্রিভুজের বাহুত্রয়
এর দৈর্ঘ্য]
=√{21(21-20)(21-10)(21-12)}
=√21✕1✕11✕9
=√2079
=45.596 বর্গসেমি
আবার, CF , △BCE
এর উচ্চতা,
∴ ½✕ভুমি✕উচ্চতা = 45.596
বা, ½.20.CF=45.596
বা, 10CF=45.596
বা, CF=45.596/10
বা, CF=4.56 সেমি।
∴ ট্রাপিজিয়ামের
উচ্চতা=4.56 সেমি
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ½✕উচ্চতা✕সমান্তরাল
বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ½✕4.56✕(31+11)
= ½✕4.56✕42
=95.75 বর্গ সেমি।
১৩. একটি সুষম অষ্টভুজের
কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 1.5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴∠AOB=3600/8=450
O কেন্দ্র
বিশিষ্ট শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব, a=1.5 মিটার
∴ △AOB এর ক্ষেত্রফল
= ½✕a2✕sin450
= ½✕a2✕(1/√2)
a2
(1.5)2
=0.7955 বর্গমিটার
∴সুষম
অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল=8✕0.7955
= 6.364 বর্গ মিটার।
১৪. আয়তাকার একটি ফুলের
বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক
মাঝ দিয়ে 3 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে।
ক) উপরের তথ্যটি চিত্রের
সাহায্যে সংক্ষিপ্ত বর্ণনা দাও।
সমাধানঃ
খ) রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, বাগানের দৈর্ঘ্য=
150 মিটার
এবং বাগানের ক্ষেত্রফল
= 100 মিটার
∴বাগানের
ক্ষেত্রফল = 150✕100 =
15000 বর্গ মিটার।
আবার,
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য
= (150-3) মিটার = 147 মিটার
এবং রাস্তাবাদে বাগানের
প্রস্থ = (100-3) মিটার = 97 মিটার
∴ রাস্তাবাদে
বাগানের ক্ষেত্রফল = 147✕97 বর্গ
মিটার = 14259 বর্গ মিটার
এখন রাস্তার ক্ষেত্রফল
=বাগানের ক্ষেত্রফল-রাস্তাবাদে
বাগানের ক্ষেত্রফল
=15000-14259 বর্গ মিটার
=741 বর্গ মিটার
গ) রাস্তাটি পাকা করতে
25 সেমি দৈর্ঘ্য এবং 12.5 সেমি প্রস্থবিশিষ্ট কয়টি ইটের প্রয়োজন হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ইটের দৈর্ঘ্য = সেমি
এবং প্রস্থ = সেমি
ইটের ক্ষেত্রফল
= বর্গ সেমি
312.5
=0.03125 বর্গ মি
∴ রাস্তাটি
পাকা করতে ইটের প্রয়োজন
= রাস্তার ক্ষেত্রফল
÷
ইটের ক্ষেত্রফল
=741 ÷
0.03125
= 23712 টি।
১৫. নিচের চিত্রের তথ্য
থেকে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত চিত্রকে
A,B,C,D,E,F,H,G দ্বারা চিহ্নিত করি।
EFGH বর্গের প্রতি বাহুর
দৈর্ঘ্য = 22 সেমি।
A থেকে H বাহুর দূরত্ব
=12 সেমি।
তাহলে C হতে FG বাহুর
দূরত্ব 12 সেমি হবে।
সুতরাং, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য
= 22+12+12 সেমি = 46 সেমি।
আমরা জানি, কর্ণ d= √2a
[যেখানে a
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য]
বা,
a=d/√2
বা,
a=46/√2
বা,
a=23√2
∴ABCD
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (32√2)2=1058 বর্গ সেমি।
১৬. নিচের চিত্রের তথ্য
থেকে বহুভুজ সমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এ চিত্রে C বিন্দু হতে
CE⊥AB আঁকি।
△ABC এ
∠BCE=900
BE=AB-AE=AB-CD=4-2.4=1.6 সেমি।
সুতরাং পিথাগোরাসের
উপপাদ্য অনুসারে,
CE2+BE2=BC2
বা, CE2+(1.6)2=32
বা, CE2=9-2.56
বা, CE2=6.44
বা, CE=√6.44
বা, CE=2.54
∴
ADCE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=AE✕CE
=(2.4✕2.54) বর্গ সেমি
=6.096 বর্গসেমি।
△BCE এর
ক্ষেত্রফল
= ½✕BE✕CE
= ½✕1.6✕2.54 বর্গ সেমি
=2.032 বর্গ
সেমি
∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের
ক্ষেত্রফল
= ADCE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল+△BCE
এর ক্ষেত্রফল
=6.096+2.032 বর্গ সেমি
=8.128 বর্গ সেমি
২য় চিত্রেঃ
পাঠ্যবই এর ২য় চিত্রটি
অসম্পূর্ণ, তাই একে ট্রাপিজিয়ামের ধরে সমাধান করা হলোঃ
চিত্রানুযায়ী পাই,
ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়
AB=20 সেমি, DC=5 সেমি,
এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব AD=12 সেমি।
∴ ট্রাপিজিয়ামের
ক্ষেত্রফল
= ½✕(20+5)✕12
বর্গ সেমি
=6✕25 বর্গ সেমি
=150 বর্গ সেমি
৩য় চিত্রেঃ
△ABC এ
AC
বা, AC=BC.
tan∠ABC
বা, AC=√2.tan600
বা,
AC=√2. √3
বা,
AC=√6
∴△ABC এ ক্ষেত্রফল
= ½.BC.AC
= ½. √6.√2
= ½√12
=1.732 (প্রায়)
আবার,
△ADC এ
CD
বা, CD=AC.sin∠CAD
বা, CD=√6.sin300
বা,
CD=√6.½
বা,
CD= ½ . √6
এবং
AD
বা, AD=AC.cos∠CAD
বা, AD=√6.cos300
√3
√18
বা,
AD= ½.√18
∴△ADC এ ক্ষেত্রফল
= ½.AD.CD
= ½. ½.√18 .
½ .√6
=1.299 (প্রায়)
আবার,
△ADE
এ
DE
বা, DE=
AD.sin∠ADE
বা, DE=
½.√18.sin300
বা, DE= ½. √18.½
বা,
DE= ½.½.√18
এবং,
AE
বা, AE=AD.
cos∠ADE
বা, AE= ½.√18.cos300
বা,
AE= ½.√18.( √3/2)
বা,
AE= ½.√18. ½.√3
∴△ADE এ ক্ষেত্রফল
= ½.AE.DE
= ½. ½.√18.
½.√3. ½.½.√18
= 0.974
(প্রায়)
∴△ABCDE এ ক্ষেত্রফল
=∴△ABC
এ ক্ষেত্রফল+△ADC
এ ক্ষেত্রফল+△ADE
এ ক্ষেত্রফল
= 1.732 +1.299
+ 0.974
= 4.003
≈ 4 বর্গ সেমি।
৪র্থ
চিত্রেঃ
প্রদত্ত চিত্রে,
ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।
AB, BC, CD, AD
এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G ও H.
সুতরাং, উৎপন্ন
EFGH একটি বর্গক্ষেত্র।
∴ EF=FG=GH=HE=25 সেমি।
F, H যোগ করি। তাহলে
সমকোণী ত্রিভুজ FGH হতে,
FH2=FG2+GH2
বা, FH2=(25)2+(25)2
বা, FH2=625+625
বা, FH2=1250
বা, FH=√1250
বা,
FH=√(625✕2)
বা,
FH=25√2
যেহেতু, BC
ও AD
এর মধ্যবিন্দু F
ও H
এবং AB।।FH
সুতরাং, AB=FH=25√2
∴ABCD এর
ক্ষেত্রফল
=(25√2)2 বর্গ সেমি
=625✕2 বর্গ
সেমি
=1250 বর্গ
সেমি
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।