SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.২ গুণোত্তর ধারা (1-16) Part 1
গুণোত্তর ধারাঃ
১. a, b, c ও d সমান্তর
ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
c+d
b+c
b+d
a+c
উত্তরঃ গ
২. n ∈ N এর জন্য
n2+n
1
n2(n2+2n+1)
নিচের
কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) i ও iii
গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
log2+log4+log8+……..
৩. ধারাটির
সাধারণ অন্তর কোনটি?
ক) 2 খ) 4 গ) log2
ঘ) 2log2
উত্তরঃ গ
৪. ধারাটির
সপ্তম পদ কোনটি?
ক) log32 খ) log64 গ) log128
ঘ) log256
উত্তরঃ গ
৫. 64+32+16+8+……….ধারাটির
অষ্টম পদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,
এর প্রথম পদ a=64
সাধারণ অনুপাত r
32
1
ধারাটির অষ্টম পদ
= ar8-1
=64.( ½)7
64
64
1
৬.
3+9+27+……….ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,
এর প্রথম পদ a=3
সাধারণ অনুপাত r=9/3=3
এবং পদ সংখ্যা n=14
যেহেতু সাধারণ অনুপাত, 3>1
সমষ্টি S
a(rn-1)
3(314-1)
3(4782969-1)
3✕4782968
=7174452
৭. 128+64+32+……
ধারাটির কোন পদ ½
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,
এখানে, প্রথম পদ a= 128
সাধারণ অনুপাত r=64/128=½
প্রশ্নমতে,
arn-1=½
বা, 128.( ½)n-1=½
1
1 1
1 1
বা, n-1=8
বা, n=8+1
বা, n=9
∴ ধারাটির নবম পদ ½
৮. একটি
গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 2√3/9
এবং দশম পদ 8√2/81
হলে, ধারাটির তৃতীয় প্দ কত?
সমাধানঃ
মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
তাহলে, পঞ্চম পদ= ar5-1=ar4
এবং দশম পদ= ar10-1=ar9
|
∴
|
ar9
|
=
|
8√2 ----
81
|
……..(i)
|
|
|
ar4
|
=
|
2√3 -----
9
|
………(ii)
|
|
∴
|
ar9 ---
ar4
|
=
|
8√2 ----
81
--------
2√3
-----
9
|
|
|
বা,
|
r5
|
=
|
8√2 9 -----✕------
81 2√3
|
|
|
বা,
|
r5
|
=
|
4√2 -------
9√3
|
|
|
বা,
|
r5
|
|
(√2)4. √2 ------------
(√3)4. √3
|
|
|
বা,
|
r5
|
|
(√2)5 -------
(√3)5
|
|
|
বা,
|
r
|
=
|
√2 -----
√3
|
|
|
r এর মান (ii)
নং
এ বসিয়ে পাই, |
||||
|
|
(√2)4 a--------
(√3)4
|
=
|
2√3 -----
9
|
|
|
বা,
|
4 a--------
9
|
=
|
2√3 -----
9
|
|
|
বা, |
a.4 |
= |
2√3 |
|
|
বা,
|
a
|
=
|
2√3 -----
4
|
|
|
বা,
|
a
|
=
|
√3 ----
2
|
|
|
∴ধারাটির তৃতীয় পদ |
||||
|
= |
ar3-1 |
|
|
|
|
= |
ar2 |
|
|
|
|
=
|
√3 (√2)2 ----.------
2
(√3)2
|
|
|
|
|
=
|
√3 2 ----.----
2 3
|
|
|
|
|
=
|
√3 --------
√3. √3
|
|
|
|
|
=
|
1 -------
√3
|
|
|
|
৯.
(1/√2)-1+√2- ……….. ধারাটির
কোন পদ 8√2?
সমাধানঃ
ধরি, ধারাটির n
তম পদ=8√2
1
সাধারণ
অনুপাত, r=-√2
প্রশ্নমতে,
arn-1=8√2
1
বা,
(-√2)n-1=8√2✕√2
বা,
(-√2)n-1=8✕2
বা,
(-√2)n-1=16
(-√2)n
বা,
(-√2)n=16✕(-√2)
বা,
(-√2)n=(-√2)9
বা,
n=9
∴ধারাটির নবম পদ 8√2
১০.
5+x+y+135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত গুণোত্তর
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
মনে করি, সাধারণ
অনুপাত = r
তাহলে, দ্বিতীয়
পদ, ar2-1=ar=x
তৃতীয় পদ, ar3-1=ar2=y
এবং, চতুর্থ পদ,
ar4-1=135
বা, ar3=135
বা, 5.r3=135
বা, r3=135/5
বা, r3=27
বা, r3=33
বা, r=3
তাহলে, দ্বিতীয়
পদ, ar=5.3=15
তৃতীয় পদ, ar2=5.32=5.9=45
১১.
3+x+y+z+243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এবং z এর মান নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত ধারাটির
প্রথম পদ a=3
মনে করি, সাধারণ
অনুপাত = r
তাহলে, দ্বিতীয়
পদ ar=x
তৃতীয় পদ ar2=y
চতুর্থ পদ ar3=z
এবং পঞ্চম পদ
ar4=243
বা, 3.r4=243
বা, r4=243/3
বা, r4=81
বা, r4=34
বা, r=3
তাহলে, দ্বিতীয়
পদ ar=x=3.3=9
তৃতীয় পদ ar2=y=3.32=3.9=27
চতুর্থ পদ ar3=z=3.33=3.27=81
১২.
2-4+8-16+…….. ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর
ধারা,
এর প্রথম পদ
a=2
সাধারণ অনুপাত,
r=-4/2=-2
পদসংখ্যা n=7
যেহেতু সাধারণ অনুপাত
-2<1,
∴সমষ্টি
S
(1-rn)
1-(-2)7
1+128
129
=86
∴ ধারাটির
প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি 86
১৩.
1-1+1-1+………ধারাটির (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর
ধারা,
এখানে, প্রথম পদ,
a=1
সাধারণ অন্তর,
r=-1/1=-1
পদ সংখ্যা q=
2n+1
যেহেতু সাধারণ অনুপত
-1<1,
সুতরাং, সমষ্ট
S
a(1-rq)
1.{1-(-1)2n+1}
1-(-1)
1+1
2
=1
∴ধারাটির (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি 1
১৪.
log2+log4+log8+………ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
মনে করি,
ধারাটির সমষ্টি=S
তাহলে,
S= log2+log4+log8+………+দশম
পদ
=log21+log22+log23+…………+log210
=log2[1+2+3+…..+10]
=[1+2+3+….+10] ✕log2
10(10+1)
n(n+1)
=5(10+1) ✕log2
=5✕11✕log2
=55log2
১৫.
log2+log16+log512+………..ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধারাটির বারটি পদের
সমষ্টি
=log2+log16+log512+………..+12
তম পদ
=log2+log24+log29+……….+
12 তম পদ
=1log2+4log2+9log2+……..+12
তম পদ
=(1+4+9+………..12
তম পদ)✕log2
=(12+22+33+…….122) ✕log2
12(12+1)(2✕12+1)
=(2✕13+25)log2
=650log2
১৬.
2+4+8+16+…….ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে, n এর মান কত?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি গুণোত্তর
ধারা,
এর ১ম পদ a=2
সাধারণ অন্তর
r=4/2=2
এবং n তম পদের সমষ্টি
= 254
a(rn-1)
বা, a(rn-1)=254(r-1)
বা, 2.(2n-1)=254(2-1)
বা, 2(2n-1))=254
বা, (2n-1)=254/2
বা, (2n-1)=127
বা, 2n=127+1
বা, 2n=128
বা, 2n=27
বা, n=7
এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.২ গুণোত্তর ধারা (17-25) Part 2
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।