কোণ-বাহু-কোণ, বাহু-বাহু-বাহু সমতাঃ
১.
△ABC এ AB=AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন
একটি বিন্দু যেন OB=OC হয়। প্রমাণ কর যে, ∠AOB=∠AOC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ
AB=AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেন OB=OC হয়। প্রমাণ করতে হবে যে,
∠AOB=∠AOC. প্রমাণঃ
△AOB ও △AOC এ
AB=AC
OB=OC
এবং AO সাধারণ বাহু।
∴AOB ≅ △AOC [ বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∴∠AOB=∠AOC
২.
△ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD=CE
এবং BE=CD. প্রমাণ কর যে, ∠ABC=∠ACB.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে
D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD=CE এবং BE=CD. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC=∠ACB.
প্রমাণঃ
△BDC ও △BCE এ
BD=CE [কল্পনা]
BE=CD [কল্পনা]
এবং BC সাধারণ বাহু,
∴△BDC ≅ △BCE [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴∠BCD=∠CBE
বা, ∠ACB=∠ABC (প্রমাণিত)
৩. চিত্রে, AB=AC,
BD=DC এবং BE=CF. প্রমাণ কর যে, ∠EDB=∠FDC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ AB=AC, BD=DC এবং
BE=CF. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠EDB=∠FDC.
প্রমাণঃ
△ABC এ AB=AC হওয়ায়
∠B=∠C [ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের
বিপরীত কোণ পরস্পর সমান]
আবার, BD=CD হওয়ায় সমান সমান বাহুর বিপরীত
কোণ ∠BED=∠CFD.
এখন, △BED ও △CDF এ
∠B=∠C.
∠BED=∠CFD এবং অনুরুপ BE বাহু=অনুরুপ CF
বাহু
∴△BED ≅ △CDF
∴∠EDB=∠FDC (প্রমাণিত)
৪. চিত্রে, AB=AC এবং ∠BAD=∠CAE. প্রমাণ কর যে, AD=AE.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABD এবং △ACE এর মধ্যে AB=AC এবং ∠BAD=∠CAE. প্রমাণ করতে হবে যে, AD=AE.
প্রমাণঃ
△ABD এবং △ACE এর মধ্যে
AB=AC
এবং ∠BAD=∠CAE
সুতরাং, BD=CE [সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু
পরস্পর সমান]
∴△ABD ≅ △ACE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
অতএব, AD=AE (প্রমাণিত)
৫. ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ কর যে,
∠B=∠D.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং
∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B=∠D.
প্রমাণঃ
△ABC এবং △ADC এর মধ্যে ∠BAC=∠CAD [AC, ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক]
∠BCA=∠ACD [AC, ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক]
এবং AC সাধারন বাহু।
∴△ABC ≅ △ADC [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
∴∠B=∠D (প্রমাণিত)
৬. চিত্রে, AB এবং CD পরস্পর সমান
ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, AD=BC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচণঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AB এবং CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল
এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC.
প্রমাণঃ
△ADC এবং △ABC এর মধ্যে
CD=AB
AC সাধারণ বাহু।
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACD=অন্তর্ভুক্ত ∠BAC [একান্তর কোণ]
∴△ADC ≅ △ABC [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∴AD=BC (প্রমাণিত)
৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের
ভুমির প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
BC ভূমির B ও C হতে BE ও CF বিপরীত বাহুর উপর দুইটি লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CF.
প্রমাণঃ
△ABC এ AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C.
এখন, △BCE ও △BCF এ ∠BCE=∠CBF.
∠BEC=∠BFC [মনকোণ বলে]
এবং BC সাধারণ বাহু।
∴△BCE ≅ △BCF [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
∴BE=CF (প্রমাণিত)
৮. প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের
ভুমির প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয়,
তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC ত্রিভুজের
BC ভূমির B ও C হতে BE ও CF বিপরীত বাহুর উপর দুইটি লম্ব। BE=CF হলে, প্রমাণ করতে হবে
যে, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
প্রমাণঃ
BE ও CF লম্ব হওয়ায় BEC ও BCF দুইটি সমকোণী
ত্রিভুজ।
এখন,
BEC ও BCF দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ এর মধ্যে BE=CF এবং BC অতিভুজ সাধারণ বাহু।
∴△BEC ≅ △BCF [অতিভুজ-বাহু-উপপাদ্য]
∴∠BCE=∠CBF
বা, ∠C=∠B
এখন, △ABC এ ∠B=∠C হওয়ায়
AB=AC
∴△ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (প্রমাণিত)
৯. ABCD চতুর্ভুজের AB=AD এবং
∠B=∠D=এক সমকোণ। প্রমাণ কর যে, △ABC≅△ADC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AB=AD এবং ∠B=∠D=এক
সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC≅△ADC.
প্রমাণঃ
ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে
AB=AD এবং AC অতিভুজ সাধারণ বাহু।
∴△ABC≅△ADC [অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য]
(প্রমাণিত)
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের
pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।
